अध्याय 3: बिंदु से परे एक दृष्टि
महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर | दशमलव संख्याएँ (Decimals) | Hindi Medium
📖 10 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
🎯 परीक्षा-केंद्रित
✅ हिंदी माध्यम
📌 अध्याय परिचय
इस अध्याय में हम दशमलव संख्याओं के बारे में सीखते हैं। जब हमें किसी वस्तु को अधिक सटीक रूप से मापना होता है तो हम इकाई को छोटे भागों में विभाजित करते हैं। इससे दशांश (1/10), शतांश (1/100) और सहस्त्रांश (1/1000) की अवधारणा उत्पन्न होती है।
- 📐 दशमलव बिंदु ‘.’ का उपयोग पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने के लिए किया जाता है।
- 📏 लंबाई, भार और मुद्रा में दशमलव का व्यावहारिक उपयोग सीखते हैं।
- 🔢 दशमलव संख्याओं को जोड़ना, घटाना और तुलना करना इस अध्याय के मुख्य विषय हैं।
🔢 सूत्र त्वरित संदर्भ
| सम्बन्ध | हिंदी में | दशमलव में |
|---|---|---|
| 1 इकाई = 10 दशांश | 1 unit = 10 tenths | 1 = 10 × 0.1 |
| 1 दशांश = 10 शतांश | 1 tenth = 10 hundredths | 0.1 = 10 × 0.01 |
| 1 शतांश = 10 सहस्त्रांश | 1 hundredth = 10 thousandths | 0.01 = 10 × 0.001 |
| 1 से.मी. = 10 मि.मी. | 1 cm = 10 mm | 1 मि.मी. = 0.1 से.मी. |
| 1 मी. = 100 से.मी. | 1 m = 100 cm | 1 से.मी. = 0.01 मी. |
| 1 कि.ग्रा. = 1000 ग्रा. | 1 kg = 1000 g | 1 ग्रा. = 0.001 कि.ग्रा. |
| 1 रुपया = 100 पैसे | 1 rupee = 100 paise | 1 पैसा = 0.01 रुपये |
📝 लघु उत्तरीय प्रश्न (2–3 अंक प्रत्येक)
1 दशांश (दसवाँ भाग) किसे कहते हैं? उदाहरण सहित समझाइए।
✅ उत्तर
2 10 दशांश मिलकर कितनी इकाई बनाते हैं? दिखाइए।
✅ उत्तर
क्योंकि: 1/10 + 1/10 + 1/10 + … (10 बार) = 10 × 1/10 = 10/10 = 1 इकाई
इसीलिए 10 दशांश इकाइयों से एक पूर्ण इकाई बनती है।
3 2 7/10 से.मी. का क्या अर्थ है? समझाइए।
✅ उत्तर
4 शतांश (सौवाँ भाग) क्या है? 1 इकाई में कितने शतांश होते हैं?
✅ उत्तर
5 दशमलव बिंदु (‘.’) क्या होता है? इसका उपयोग क्यों किया जाता है?
✅ उत्तर
6 705, 70.5 और 7.05 में क्या अंतर है? स्थानीय मान से समझाइए।
✅ उत्तर
70.5 = 7 दहाई + 0 इकाई + 5 दशांश (70 + 0 + 5/10)
7.05 = 7 इकाई + 0 दशांश + 5 शतांश (7 + 0 + 5/100)
ये तीनों अलग-अलग मात्राएँ हैं, इसीलिए दशमलव बिंदु का स्थान बहुत महत्वपूर्ण है।
7 1 मिलीमीटर (मि.मी.) कितने सेंटीमीटर के बराबर है?
✅ उत्तर
अतः: 1 मि.मी. = 1/10 से.मी. = 0.1 से.मी.
उदाहरण: 5 मि.मी. = 5/10 से.मी. = 0.5 से.मी. तथा 12 मि.मी. = 1.2 से.मी.
8 1 ग्राम कितने किलोग्राम के बराबर है? दशमलव में लिखिए।
✅ उत्तर
अतः: 1 ग्रा. = 1/1000 कि.ग्रा. = 0.001 कि.ग्रा.
उदाहरण: 5 ग्रा. = 5/1000 कि.ग्रा. = 0.005 कि.ग्रा.
9 75 पैसे को रुपयों में दशमलव रूप में लिखिए।
✅ उत्तर
75 पैसे = 75/100 रुपये = (70/100 + 5/100) रुपये = (7/10 + 5/100) रुपये = ₹ 0.75
10 0.2, 0.20 और 0.200 — क्या ये तीनों बराबर हैं? कारण बताइए।
✅ उत्तर
11 सहस्त्रांश किसे कहते हैं? 1 इकाई में कितने सहस्त्रांश होते हैं?
✅ उत्तर
12 6.456 और 6.465 में से कौन-सी संख्या बड़ी है और क्यों?
✅ उत्तर
13 234 दशांश को दशमलव रूप में कैसे लिखते हैं?
✅ उत्तर
अतः 234 दशांश = 23.4 होता है।
14 15 से.मी. को मीटर में दशमलव रूप में लिखिए।
✅ उत्तर
15 से.मी. = 15/100 मी. = (10/100 + 5/100) मी. = (1/10 + 5/100) मी. = 0.15 मी.
15 निम्न को बढ़ते क्रम में लिखिए: 9/10, 1 7/10, 130/10, 4/10
✅ उत्तर
बढ़ते क्रम में: 4/10 < 9/10 < 1 7/10 < 130/10
अर्थात: 0.4 < 0.9 < 1.7 < 13
📖 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (5–6 अंक प्रत्येक)
1 सोनू की निचली भुजा की लंबाई 2 7/10 इकाई और ऊपरी भुजा की लंबाई 3 6/10 इकाई है। उसकी भुजा की कुल लंबाई ज्ञात कीजिए। (दो विधियों से हल करें।)
✅ विस्तृत उत्तर
निचली भुजा = 2 7/10 इकाई | ऊपरी भुजा = 3 6/10 इकाई
(2 + 3) + (7/10 + 6/10) = 5 + 13/10
= 5 + 10/10 + 3/10 = 5 + 1 + 3/10
= 6 + 3/10 = 6 3/10 इकाई
+ 3 6/10
———
5 13/10 = 6 3/10
27 दशांश + 36 दशांश = 63 दशांश
= 60/10 + 3/10 = 6 इकाई + 3 दशांश
2 शैलजा के हाथ की लंबाई 12 4/10 इकाई है और हथेली की लंबाई 6 7/10 इकाई है। उसकी सबसे लंबी अँगुली (मध्यमा) की लंबाई ज्ञात कीजिए।
✅ विस्तृत उत्तर
हाथ की लंबाई = 12 4/10 इकाई | हथेली = 6 7/10 इकाई
अँगुली = हाथ − हथेली = 12 4/10 − 6 7/10
12 + 4/10 − 6 − 7/10
= (12 − 6) + (4/10 − 7/10)
= 6 − 3/10 = 5 + 1 − 3/10
= 5 + 10/10 − 3/10 = 5 + 7/10
– 6 7/10 – 6 7/10
——–
5 7/10
3 एक मधुमक्खी के शरीर के अंगों की लंबाई दी गई है — सिर: 2 3/10 इकाई, वक्ष: 5 4/10 इकाई, पेट: 7 5/10 इकाई। मधुमक्खी की कुल लंबाई ज्ञात कीजिए।
✅ विस्तृत उत्तर
सिर = 2 3/10 | वक्ष = 5 4/10 | पेट = 7 5/10 इकाई
2 + 5 + 7 = 14 इकाई
3/10 + 4/10 + 5/10 = 12/10 = 1 इकाई 2 दशांश
14 + 1 + 2/10 = 15 + 2/10 = 15 2/10 इकाई
4 15 3/10 4/100 और 2 6/10 8/100 का योग ज्ञात कीजिए। (दोनों विधियों से)
✅ विस्तृत उत्तर
15 3/10 4/100 + 2 6/10 8/100
+ 2 6/10 8/100
—————–
17 9/10 12/100
= 17 10/10 2/100
= 18 2/100
(क्योंकि 10 शतांश = 1 दशांश, 10 दशांश = 1 इकाई)
(15 + 2) + (34/100 + 68/100) = 17 + 102/100
= 17 + 1 + 2/100 = 18 2/100
5 254 ग्राम को किलोग्राम में दशमलव रूप में लिखिए। पूरे चरण दिखाइए।
✅ विस्तृत उत्तर
254 ग्राम, 1 कि.ग्रा. = 1000 ग्रा.
1 ग्रा. = 1/1000 कि.ग्रा. = 0.001 कि.ग्रा.
254 ग्रा. = 254/1000 कि.ग्रा.
= (200/1000 + 50/1000 + 4/1000) कि.ग्रा.
= (2/10 + 5/100 + 4/1000) कि.ग्रा.
6 2 इकाई, 3 दशांश और 5 शतांश को दशमलव रूप में लिखिए। साथ ही स्थानीय मान तालिका भी बनाइए।
✅ विस्तृत उत्तर
2 इकाई + 3 दशांश + 5 शतांश
= (2 × 1) + (3 × 1/10) + (5 × 1/100)
= 2 + 0.3 + 0.05 = 2.35
| 2 | 3 | 5 |
दशमलव संख्या = 2.35
2.35 को “दो दशमलव तीन पाँच” पढ़ते हैं (दो और पैंतीस-शतांश)।
7 प्रिया को स्कर्ट के लिए 2.7 मी. और शैलजा को कुर्ती के लिए 3.5 मी. कपड़े की आवश्यकता है। (क) कुल कपड़ा कितना चाहिए? (ख) शैलजा को प्रिया से कितना अधिक चाहिए?
✅ विस्तृत उत्तर
प्रिया = 2.7 मी. | शैलजा = 3.5 मी.
+ 3.5
—–
6.2
(7 दशांश + 5 दशांश = 12 दशांश = 1 इकाई + 2 दशांश)
कुल = 6.2 मी.
– 2.7 – 2.7
—— ——
0.8
8 25 9/10 − 6 4/10 7/100 का अंतर ज्ञात कीजिए। विस्तृत विधि से हल करें।
✅ विस्तृत उत्तर
25 9/10 − 6 4/10 7/100
25 9/10 = 25 90/100 (क्योंकि 9/10 = 90/100)
– 6 4/10 7/100 – 6 4/10 7/100
—————-
19 4/10 3/100
(चूँकि 0 शतांश में से 7 नहीं घटा सकते, इसलिए 1 दशांश = 10 शतांश उधार लेते हैं)
9 दशमलव पद्धति को ‘दशमलव पद्धति’ (Decimal System) क्यों कहते हैं? भारतीय स्थानीय मान पद्धति से इसका संबंध समझाइए।
✅ विस्तृत उत्तर
लैटिन भाषा में ‘decem’ का अर्थ ‘दस’ है, जो संस्कृत शब्द ‘दश’ का सजातीय है। यह पद्धति संख्या 10 पर आधारित होने के कारण ‘दशमलव पद्धति’ कहलाती है।
भारतीय स्थानीय मान पद्धति में प्रत्येक स्थान अपने से दाईं ओर के स्थान का 10 गुना है:
10 इकाई = 1 दहाई | 10 दहाई = 1 सैकड़ा | 10 सैकड़े = 1 हजार
इसी पद्धति को 1 से छोटी राशियों के लिए विस्तारित करने पर:
1 इकाई → 10 दशांश → 100 शतांश → 1000 सहस्त्रांश
← × 10 ← ← × 10 ← ← × 10 → → ÷ 10 →
10 माही ने 0.25 कि.ग्रा. फलियाँ, 0.3 कि.ग्रा. गाजर, 0.5 कि.ग्रा. आलू, 0.2 कि.ग्रा. शिमला मिर्च और 0.05 कि.ग्रा. अदरक खरीदा। उसके द्वारा खरीदी गई वस्तुओं का कुल भार ज्ञात कीजिए।
✅ विस्तृत उत्तर
फलियाँ = 0.25 | गाजर = 0.30 | आलू = 0.50 | शिमला मिर्च = 0.20 | अदरक = 0.05 (सभी कि.ग्रा. में)
0.25 = 25 शतांश | 0.30 = 30 शतांश | 0.50 = 50 शतांश
0.20 = 20 शतांश | 0.05 = 5 शतांश
0.30
0.50
0.20
+ 0.05
——
1.30
25 + 30 + 50 + 20 + 5 = 130 शतांश = 1.30 कि.ग्रा. ✓
💡 परीक्षा टिप्स
- 💡 दशमलव बिंदु का स्थान बदलने से संख्या का मान बदल जाता है — 7.05 ≠ 70.5 ≠ 705। हमेशा ध्यान से लिखें।
- 💡 जोड़ते और घटाते समय दशमलव बिंदु को हमेशा एक सीध में रखें — यही सबसे आम गलती है।
- 💡 दशमलव की तुलना करते समय बाईं ओर के उच्चतम स्थानीय मान से शुरू करें।
- 💡 0.2 = 0.20 = 0.200 — दाईं ओर शून्य जोड़ने से मान नहीं बदलता, लेकिन 0.2 ≠ 0.02 याद रखें।
- 💡 इकाइयों का रूपांतरण याद रखें: 1 से.मी. = 0.01 मी. | 1 ग्रा. = 0.001 कि.ग्रा. | 1 पैसा = 0.01 रुपये।
- 💡 घटाते समय यदि दशांश/शतांश कम हों तो एक उच्च स्थान से उधार लें (जैसे 1 दशांश = 10 शतांश)।
📌 याद रखें — Key Points
- 📌 1 इकाई = 10 दशांश = 100 शतांश = 1000 सहस्त्रांश
- 📌 दशमलव बिंदु (‘.’): पूर्ण भाग और भिन्नात्मक भाग को अलग करता है।
- 📌 34 × 1/10 = 34/10 = 3 + 4/10 = 3 इकाई 4 दशांश
- 📌 1 मि.मी. = 0.1 से.मी. | 1 से.मी. = 0.01 मी. | 1 मि.मी. = 0.001 मी.
- 📌 1 ग्रा. = 0.001 कि.ग्रा. | 1 पैसा = 0.01 रुपये
- 📌 दशमलव पद्धति संख्या 10 पर आधारित है — इसीलिए ‘दशमलव’ कहते हैं।
- 📌 संख्याओं की तुलना में उच्चतम स्थानीय मान से शुरू करें।
- 📌 दशमलव संख्याओं का जोड़-घटाव पूर्ण संख्याओं जैसी ही प्रक्रिया से होता है।
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