📚 NCERT गणित प्रकाश | कक्षा 7
अध्याय 4: अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक
कक्षा 7 | NCERT गणित प्रकाश | महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर | हिंदी माध्यम
📝 15 लघु उत्तरीय प्रश्न
📖 10 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
🎯 परीक्षा-केंद्रित
📋 अध्याय परिचय
इस अध्याय में हम सीखते हैं कि अक्षर-संख्याओं (जैसे a, b, n, x) का उपयोग करके गणितीय संबंधों को संक्षिप्त रूप में कैसे लिखा जाता है। ऐसे व्यंजक जिनमें अक्षर-संख्याएँ होती हैं, बीजगणितीय व्यंजक कहलाते हैं। इस अध्याय से परीक्षा में व्यंजक बनाना, सरल करना, सजातीय पद पहचानना तथा प्रतिरूप (पैटर्न) पर आधारित प्रश्न पूछे जाते हैं।
🔢 सूत्र त्वरित संदर्भ
| संकल्पना | सूत्र / व्यंजक | उदाहरण |
|---|---|---|
| वर्ग का परिमाप | 4 × q = 4q | q = 7 से.मी. → परिमाप = 28 से.मी. |
| आयत का परिमाप | 2l + 2b | l=3, b=4 → 2×3 + 2×4 = 14 |
| सजातीय पद जोड़ना | 5c + 3c + 10c = 18c | एक ही अक्षर के गुणज जोड़े जाते हैं |
| माचिस तीलियाँ (त्रिभुज पैटर्न) | 2y + 1 | y = चरण संख्या |
| कोष्ठक खोलना (ऋणात्मक) | –(a + b) = –a – b | –(6x + 10y) = –6x – 10y |
लघु उत्तरीय प्रश्न
Short Answer Questions | प्रत्येक 2–3 पंक्ति | ⭐ Easy to Medium
1
अक्षर-संख्या किसे कहते हैं? एक उदाहरण दीजिए।
⭐ Easy
उत्तर
जिन संख्याओं को प्रदर्शित करने के लिए अक्षरों जैसे a, b, x, n आदि का उपयोग किया जाता है, वे अक्षर-संख्याएँ कहलाती हैं। उदाहरण — यदि शबनम की आयु आफताब से 3 वर्ष अधिक है, तो s = a + 3, जहाँ ‘a’ आफताब की आयु की अक्षर-संख्या है।
2
बीजगणितीय व्यंजक किसे कहते हैं?
⭐ Easy
उत्तर
ऐसे गणितीय व्यंजक जिनमें अक्षर-संख्याएँ होती हैं, बीजगणितीय व्यंजक कहलाते हैं। जैसे — a + 3, 2n, 4q, 2l + 2b आदि बीजगणितीय व्यंजक हैं।
3
यदि आफताब की आयु a वर्ष है और शबनम उससे 3 वर्ष बड़ी है, तो शबनम की आयु के लिए व्यंजक लिखिए। यदि a = 23 हो तो शबनम की आयु क्या होगी?
⭐ Easy
उत्तर
शबनम की आयु = a + 3
यदि a = 23, तो शबनम की आयु = 23 + 3 = 26 वर्ष
4
पार्थिव माचिस की तीलियों से समान L के आकार बना रहा है। यदि प्रत्येक L में 2 तीलियाँ हों, तो n संख्या में L बनाने के लिए तीलियों का व्यंजक क्या होगा?
⭐ Easy
उत्तर
प्रत्येक L में 2 तीलियाँ होती हैं, इसलिए n L बनाने के लिए तीलियों की संख्या = 2 × n = 2n
5
वर्ग का परिमाप ज्ञात करने के लिए व्यंजक लिखिए। यदि भुजा 7 से.मी. हो तो परिमाप क्या होगा?
⭐ Easy
उत्तर
वर्ग का परिमाप = 4 × q = 4q (जहाँ q = भुजा की लंबाई)
यदि q = 7 से.मी. → परिमाप = 4 × 7 = 28 से.मी.
6
यदि k = 4 हो तो व्यंजक 7k का मान ज्ञात कीजिए।
⭐ Easy
उत्तर
7k का अर्थ है 7 × k
k = 4 रखने पर: 7 × 4 = 28
7
यदि m = 2 हो तो व्यंजक 5m + 3 का मान क्या होगा?
⭐ Easy
उत्तर
5m + 3 में m = 2 रखने पर:
5 × 2 + 3 = 10 + 3 = 13
8
सजातीय पद और विजातीय पद में क्या अंतर है? उदाहरण सहित बताइए।
⭐ Easy
उत्तर
सजातीय पद: जिन पदों में समान अक्षर-संख्याएँ होती हैं। जैसे — 5c, 3c, 10c (सभी में ‘c’ है)।
विजातीय पद: जिन पदों में अलग-अलग अक्षर-संख्याएँ हों। जैसे — 18c और 11d विजातीय पद हैं।
9
व्यंजक 5c + 3c + 10c को सरल कीजिए।
⭐ Easy
उत्तर
वितरण गुण से: 5c + 3c + 10c = (5 + 3 + 10) × c
= 18 × c = 18c
10
आयत का परिमाप ज्ञात करने का व्यंजक लिखिए। यदि l = 3, b = 4 हो तो परिमाप ज्ञात कीजिए।
⭐ Easy
उत्तर
आयत का परिमाप = l + b + l + b = 2l + 2b
l = 3, b = 4 रखने पर: 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14
11
व्यंजक 23 – 10 × 2 का मान ज्ञात कीजिए।
⭐ Easy
उत्तर
पहले गुणा करते हैं: 10 × 2 = 20
फिर: 23 – 20 = 3
12
व्यंजक 68 – (18 + 13) का मान ज्ञात कीजिए।
⭐ Easy
उत्तर
पहले कोष्ठक: 18 + 13 = 31
फिर: 68 – 31 = 37
13
केतकी एक नारियल खरीदती है जिसका मूल्य ₹35 है तथा 1 कि.ग्रा. गुड़ का मूल्य ₹60 है। यदि वह c नारियल और j किलो गुड़ खरीदे तो कुल राशि का व्यंजक क्या होगा?
⭐ Easy
उत्तर
नारियलों का मूल्य = c × 35, गुड़ का मूल्य = j × 60
कुल राशि = c × 35 + j × 60 = 35c + 60j
14
साड़ी के पैटर्न में डिजाइन C nवीं बार किस स्थान पर आएगा? (पैटर्न A, B, C, A, B, C… दोहराता है)
⭐ Easy
उत्तर
डिजाइन C, 3 के गुणजों वाले स्थानों पर आता है (3, 6, 9, 12…)।
अतः nवीं बार डिजाइन C स्थान संख्या 3n पर विद्यमान होगा।
15
माचिस की तीलियों से त्रिभुज बनाने के पैटर्न में चरण संख्या y के लिए तीलियों की संख्या का व्यंजक क्या है? चरण 5 के लिए तीलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
⭐ Easy
उत्तर
व्यंजक: 2y + 1
चरण 5 के लिए: 2 × 5 + 1 = 10 + 1 = 11 तीलियाँ
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
Long Answer Questions | चरण-दर-चरण हल | ⭐⭐ Medium to Hard
1
एक दुकान पर तीन दिनों में पेंसिल और रबर बेची गईं। पेंसिल का मूल्य c रुपये और रबर का मूल्य d रुपये है। पहले दिन 5 पेंसिल और 4 रबर, दूसरे दिन 3 पेंसिल और 6 रबर, तीसरे दिन 10 पेंसिल और 1 रबर बेची गई। तीन दिनों में अर्जित कुल राशि के लिए व्यंजक लिखिए एवं सरल कीजिए।
⭐⭐ Medium
उत्तर
दिया है: पेंसिल मूल्य = c, रबर मूल्य = d
बिक्री: पहले दिन 5c + 4d, दूसरे दिन 3c + 6d, तीसरे दिन 10c + 1d
बिक्री: पहले दिन 5c + 4d, दूसरे दिन 3c + 6d, तीसरे दिन 10c + 1d
चरण 1: पेंसिल की कुल बिक्री: 5c + 3c + 10c
वितरण गुण से: 5c + 3c + 10c = (5 + 3 + 10) × c = 18c
चरण 2: रबर की कुल बिक्री: 4d + 6d + 1d
वितरण गुण से: 4d + 6d + 1d = (4 + 6 + 1) × d = 11d
चरण 3: कुल अर्जित राशि = पेंसिल + रबर = 18c + 11d
∴ उत्तर = 18c + 11d (यह सरलतम रूप है क्योंकि c और d विजातीय पद हैं)
2
एक दुकान कुर्सियाँ और मेज किराए पर देती है। कुर्सी की अग्रिम राशि ₹40 और मेज की ₹75 है। वापस मिलने वाली राशि: कुर्सी ₹6, मेज ₹10। यदि x कुर्सियाँ और y मेज किराए पर ली जाएँ, तो भुगतान की गई कुल राशि का व्यंजक लिखिए और सरल कीजिए।
⭐⭐ Medium
उत्तर
दिया है: x कुर्सियाँ, y मेज | अग्रिम: कुर्सी ₹40, मेज ₹75 | वापस: कुर्सी ₹6, मेज ₹10
चरण 1: प्रारंभ में भुगतान = 40x + 75y
चरण 2: वापस मिली राशि = 6x + 10y
कुल भुगतान = (40x + 75y) – (6x + 10y)
चरण 3: कोष्ठक खोलने पर: = 40x + 75y – 6x – 10y
चरण 4: सजातीय पद एक साथ: = (40 – 6)x + (75 – 10)y
∴ उत्तर = 34x + 65y रुपये
3
चारु एक प्रश्नोत्तरी में तीन चरणों में भाग लेती है। उसके अंक हैं: 7p – 3q, 8p – 4q और 6p – 2q। यहाँ p = सही उत्तर का अंक और q = गलत उत्तर पर दंड। तीनों चरणों के कुल अंक ज्ञात कीजिए। यदि p = 4 और q = 1 हो तो पहले चरण के अंक भी बताइए।
⭐⭐ Medium
उत्तर
दिया है: तीन चरणों के अंक: (7p – 3q) + (8p – 4q) + (6p – 2q)
चरण 1: कोष्ठक हटाने पर: = 7p – 3q + 8p – 4q + 6p – 2q
चरण 2: p के सजातीय पद: 7p + 8p + 6p = (7+8+6)p = 21p
चरण 3: q के सजातीय पद: –3q – 4q – 2q = –(3+4+2)q = –9q
∴ कुल अंक = 21p – 9q
पहले चरण के अंक (p=4, q=1): 7×4 – 3×1 = 28 – 3 = 25 अंक
4
कैलेंडर के किसी भी 2×2 वर्ग में ऊपरी बाईं संख्या को a मानें। सिद्ध कीजिए कि दोनों विकर्णों की संख्याओं के योगफल समान होते हैं।
⭐⭐ Medium
उत्तर
दिया है: 2×2 वर्ग में ऊपरी बाईं संख्या = a
चरण 1: 2×2 वर्ग में संख्याएँ: a, a+1 (दाईं), a+7 (नीचे), a+8 (विकर्ण)
पहला विकर्ण: a + (a+8) = a + a + 8 = 2a + 8
दूसरा विकर्ण: (a+1) + (a+7) = a + 1 + a + 7 = a + a + 1 + 7 = 2a + 8
∴ दोनों विकर्णों के योगफल = 2a + 8 → दोनों समान हैं।
यह ‘a’ के किसी भी मान के लिए सत्य है अर्थात् किसी भी 2×2 वर्ग के लिए यह सत्य है।
5
माचिस की तीलियों से त्रिभुज का पैटर्न बनाया जाता है। चरण 1 में 3 तीलियाँ, चरण 2 में 5, चरण 3 में 7। चरण संख्या y के लिए व्यंजक निकालिए और बताइए कि चरण 33 और चरण 84 में कितनी तीलियाँ होंगी।
⭐⭐ Medium
उत्तर
पैटर्न: 3, 5, 7, 9, 11… (हर बार 2 बढ़ती है)
चरण 1: पैटर्न देखें: चरण y में = 3 + 2×(y–1)
सरल करने पर: 3 + 2×(y–1) = 3 + 2y – 2 = 2y + 1
चरण 33 के लिए: 2 × 33 + 1 = 66 + 1 = 67 तीलियाँ
चरण 84 के लिए: 2 × 84 + 1 = 168 + 1 = 169 तीलियाँ
∴ चरण y के लिए व्यंजक = 2y + 1
6
व्यंजक 4(x + y) – y को सरल कीजिए। यदि x = 3 और y = 2 हो तो मान भी ज्ञात कीजिए।
⭐⭐ Medium
उत्तर
चरण 1: वितरण गुण लगाएँ: 4(x + y) = 4x + 4y
चरण 2: 4(x + y) – y = 4x + 4y – y
चरण 3: सजातीय पद: 4y – y = (4–1)y = 3y
∴ सरलतम रूप = 4x + 3y
x=3, y=2 रखने पर: 4×3 + 3×2 = 12 + 6 = 18
7
साड़ी के पैटर्न (A, B, C, A, B, C…) में डिजाइन A, B और C के nवीं बार आने की स्थिति के लिए व्यंजक लिखिए। स्थिति 122 पर कौन-सा डिजाइन होगा?
⭐⭐ Medium
उत्तर
डिजाइन C: स्थान = 3n (3 के गुणज: 3, 6, 9…)
डिजाइन B: स्थान = 3n – 1 (C से एक कम: 2, 5, 8, 11…)
डिजाइन A: स्थान = 3n – 2 (C से दो कम: 1, 4, 7, 10…)
स्थिति 122 के लिए: 122 ÷ 3 = 40 भागफल, शेषफल = 2
शेषफल 2 → स्थान = 3n – 1 → डिजाइन B
∴ स्थिति 122 पर डिजाइन B होगा।
8
निम्नलिखित व्यंजक को सरल कीजिए: 3a + 9b – 6 + 8a – 4b – 7a + 16
⭐⭐ Medium
उत्तर
चरण 1: सजातीय पदों को एक साथ रखें:
a के पद: 3a + 8a – 7a | b के पद: 9b – 4b | संख्याएँ: –6 + 16
चरण 2: a के पद: (3 + 8 – 7)a = 4a
चरण 3: b के पद: (9 – 4)b = 5b
चरण 4: संख्याएँ: –6 + 16 = 10
∴ उत्तर = 4a + 5b + 10
9
एक बड़े आयत को दो छोटे आयतों में बाँटा गया है जिनकी भुजाएँ 4, v और 3, v हैं। दो विधियों से बड़े आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और दिखाइए कि दोनों व्यंजक समान हैं।
⭐⭐ Medium
उत्तर
दिया है: दो छोटे आयत — पहला (4 × v), दूसरा (3 × v)
विधि 1 — बड़े आयत की भुजाओं से: v × (4 + 3) = v × 7 = 7v
विधि 2 — छोटे आयतों का योग: 4v + 3v = (4+3)v = 7v
दोनों से 7v प्राप्त होता है।
∴ 4v + 3v = 7v — यह वितरण गुण का एक सुंदर उदाहरण है।
10
व्यंजक 5u और 5 + u में अंतर स्पष्ट कीजिए। u = 2, 5, 8, 11 के लिए दोनों के मान ज्ञात करके बताइए कि ये समान हैं या नहीं।
⭐⭐ Medium
उत्तर
5u = संख्या u का 5 गुना | 5 + u = संख्या u से 5 अधिक
u = 2: 5u = 5×2 = 10 | 5+u = 5+2 = 7 → भिन्न
u = 5: 5u = 5×5 = 25 | 5+u = 5+5 = 10 → भिन्न
u = 8: 5u = 5×8 = 40 | 5+u = 5+8 = 13 → भिन्न
u = 11: 5u = 5×11 = 55 | 5+u = 5+11 = 16 → भिन्न
∴ दोनों व्यंजक समान नहीं हैं क्योंकि दोनों भिन्न संक्रियाएँ दर्शाते हैं।
याद रखें Key Points of Chapter 4
📌 महत्वपूर्ण बिंदु
- अक्षरों (a, b, n, x…) से प्रदर्शित संख्याएँ अक्षर-संख्याएँ कहलाती हैं।
- अक्षर-संख्याएँ वाले व्यंजक बीजगणितीय व्यंजक कहलाते हैं।
- बीजगणित में 4 × n = 4n लिखते हैं (गुणा चिह्न हटाते हैं)।
- सजातीय पद — एक ही अक्षर-संख्या वाले पद (जैसे 5c, 3c)। इन्हें जोड़ा जा सकता है।
- विजातीय पद — अलग-अलग अक्षर-संख्या वाले पद (जैसे 18c, 11d)। इन्हें जोड़ा नहीं जाता।
- कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक चिह्न हो तो कोष्ठक हटाने पर सभी पदों के चिह्न बदल जाते हैं।
- आयत का परिमाप = 2l + 2b | वर्ग का परिमाप = 4q
- माचिस तीलियाँ (त्रिभुज पैटर्न): 2y + 1 (y = चरण संख्या)
परीक्षा टिप्स Exam Tips for Chapter 4
💡 परीक्षा में क्या-क्या पूछा जाता है
- परिस्थिति दी जाती है और बीजगणितीय व्यंजक बनाने को कहा जाता है — ध्यान से पढ़ें।
- सजातीय पदों को पहचानकर जोड़ने की गलती न करें — विजातीय पद (जैसे 5c और 3d) नहीं जोड़े जाते।
- कोष्ठक हटाते समय ऋणात्मक चिह्न का ध्यान रखें: –(a + b) = –a – b
- पैटर्न वाले प्रश्नों में पहले सारणी बनाएँ, फिर नियम खोजें।
- व्यंजक में अक्षर-संख्या की जगह संख्या रखकर मान निकालें — हमेशा गुणा-भाग पहले करें।
- 3a + 2b = 5 जैसी गलती न करें — भिन्न अक्षरों के पद नहीं जोड़े जाते।
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