📐 NCERT गणित प्रकाश | कक्षा 7
अध्याय 5 — समांतर और प्रतिच्छेदी रेखाएँ
महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर | Hindi Medium | Exam Ready
✏️ 15 लघु उत्तरीय प्रश्न
📝 10 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
📚 NCERT Based
🔢 सूत्र और मुख्य नियम — त्वरित संदर्भ
| नियम / सूत्र | विवरण |
|---|---|
| रैखिक युग्म | ∠a + ∠b = 180° (दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के आसन्न कोण) |
| शीर्षाभिमुख कोण | ∠a = ∠c तथा ∠b = ∠d (सम्मुख कोण सदैव समान) |
| लम्ब रेखाएँ | चारों कोण = 90° (समकोण) |
| संगत कोण | समांतर रेखाओं में तिर्यक रेखा से बने संगत कोण समान होते हैं |
| एकांतर कोण | समांतर रेखाओं में एकांतर कोण सदैव समान होते हैं |
| अंतः कोण | तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का योग = 180° |
लघु उत्तरीय प्रश्न
Short Answer Questions | 15 प्रश्न | 2–3 अंक प्रत्येक
1
प्रतिच्छेदी रेखाएँ किसे कहते हैं?
⭐ Easy
प्रतिच्छेदी रेखाएँ किसे कहते हैं?
⭐ Easy
✅ उत्तर
जब एक समतल सतह पर दो रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं, तो उन्हें प्रतिच्छेदी रेखाएँ कहते हैं। वह बिंदु जहाँ वे मिलती हैं, प्रतिच्छेद बिंदु कहलाता है। उदाहरण: रेखाएँ l और m यदि बिंदु P पर मिलती हैं, तो वे प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं।
2
जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो कितने कोण बनते हैं? उनके नाम बताइए।
⭐ Easy
जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो कितने कोण बनते हैं? उनके नाम बताइए।
⭐ Easy
✅ उत्तर
जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो चार कोण बनते हैं। इन्हें ∠a, ∠b, ∠c और ∠d कहते हैं। आसन्न कोण रैखिक युग्म बनाते हैं तथा सम्मुख कोण (∠a, ∠c) तथा (∠b, ∠d) शीर्षाभिमुख कोण कहलाते हैं।
3
रैखिक युग्म किसे कहते हैं? रैखिक युग्म के कोणों का योग कितना होता है?
⭐ Easy
रैखिक युग्म किसे कहते हैं? रैखिक युग्म के कोणों का योग कितना होता है?
⭐ Easy
✅ उत्तर
दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु पर बने आसन्न कोण रैखिक युग्म कहलाते हैं, जैसे— ∠a और ∠b। रैखिक युग्म के कोणों का योग सदैव 180° होता है क्योंकि वे मिलकर एक सरल कोण (ऋजु कोण) बनाते हैं।
4
शीर्षाभिमुख कोण किसे कहते हैं? क्या वे सदैव समान होते हैं?
⭐ Easy
शीर्षाभिमुख कोण किसे कहते हैं? क्या वे सदैव समान होते हैं?
⭐ Easy
✅ उत्तर
दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु पर बने सम्मुख कोण शीर्षाभिमुख कोण कहलाते हैं, जैसे— ∠b और ∠d। हाँ, शीर्षाभिमुख कोण सदैव एक-दूसरे के समान होते हैं। उदाहरण: यदि ∠a = 120° तो ∠c भी = 120° होगा।
5
लम्ब रेखाएँ किसे कहते हैं? लम्ब रेखाओं में प्रत्येक कोण का माप कितना होता है?
⭐ Easy
लम्ब रेखाएँ किसे कहते हैं? लम्ब रेखाओं में प्रत्येक कोण का माप कितना होता है?
⭐ Easy
✅ उत्तर
जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं और सभी चारों कोण समान होते हैं, तो वे लम्ब रेखाएँ कहलाती हैं। ऐसी रेखाएँ एक-दूसरे को समकोण (90°) पर काटती हैं। यदि l ⊥ m है, तो l और m के बीच के चारों कोण 90°-90°-90°-90° होते हैं।
6
समांतर रेखाएँ किसे कहते हैं?
⭐ Easy
समांतर रेखाएँ किसे कहते हैं?
⭐ Easy
✅ उत्तर
रेखाओं का वह युग्म जो एक ही तल (Plane) पर विद्यमान हो और कभी एक-दूसरे से न मिले, चाहे उन्हें दोनों सिरों पर कितना भी आगे बढ़ाएँ, समांतर रेखाएँ कहलाती हैं। जैसे— रेलवे की पटरियाँ, कॉपी की पंक्तियाँ आदि।
7
तिर्यक रेखा (Transversal) किसे कहते हैं?
⭐ Easy
तिर्यक रेखा (Transversal) किसे कहते हैं?
⭐ Easy
✅ उत्तर
ऐसी रेखा जो दो या अधिक रेखाओं को प्रतिच्छेद करे, तिर्यक रेखा (Transversal) कहलाती है। जब एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं के समूह को पार करती है तो 8 कोण बनते हैं (प्रत्येक प्रतिच्छेद बिंदु पर 4-4 कोण)।
8
संगत कोण (Corresponding Angles) किसे कहते हैं?
⭐⭐ Medium
संगत कोण (Corresponding Angles) किसे कहते हैं?
⭐⭐ Medium
✅ उत्तर
जब एक तिर्यक रेखा t, रेखाओं l और m को प्रतिच्छेद करती है, तो स्थिति के आधार पर पहले समूह के कोण दूसरे समूह के कोणों के संगत होते हैं। जैसे— ∠1 और ∠5, ∠2 और ∠6, ∠3 और ∠7, ∠4 और ∠8 संगत कोण हैं। समांतर रेखाओं में संगत कोण सदैव समान होते हैं।
9
एकांतर कोण (Alternate Angles) किसे कहते हैं? समांतर रेखाओं में ये कैसे होते हैं?
⭐⭐ Medium
एकांतर कोण (Alternate Angles) किसे कहते हैं? समांतर रेखाओं में ये कैसे होते हैं?
⭐⭐ Medium
✅ उत्तर
तिर्यक रेखा के एक ओर के कोण का एकांतर कोण वह कोण होता है जो उसके संगत कोण का शीर्षाभिमुख कोण हो। जैसे— ∠d, ∠f का एकांतर कोण है। समांतर रेखाओं के एक युग्म को तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेद करने पर बने एकांतर कोण हमेशा एक-दूसरे के समान होते हैं।
10
यदि ∠a = 120° है (दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में), तो ∠b, ∠c और ∠d के मान क्या होंगे?
⭐⭐ Medium
यदि ∠a = 120° है (दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में), तो ∠b, ∠c और ∠d के मान क्या होंगे?
⭐⭐ Medium
✅ उत्तर
दिया है: ∠a = 120°
∠b = 180° − 120° = 60° (रैखिक युग्म: ∠a + ∠b = 180°)
∠c = 120° (शीर्षाभिमुख कोण: ∠c = ∠a)
∠d = 60° (शीर्षाभिमुख कोण: ∠d = ∠b)
अतः ∠b = 60°, ∠c = 120°, ∠d = 60°
∠b = 180° − 120° = 60° (रैखिक युग्म: ∠a + ∠b = 180°)
∠c = 120° (शीर्षाभिमुख कोण: ∠c = ∠a)
∠d = 60° (शीर्षाभिमुख कोण: ∠d = ∠b)
अतः ∠b = 60°, ∠c = 120°, ∠d = 60°
11
समांतर रेखाओं की पहचान के लिए संगत कोणों का क्या उपयोग है?
⭐⭐ Medium
समांतर रेखाओं की पहचान के लिए संगत कोणों का क्या उपयोग है?
⭐⭐ Medium
✅ उत्तर
यदि किसी रेखा-युग्म को तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करे और बने संगत कोण एक-दूसरे के समान हों, तो वह रेखा-युग्म समांतर होता है। इसके विपरीत, यदि रेखाएँ समांतर न हों तो संगत कोण कभी समान नहीं होंगे। इस प्रकार संगत कोणों की समानता समांतरता की आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।
12
तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों (Interior Angles) का योग कितना होता है?
⭐⭐ Medium
तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों (Interior Angles) का योग कितना होता है?
⭐⭐ Medium
✅ उत्तर
जब एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का योग सदैव 180° होता है। उदाहरण: ∠3 और ∠6 (अंतः कोण) का योग = 180°। यह नियम समांतर रेखाओं के लिए सदैव सत्य है।
13
समकोणक (Set Square) का उपयोग करके समांतर रेखाएँ कैसे खींची जाती हैं?
⭐⭐ Medium
समकोणक (Set Square) का उपयोग करके समांतर रेखाएँ कैसे खींची जाती हैं?
⭐⭐ Medium
✅ उत्तर
एक मापक द्वारा रेखा l खींचें। फिर समकोणक को खिसकाकर रेखा l के लम्बवत दो रेखाएँ खींचें। ये दोनों रेखाएँ l के साथ 90° का कोण बनाती हैं। चूँकि संगत कोण (90°-90°) समान हैं, इसलिए ये दोनों रेखाएँ परस्पर समांतर होंगी।
14
जब दो रेखाओं को एक तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करती है तो अधिकतम कितने भिन्न कोण बन सकते हैं?
⭐⭐ Medium
जब दो रेखाओं को एक तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करती है तो अधिकतम कितने भिन्न कोण बन सकते हैं?
⭐⭐ Medium
✅ उत्तर
जब दो रेखाओं को एक तिर्यक रेखा प्रतिच्छेद करती है तो कुल 8 कोण बनते हैं। इनमें से अधिकतम 4 भिन्न मापों के कोण बन सकते हैं क्योंकि शीर्षाभिमुख कोण एक-दूसरे के समान होते हैं। यदि रेखाएँ समांतर हों तो केवल 2 भिन्न माप होंगे।
15
गणित में समांतर और लम्ब रेखाओं को दर्शाने के लिए किन संकेतों का उपयोग किया जाता है?
⭐ Easy
गणित में समांतर और लम्ब रेखाओं को दर्शाने के लिए किन संकेतों का उपयोग किया जाता है?
⭐ Easy
✅ उत्तर
गणित में समांतर रेखाओं को दर्शाने के लिए तीर के चिह्न (→) का उपयोग किया जाता है। यदि समांतर रेखाओं के एक से अधिक समूह हों तो दूसरे समूह को दो तीर के चिह्नों (→→) से दर्शाया जाता है। लम्ब रेखाओं को उनके बीच वर्ग कोण (□) के प्रतीक से चिह्नित किया जाता है।
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
Long Answer Questions | 10 प्रश्न | 4–5 अंक प्रत्येक
1
सिद्ध कीजिए कि जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो शीर्षाभिमुख कोण सदैव समान होते हैं।
⭐⭐ Medium
सिद्ध कीजिए कि जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो शीर्षाभिमुख कोण सदैव समान होते हैं।
⭐⭐ Medium
✅ उत्तर (चरणबद्ध)
दिया है: दो रेखाएँ l और m एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं और कोण a, b, c, d बनाते हैं।
सिद्ध करना है: ∠a = ∠c तथा ∠b = ∠d
सूत्र: रैखिक युग्म का योग = 180°
चरण 1: ∠a और ∠b रैखिक युग्म बनाते हैं।
∴ ∠a + ∠b = 180° …(i)
∴ ∠a + ∠b = 180° …(i)
चरण 2: ∠b और ∠c भी रैखिक युग्म बनाते हैं।
∴ ∠b + ∠c = 180° …(ii)
∴ ∠b + ∠c = 180° …(ii)
चरण 3: समीकरण (i) और (ii) से —
∠a + ∠b = ∠b + ∠c
∴ ∠a = ∠c (सिद्ध)
∠a + ∠b = ∠b + ∠c
∴ ∠a = ∠c (सिद्ध)
इसी प्रकार: ∠a + ∠d = 180° और ∠a + ∠b = 180°
∴ ∠b = ∠d (सिद्ध)
∴ ∠b = ∠d (सिद्ध)
निष्कर्ष: जब भी दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो शीर्षाभिमुख कोण सदैव समान होते हैं। यह गणित में उपपत्ति (Proof) का एक उदाहरण है।
2
चित्र 5.26 के अनुसार समांतर रेखाएँ l और m को तिर्यक रेखा t प्रतिच्छेद करती है। यदि ∠6 = 135° हो तो अन्य सभी कोणों (∠1 से ∠8 तक) का माप ज्ञात कीजिए।
⭐⭐⭐ Hard
चित्र 5.26 के अनुसार समांतर रेखाएँ l और m को तिर्यक रेखा t प्रतिच्छेद करती है। यदि ∠6 = 135° हो तो अन्य सभी कोणों (∠1 से ∠8 तक) का माप ज्ञात कीजिए।
⭐⭐⭐ Hard
✅ उत्तर (चरणबद्ध)
दिया है: रेखाएँ l ∥ m, तिर्यक रेखा t, ∠6 = 135°
सूत्र: संगत कोण समान | शीर्षाभिमुख कोण समान | रैखिक युग्म = 180°
∠8 = 135° (∠6 का शीर्षाभिमुख कोण)
∠2 = 135° (∠6 का संगत कोण, क्योंकि l ∥ m)
∠4 = 135° (∠8 का संगत कोण)
∠5 = 180° − 135° = 45° (∠5 और ∠6 रैखिक युग्म)
∠7 = 45° (∠5 का शीर्षाभिमुख कोण)
∠3 = 45° (∠7 का संगत कोण)
∠1 = 45° (∠3 का शीर्षाभिमुख कोण)
∠1 = 45° (∠3 का शीर्षाभिमुख कोण)
∴ उत्तर: ∠2, ∠4, ∠6, ∠8 = 135° तथा ∠1, ∠3, ∠5, ∠7 = 45°
3
उदाहरण 2 (अध्याय 5) के अनुसार: रेखाएँ l व m तिर्यक रेखा t द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं। यदि ∠a = 120° और ∠f = 70° हो तो बताइए कि रेखाएँ l और m समांतर हैं या नहीं?
⭐⭐⭐ Hard
उदाहरण 2 (अध्याय 5) के अनुसार: रेखाएँ l व m तिर्यक रेखा t द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं। यदि ∠a = 120° और ∠f = 70° हो तो बताइए कि रेखाएँ l और m समांतर हैं या नहीं?
⭐⭐⭐ Hard
✅ उत्तर (चरणबद्ध)
दिया है: ∠a = 120°, ∠f = 70°
चरण 1: ∠a और ∠b रैखिक युग्म बनाते हैं।
∠b = 180° − ∠a = 180° − 120° = 60°
∠b = 180° − ∠a = 180° − 120° = 60°
चरण 2: ∠b, ∠f का संगत कोण है।
यदि l ∥ m होती तो ∠b = ∠f होना चाहिए।
यदि l ∥ m होती तो ∠b = ∠f होना चाहिए।
चरण 3: परंतु ∠b = 60° और ∠f = 70°
∴ ∠b ≠ ∠f
∴ ∠b ≠ ∠f
निष्कर्ष: चूँकि संगत कोण एक-दूसरे के समान नहीं हैं, इसलिए रेखाएँ l और m एक-दूसरे के समांतर नहीं हैं।
4
उदाहरण 3 (अध्याय 5) के अनुसार: तिर्यक रेखा t समांतर रेखाओं l और m को प्रतिच्छेद करती है। यदि ∠3 = 50° हो तो ∠6 का माप ज्ञात कीजिए।
⭐⭐ Medium
उदाहरण 3 (अध्याय 5) के अनुसार: तिर्यक रेखा t समांतर रेखाओं l और m को प्रतिच्छेद करती है। यदि ∠3 = 50° हो तो ∠6 का माप ज्ञात कीजिए।
⭐⭐ Medium
✅ उत्तर (चरणबद्ध)
दिया है: l ∥ m, ∠3 = 50°
सूत्र: रैखिक युग्म = 180° | संगत कोण समान (l ∥ m)
चरण 1: ∠2 और ∠3 रैखिक युग्म बनाते हैं।
∠2 = 180° − 50° = 130°
∠2 = 180° − 50° = 130°
चरण 2: ∠2 और ∠6 संगत कोण हैं।
चूँकि l ∥ m, इसलिए ∠2 = ∠6
चूँकि l ∥ m, इसलिए ∠2 = ∠6
∴ ∠6 = 130°
विशेष नोट: ∠3 और ∠6 तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण हैं।
∠3 + ∠6 = 50° + 130° = 180° (अंतः कोण का योग सदैव 180° होता है)
∠3 + ∠6 = 50° + 130° = 180° (अंतः कोण का योग सदैव 180° होता है)
5
एकांतर कोण (Alternate Angles) सदैव समान होते हैं — इसे संगत कोणों और शीर्षाभिमुख कोणों के आधार पर सिद्ध कीजिए।
⭐⭐⭐ Hard
एकांतर कोण (Alternate Angles) सदैव समान होते हैं — इसे संगत कोणों और शीर्षाभिमुख कोणों के आधार पर सिद्ध कीजिए।
⭐⭐⭐ Hard
✅ उत्तर (चरणबद्ध)
दिया है: l ∥ m, तिर्यक रेखा t, कोण ∠f और ∠d एकांतर कोण हैं।
सिद्ध करना है: ∠f = ∠d
चरण 1 (संगत कोण): ∠b, ∠f का संगत कोण है।
चूँकि l ∥ m → ∠f = ∠b
चूँकि l ∥ m → ∠f = ∠b
चरण 2 (शीर्षाभिमुख कोण): ∠d, ∠b का शीर्षाभिमुख कोण है।
∴ ∠b = ∠d
∴ ∠b = ∠d
चरण 3 (निष्कर्ष):
∵ ∠f = ∠b (संगत कोण)
∵ ∠b = ∠d (शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ∠f = ∠d (सिद्ध)
∵ ∠f = ∠b (संगत कोण)
∵ ∠b = ∠d (शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ∠f = ∠d (सिद्ध)
महत्वपूर्ण: यह सिद्धि किसी भी कोण के माप के लिए सत्य है — बिना मापन के केवल तर्क से। समांतर रेखाओं में एकांतर कोण सदैव बराबर होते हैं।
6
उदाहरण 4 (अध्याय 5) के अनुसार: चित्र 5.29 में रेखाखंड AB ∥ CD और AD ∥ BC है। ∠ADC = 60° और ∠DAC = 65° है। ∠CAB, ∠ABC और ∠BCD ज्ञात कीजिए।
⭐⭐⭐ Hard
उदाहरण 4 (अध्याय 5) के अनुसार: चित्र 5.29 में रेखाखंड AB ∥ CD और AD ∥ BC है। ∠ADC = 60° और ∠DAC = 65° है। ∠CAB, ∠ABC और ∠BCD ज्ञात कीजिए।
⭐⭐⭐ Hard
✅ उत्तर (चरणबद्ध)
दिया है: AB ∥ CD, AD ∥ BC, ∠ADC = 60°, ∠DAC = 65°
सूत्र: तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का योग = 180°
चरण 1: AB ∥ CD में AD तिर्यक रेखा है।
∠ADC + ∠DAB = 180°
60° + ∠DAB = 180°
∴ ∠DAB = 120°
∠ADC + ∠DAB = 180°
60° + ∠DAB = 180°
∴ ∠DAB = 120°
चरण 2: ∠DAB = ∠DAC + ∠CAB
120° = 65° + ∠CAB
∴ ∠CAB = 55°
120° = 65° + ∠CAB
∴ ∠CAB = 55°
चरण 3: AD ∥ BC में CD तिर्यक रेखा है।
∠ADC + ∠BCD = 180°
60° + ∠BCD = 180°
∴ ∠BCD = 120°
∠ADC + ∠BCD = 180°
60° + ∠BCD = 180°
∴ ∠BCD = 120°
चरण 4: AD ∥ BC में AB तिर्यक रेखा है।
∠DAB + ∠ABC = 180°
120° + ∠ABC = 180°
∴ ∠ABC = 60°
∠DAB + ∠ABC = 180°
120° + ∠ABC = 180°
∴ ∠ABC = 60°
∴ उत्तर: ∠CAB = 55°, ∠ABC = 60°, ∠BCD = 120°
7
∠f = 120° है (चित्र 5.25, अध्याय 5)। संगत कोण और शीर्षाभिमुख कोण का उपयोग करते हुए एकांतर कोण ∠d का माप ज्ञात कीजिए। विधि विस्तार से बताइए।
⭐⭐ Medium
∠f = 120° है (चित्र 5.25, अध्याय 5)। संगत कोण और शीर्षाभिमुख कोण का उपयोग करते हुए एकांतर कोण ∠d का माप ज्ञात कीजिए। विधि विस्तार से बताइए।
⭐⭐ Medium
✅ उत्तर (चरणबद्ध)
दिया है: ∠f = 120°, l ∥ m, तिर्यक रेखा t
चरण 1: ∠f का संगत कोण ज्ञात करें।
∠b, ∠f का संगत कोण है।
l ∥ m → संगत कोण समान → ∠b = ∠f = 120°
∠b, ∠f का संगत कोण है।
l ∥ m → संगत कोण समान → ∠b = ∠f = 120°
चरण 2: ∠b का शीर्षाभिमुख कोण ज्ञात करें।
∠d, ∠b का शीर्षाभिमुख कोण है।
शीर्षाभिमुख कोण सदैव समान → ∠d = ∠b = 120°
∠d, ∠b का शीर्षाभिमुख कोण है।
शीर्षाभिमुख कोण सदैव समान → ∠d = ∠b = 120°
∴ ∠d = 120°
सत्यापन: ∠f = ∠d = 120° (एकांतर कोण समान हैं ✓)
यह नियम ∠f के किसी भी माप के लिए सत्य होगा।
यह नियम ∠f के किसी भी माप के लिए सत्य होगा।
8
कागज मोड़कर समांतर रेखाएँ बनाने की विधि समझाइए। रेखा l के समांतर बिंदु A से होकर जाने वाली रेखा m कैसे बनाएँगे?
⭐⭐ Medium
कागज मोड़कर समांतर रेखाएँ बनाने की विधि समझाइए। रेखा l के समांतर बिंदु A से होकर जाने वाली रेखा m कैसे बनाएँगे?
⭐⭐ Medium
✅ उत्तर (चरणबद्ध)
दिया है: रेखा l (मोड़ के रूप में) और बिंदु A
चरण 1: कागज को रेखा l के लम्बवत मोड़ें — इससे तिर्यक रेखा t बनती है।
चरण 2: अब कागज को इस प्रकार मोड़ें कि यह लम्बवत मोड़ बिंदु A से होकर जाए।
इस मोड़ से बनी रेखा को t कहते हैं।
इस मोड़ से बनी रेखा को t कहते हैं।
चरण 3: अब रेखा t के लम्बवत रेखा के लिए कागज मोड़ें जो पुनः बिंदु A से होकर जाए।
इस रेखा को m कहते हैं।
इस रेखा को m कहते हैं।
क्यों समांतर? l ⊥ t और m ⊥ t
∴ l और m दोनों t के साथ 90° का कोण बनाती हैं।
संगत कोण (90° = 90°) समान हैं → l ∥ m
∴ l और m दोनों t के साथ 90° का कोण बनाती हैं।
संगत कोण (90° = 90°) समान हैं → l ∥ m
निष्कर्ष: रेखा m, रेखा l के समांतर है और बिंदु A से होकर जाती है।
9
मापन और ज्यामिति में क्या अंतर है? ज्यामिति में तर्क द्वारा निष्कर्ष निकालना मापन से बेहतर क्यों है? अध्याय के आधार पर समझाइए।
⭐⭐ Medium
मापन और ज्यामिति में क्या अंतर है? ज्यामिति में तर्क द्वारा निष्कर्ष निकालना मापन से बेहतर क्यों है? अध्याय के आधार पर समझाइए।
⭐⭐ Medium
✅ उत्तर (चरणबद्ध)
मापन की सीमाएँ: जब हम चाँदे या मापक से कोण मापते हैं तो निम्न कारणों से त्रुटि हो सकती है —
• मापन उपकरणों के उपयुक्त उपयोग न करने से त्रुटि।
• खींची गई रेखाओं की मोटाई में अंतर (आदर्श रेखा में कोई मोटाई नहीं होती)।
• मापन उपकरणों के उपयुक्त उपयोग न करने से त्रुटि।
• खींची गई रेखाओं की मोटाई में अंतर (आदर्श रेखा में कोई मोटाई नहीं होती)।
तर्क द्वारा निष्कर्ष: ज्यामिति में हम आस-पास की रेखाओं के आदर्श रूप बनाते हैं और तर्क के द्वारा उनके बीच के संबंधों का विश्लेषण करते हैं।
उदाहरण: हम जानते हैं कि एक सरल रेखा 180° का कोण बनाती है। यदि कोई रेखा इसे दो भागों में बाँटती है — तो दोनों भागों का योग 180° होना ही चाहिए। यह निष्कर्ष हमने मापन से नहीं बल्कि तर्क से निकाला।
महत्व: तर्क आधारित निष्कर्ष सटीक, सार्वभौमिक और त्रुटिमुक्त होते हैं। इसीलिए ज्यामिति का व्यापक अनुप्रयोग भौतिकी, कला, अभियान्त्रिकी और वास्तुकला में होता है।
10
चित्र 5.34 के अनुसार: AB ∥ CD, CD ∥ EF और EA ⊥ AB। यदि ∠BEF = 55° हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
⭐⭐⭐ Hard
चित्र 5.34 के अनुसार: AB ∥ CD, CD ∥ EF और EA ⊥ AB। यदि ∠BEF = 55° हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
⭐⭐⭐ Hard
✅ उत्तर (चरणबद्ध)
दिया है: AB ∥ CD ∥ EF, EA ⊥ AB, ∠BEF = 55°
सूत्र: अंतः कोणों का योग = 180° | लम्ब कोण = 90°
चरण 1: EA ⊥ AB → ∠EAB = 90°
AB ∥ EF में AE तिर्यक रेखा है।
∠EAB + ∠AEF = 180° (अंतः कोणों का योग)
90° + ∠AEF = 180° → ∠AEF = 90°
AB ∥ EF में AE तिर्यक रेखा है।
∠EAB + ∠AEF = 180° (अंतः कोणों का योग)
90° + ∠AEF = 180° → ∠AEF = 90°
चरण 2: ∠AEF = ∠AEB + ∠BEF
90° = ∠AEB + 55°
∴ ∠AEB = 35°
90° = ∠AEB + 55°
∴ ∠AEB = 35°
y का मान: AB ∥ CD में BE तिर्यक रेखा।
∠ABE + ∠BEF (अंतः कोण) → y = ∠ABE
y और ∠BEF (55°) एकांतर कोण हैं → y = 55°
∠ABE + ∠BEF (अंतः कोण) → y = ∠ABE
y और ∠BEF (55°) एकांतर कोण हैं → y = 55°
x का मान: ∠ABE + ∠EBx = 180° (रैखिक युग्म)
EA ⊥ AB → x संगत कोण से
AB ∥ CD और EA तिर्यक → x = 90°
(क्योंकि EA ⊥ AB और AB ∥ CD → EA ⊥ CD भी)
EA ⊥ AB → x संगत कोण से
AB ∥ CD और EA तिर्यक → x = 90°
(क्योंकि EA ⊥ AB और AB ∥ CD → EA ⊥ CD भी)
∴ उत्तर: x = 90°, y = 55°
💡 परीक्षा टिप्स — अध्याय 5
💡 रैखिक युग्म = 180° — यह नियम सबसे अधिक उपयोग होता है। हर प्रश्न में सबसे पहले रैखिक युग्म की जाँच करें।
💡 शीर्षाभिमुख कोण हमेशा समान होते हैं — सम्मुख कोणों को ढूँढ़ना न भूलें।
💡 समांतर रेखाओं की पहचान के लिए संगत कोणों की समानता जाँचें — यही सबसे सरल तरीका है।
💡 अंतः कोणों का योग = 180° — यह नियम HOTS और दीर्घ उत्तर प्रश्नों में बहुत काम आता है।
💡 सामान्य गलती: एकांतर और संगत कोण को आपस में मिला देते हैं — एकांतर कोण तिर्यक रेखा के विपरीत दिशा में होते हैं।
💡 लम्ब रेखाएँ वे होती हैं जहाँ सभी चार कोण 90° हों — केवल दो नहीं।
📌 याद रखें — मुख्य बातें
📌 दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ चार कोण बनाती हैं — रैखिक युग्म = 180°, शीर्षाभिमुख = समान।
📌 लम्ब रेखाएँ = 90° पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ।
📌 समांतर रेखाएँ = एक ही तल में, कभी न मिलने वाली रेखाएँ।
📌 तिर्यक रेखा से 8 कोण बनते हैं — अधिकतम 4 भिन्न माप।
📌 समांतर रेखाओं में संगत कोण = समान।
📌 समांतर रेखाओं में एकांतर कोण = समान।
📌 समांतर रेखाओं में एक ही ओर के अंतः कोणों का योग = 180°।
📌 संकेत: समांतर = तीर (→), लम्ब = वर्ग कोण (□)।
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