📚 गणित प्रकाश | कक्षा 7

अध्याय 6 — संख्याओं का खेल

NCERT गणित प्रकाश | कक्षा 7 | हिन्दी माध्यम | महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

📝 लघु उत्तरीय प्रश्न: 15

📖 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न: 10

📊 कुल प्रश्न: 25

📝

लघु उत्तरीय प्रश्न

⭐ 15 प्रश्न | 2–3 पंक्ति उत्तर

1सम संख्या किसे कहते हैं? उदाहरण दीजिए।

✅ उत्तर

वे संख्याएँ जिन्हें बिना शेष के युग्मों (जोड़ों) में व्यवस्थित किया जा सकता है, सम संख्याएँ कहलाती हैं।
उदाहरण: 2, 4, 6, 8, 10 …

2विषम संख्या किसे कहते हैं? उदाहरण दीजिए।

✅ उत्तर

वे संख्याएँ जिन्हें युग्मों में व्यवस्थित नहीं किया जा सकता (एक अतिरिक्त बचती है), विषम संख्याएँ कहलाती हैं।
उदाहरण: 1, 3, 5, 7, 9 …

3दो सम संख्याओं का योग कैसा होता है?

✅ उत्तर

दो सम संख्याओं का योग सदैव सम होता है।
उदाहरण: 4 + 6 = 10 (सम) | 8 + 2 = 10 (सम)

4दो विषम संख्याओं का योग कैसा होता है?

✅ उत्तर

दो विषम संख्याओं का योग सदैव सम होता है।
उदाहरण: 3 + 5 = 8 (सम) | 7 + 9 = 16 (सम)

5एक सम और एक विषम संख्या का योग कैसा होता है?

✅ उत्तर

एक सम और एक विषम संख्या का योग सदैव विषम होता है।
उदाहरण: 4 + 3 = 7 (विषम) | 6 + 5 = 11 (विषम)

6“समानता” (Parity) शब्द का गणित में क्या अर्थ है?

✅ उत्तर

गणित में समानता शब्द का अर्थ है — किसी संख्या के सम या विषम होने का गुण।
जैसे: दो क्रमागत संख्याओं का योग विषम होना एक समानता है।

7nवीं सम संख्या ज्ञात करने का सूत्र क्या है?

✅ उत्तर

nवीं सम संख्या = 2n
उदाहरण: 100वीं सम संख्या = 2 × 100 = 200

8nवीं विषम संख्या ज्ञात करने का सूत्र क्या है?

✅ उत्तर

nवीं विषम संख्या = 2n – 1
उदाहरण: 100वीं विषम संख्या = 2 × 100 – 1 = 200 – 1 = 199

9जादुई वर्ग (Magic Square) किसे कहते हैं?

✅ उत्तर

यदि किसी वर्गाकार ग्रिड में प्रत्येक पंक्ति, प्रत्येक स्तंभ और प्रत्येक विकर्ण की संख्याओं का योग समान हो, तो वह जादुई वर्ग कहलाता है। उस योग को जादुई योग कहते हैं।

101 से 9 तक की संख्याओं से बने 3×3 जादुई वर्ग का जादुई योग क्या होता है?

✅ उत्तर

1 से 9 तक की सभी संख्याओं का योग = 45। तीन पंक्तियाँ हैं, इसलिए प्रत्येक पंक्ति का योग = 45 ÷ 3 = 15।
अतः जादुई योग = 15

11विरहांक-फिबोनाची अनुक्रम क्या है? पहले 8 पद लिखिए।

✅ उत्तर

इस अनुक्रम में अगली संख्या पिछली दो संख्याओं का योग होती है।
अनुक्रम: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

121 से 9 तक की संख्याओं से बने जादुई वर्ग के केंद्र में कौन-सी संख्या होती है?

✅ उत्तर

1 से 9 तक की संख्याओं से बने जादुई वर्ग के केंद्र में सदैव संख्या 5 होती है।
(यह अध्याय में दिया गया प्रेक्षण 2 है।)

13क्रिप्टारिथम (Cryptarithm) प्रश्न क्या होते हैं?

✅ उत्तर

वे गणितीय पहेलियाँ जिनमें अंकों को अक्षरों से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है और हमें पता लगाना होता है कि प्रत्येक अक्षर किस अंक (0–9) को व्यक्त करता है, क्रिप्टारिथम (अक्षर विज्ञान पहेली) कहलाते हैं।

14विरहांक-फिबोनाची संख्याओं की सर्वप्रथम खोज किसने और कब की?

✅ उत्तर

इन संख्याओं की स्पष्ट खोज महान प्राकृत भाषाविद और छंद शास्त्री विरहांक ने लगभग 700 सामान्य संवत में की। उन्होंने इसे कविता के प्राकृत छंद के रूप में प्रस्तुत किया।

155 विषम संख्याओं का योग सम होगा या विषम?

✅ उत्तर

5 विषम संख्याओं का योग सदैव विषम होता है।
क्योंकि किन्हीं भी विषम (odd count) संख्याओं में विषम संख्याओं को जोड़ने पर परिणाम विषम होता है।

📖

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

⭐⭐ 10 प्रश्न | 6–8 पंक्ति विस्तृत उत्तर

1किशोर की पहेली: 5 डिब्बों में विषम संख्याओं वाले कार्ड रखकर योग 30 करना संभव है या नहीं? कारण सहित समझाइए।

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है: 5 डिब्बे हैं, प्रत्येक डिब्बे में 1 कार्ड, सभी कार्डों पर विषम संख्याएँ हैं। योग = 30 (सम संख्या) चाहिए।

चरण 1: 5 एक विषम संख्या है — अर्थात विषम संख्या में डिब्बे हैं।

चरण 2: सभी कार्डों पर विषम संख्याएँ हैं। 5 विषम संख्याओं का योग सदैव विषम होता है।

चरण 3: 30 एक सम संख्या है।

निष्कर्ष: क्योंकि किन्हीं 5 विषम संख्याओं को जोड़ने पर कभी भी सम संख्या प्राप्त नहीं होगी, इसलिए किशोर इन कार्डों को डिब्बों में इस प्रकार व्यवस्थित नहीं कर सकता कि योग 30 हो।

∴ यह संभव नहीं है ❌

2मार्टिन और मारिया का जन्म ठीक एक वर्ष के अंतराल में हुआ। मारिया कहती है कि उनकी आयु का योग 112 वर्ष है। क्या यह संभव है? समझाइए।

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है: मार्टिन और मारिया का जन्म 1 वर्ष के अंतराल में हुआ। आयु का योग = 112।

चरण 1: क्योंकि जन्म एक वर्ष के अंतराल में हुआ, इसलिए उनकी आयु दो क्रमागत संख्याएँ होंगी।

चरण 2: किन्हीं दो क्रमागत संख्याओं में एक सदैव सम और दूसरी सदैव विषम होती है।

चरण 3: एक सम + एक विषम संख्या का योग = सदैव विषम।

चरण 4: 112 एक सम संख्या है। यह दो क्रमागत संख्याओं का योग नहीं हो सकती।

∴ यह संभव नहीं है ❌

3100वीं विषम संख्या कौन-सी है? सूत्र सहित चरणबद्ध हल कीजिए।

✅ विस्तृत उत्तर

विधि: पहले उस स्थान पर सम संख्या ज्ञात करो, फिर उसमें से 1 घटाओ।

चरण 1: 100वीं सम संख्या = 2n = 2 × 100 = 200

चरण 2: nवीं विषम संख्या का सूत्र: 2n – 1

चरण 3: 100वीं विषम संख्या = 2 × 100 – 1 = 200 – 1 = 199

💡 सम संख्याएँ: 2, 4, 6, 8, … और विषम संख्याएँ: 1, 3, 5, 7, … | किसी भी स्थान पर विषम संख्या, सम संख्या से 1 कम होती है।

∴ 100वीं विषम संख्या = 199 ✅

41 से 9 तक की संख्याओं से बने 3×3 जादुई वर्ग में जादुई योग 15 क्यों होता है? सिद्ध कीजिए।

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है: 3×3 ग्रिड में 1 से 9 तक की संख्याएँ बिना पुनरावृत्ति के उपयोग होती हैं।

चरण 1: 1 से 9 तक की सभी संख्याओं का योग = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

चरण 2: 3×3 ग्रिड में 3 पंक्तियाँ होती हैं।

चरण 3: जादुई वर्ग में सभी पंक्तियों का योग समान होता है। इसलिए प्रत्येक पंक्ति का योग = 45 ÷ 3 = 15

चरण 4: यही तर्क स्तंभों और विकर्णों के लिए भी लागू होता है।

∴ जादुई योग = 15 ✅

5विरहांक-फिबोनाची संख्याओं का अनुक्रम किस नियम पर आधारित है? अनुक्रम में 55 के बाद अगली 3 संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

✅ विस्तृत उत्तर

नियम: इस अनुक्रम में अगली संख्या पिछली दो संख्याओं का योग होती है।

अनुक्रम: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

चरण 1: 55 के बाद अगली संख्या = 34 + 55 = 89

चरण 2: अगली संख्या = 55 + 89 = 144

चरण 3: अगली संख्या = 89 + 144 = 233

💡 इन संख्याओं की खोज विरहांक ने ~700 सामान्य संवत में की। पश्चिम में इन्हें फिबोनाची संख्याएँ कहा जाता है, जो विरहांक से 500 वर्ष बाद लगभग 1202 में आए।

∴ अगली 3 संख्याएँ: 89, 144, 233 ✅

63×3 जादुई वर्ग में 1 से 9 की संख्याओं के लिए सिद्ध कीजिए कि संख्या 1 और 9 कोने (corner) के स्थान पर नहीं हो सकती।

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है: जादुई योग = 15, जादुई वर्ग 1–9 संख्याओं से बना है।

यदि 1 कोने पर हो: उस कोने पर 3 पंक्तियाँ/स्तंभ/विकर्ण मिलते हैं। 1 के साथ 15 प्राप्त करने के लिए शेष दो संख्याओं का योग = 14 होना चाहिए।

1 + 5 + 9 = 15 ✓ और 1 + 6 + 8 = 15 ✓ — केवल 2 ही संयोजन मिलते हैं, लेकिन कोने पर तीन अलग-अलग रेखाएँ (पंक्ति, स्तंभ, विकर्ण) आती हैं जिन्हें 3 अलग जोड़ों की जरूरत होगी — जो 1 से 9 में संभव नहीं।

9 के लिए भी: 9 + 5 + 1 = 15 आदि — इसी प्रकार 9 भी कोने में नहीं आ सकती।

प्रेक्षण 3: 1 और 9 को मध्य-स्थानों (भुजाओं के मध्य बिंदुओं) पर आना चाहिए।

∴ 1 और 9 कोने पर नहीं हो सकते ✅

7क्रिप्टारिथम T + T + T = UT हल कीजिए और T तथा U के मान ज्ञात कीजिए।

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है: T एक 1-अंकीय संख्या है। T को तीन बार जोड़ने पर 2-अंकीय योग UT प्राप्त होता है। योग की इकाई का अंक T ही है।

चरण 1: 3 × T = UT, जहाँ इकाई स्थान का अंक T ही है।

चरण 2: T = 5 जाँचें: 3 × 5 = 15 → इकाई अंक = 5 = T ✓

चरण 3: 3 × 5 = 15, अतः U = 1 और T = 5

सत्यापन: 5 + 5 + 5 = 15 → UT = 15 ✓

∴ T = 5, U = 1, UT = 15 ✅

8विरहांक-फिबोनाची संख्याओं की उत्पत्ति किस कला से हुई? 8 तालों में लघु और गुरु शब्दांशों से कितनी लय बनती हैं?

✅ विस्तृत उत्तर

उत्पत्ति: इन संख्याओं की खोज संस्कृत और प्राकृत की काव्यात्मक रचनाओं के अध्ययन में हुई। कविताओं में शब्दांश लघु (1 ताल) या गुरु (2 ताल) होते हैं।

प्रश्न: 8 तालों को 1 और 2 के योग के रूप में कितनी विधियों से लिखा जा सकता है?

अनुक्रम पद्धति: n=1→1, n=2→2, n=3→3, n=4→5, n=5→8, n=6→13, n=7→21, n=8→34

नियम: n तालों की लयों की संख्या = (n-1) तालों की संख्या + (n-2) तालों की संख्या

8 ताल लयें = 7वाँ पद + 6वाँ पद = 21 + 13 = 34

∴ 8 तालों में 34 लय बनती हैं ✅

9लता के गुल्लक में ₹1 के सिक्के विषम, ₹5 के सिक्के विषम और ₹10 के सिक्के सम संख्या में हैं। उसे कुल ₹205 मिले। क्या उसने गणना में कोई त्रुटि की? समझाइए।

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है: ₹1 के सिक्के (विषम), ₹5 के सिक्के (विषम), ₹10 के सिक्के (सम)। कुल = ₹205।

चरण 1: विषम संख्या में ₹1 के सिक्कों का कुल = विषम × 1 = विषम

चरण 2: विषम संख्या में ₹5 के सिक्कों का कुल = विषम × 5 = विषम

चरण 3: सम संख्या में ₹10 के सिक्कों का कुल = सम × 10 = सम

चरण 4: कुल = विषम + विषम + सम = सम + सम = सम

जाँच: ₹205 विषम है, परंतु हमारी गणना कहती है कि योग सम होना चाहिए।

∴ लता ने गणना में त्रुटि की है ❌

103×3 ग्रिड में योगों की खोज करते समय यदि योग 5 और 26 दिए हों तो क्यों कोई हल संभव नहीं है? न्यूनतम और अधिकतम संभावित योग के आधार पर समझाइए।

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है: 3×3 ग्रिड में 1 से 9 तक की संख्याएँ। एक पंक्ति/स्तंभ का योग 5 और दूसरे का 26 दिया गया है।

चरण 1: न्यूनतम संभावित योग = 1 + 2 + 3 = 6

चरण 2: अधिकतम संभावित योग = 7 + 8 + 9 = 24

चरण 3: अतः किसी भी पंक्ति या स्तंभ का योग 6 से कम या 24 से अधिक नहीं हो सकता।

चरण 4: 5 < 6 (न्यूनतम से कम) और 26 > 24 (अधिकतम से अधिक) — दोनों असंभव हैं।

💡 इस प्रकार ग्रिड को भरने की संभावनाओं की जाँच किए बिना ही हम बता सकते हैं कि कौन-सा ग्रिड असंभव है।

∴ यह ग्रिड हल करना असंभव है ❌

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