📚 NCERT गणित प्रकाश | कक्षा 7
📐 अध्याय 8 — भिन्नों के साथ कार्य करना
कक्षा 7 | हिंदी माध्यम | महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर
📝 15 लघु उत्तरीय प्रश्न
📖 10 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
🎯 कुल 25 प्रश्न
📌 अध्याय परिचय
इस अध्याय में हम भिन्नों का गुणन (Multiplication) और विभाजन (Division) सीखते हैं। भिन्न को पूर्ण संख्या से, पूर्ण संख्या को भिन्न से, और भिन्न को भिन्न से गुणा करना सीखते हैं।
विभाजन में हम व्युत्क्रम (Reciprocal) की अवधारणा का उपयोग करते हैं। ये सूत्र सबसे पहले भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने 628 सामान्य संवत में अपने ग्रंथ ब्रह्मस्फुट-सिद्धांत में दिए थे।
यह अध्याय परीक्षा की दृष्टि से बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि इसमें दैनिक जीवन की समस्याएँ भिन्नों द्वारा हल की जाती हैं।
🔢 सूत्र त्वरित संदर्भ (Formula Quick Reference)
| सूत्र / Formula | हिंदी में व्याख्या |
|---|---|
| ab × cd = a × cb × d | दो भिन्नों का गुणन — अंशों को आपस में और हरों को आपस में गुणा करो। |
| ab ÷ cd = ab × dc = a × db × c | दो भिन्नों का विभाजन — भाजक का व्युत्क्रम लो और भाज्य से गुणा करो। |
| ab का व्युत्क्रम = ba | किसी भिन्न का व्युत्क्रम — अंश और हर को आपस में बदल दो। |
| ab × ba = 1 | किसी भिन्न को उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर हमेशा 1 प्राप्त होता है। |
| आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई | भिन्नात्मक भुजाओं वाले आयत का क्षेत्रफल = दोनों भुजाओं का गुणनफल। |
✏️
लघु उत्तरीय प्रश्न
Short Answer Questions — 15 प्रश्न | ⭐ Easy to Medium
प्रश्न 1
⭐ Easy
3 × 14 का मान ज्ञात कीजिए और बताइए कि यह क्या दर्शाता है।
✅ उत्तर
3 × 14
= 14 + 14 + 14
= 34
यह दर्शाता है कि यदि कछुआ 1 घंटे में 1/4 कि.मी. चलता है, तो 3 घंटे में वह 3/4 कि.मी. चलेगा।
= 14 + 14 + 14
= 34
यह दर्शाता है कि यदि कछुआ 1 घंटे में 1/4 कि.मी. चलता है, तो 3 घंटे में वह 3/4 कि.मी. चलेगा।
प्रश्न 2
⭐ Easy
25 × 3 का मान ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर
25 × 3 :
पहले 3 को 5 से विभाजित करो → 35, फिर 2 से गुणा करो
= 2 × 35 = 65
पहले 3 को 5 से विभाजित करो → 35, फिर 2 से गुणा करो
= 2 × 35 = 65
प्रश्न 3
⭐ Easy
ब्रह्मगुप्त का भिन्न गुणन सूत्र लिखिए और उदाहरण दीजिए।
✅ उत्तर
ab ×
cd =
a × cb × d
cd =
a × cb × d
उदाहरण: 34 × 25 = 3×24×5 = 620 = 310
प्रश्न 4
⭐ Easy
भिन्न का व्युत्क्रम (Reciprocal) क्या होता है? 35 का व्युत्क्रम बताइए।
✅ उत्तर
जब किसी भिन्न के अंश और हर को आपस में बदल दिया जाए तो प्राप्त भिन्न उसका व्युत्क्रम कहलाता है।
35 का व्युत्क्रम = 53
और 35 × 53 = 1
35 का व्युत्क्रम = 53
और 35 × 53 = 1
प्रश्न 5
⭐ Easy
12 × 14 का मान ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर
12 × 14 = 1 × 12 × 4 = 18
पूर्ण को 8 समान भागों में विभाजित किया गया है और एक भाग छायांकित है, अतः उत्तर = 1/8.
पूर्ण को 8 समान भागों में विभाजित किया गया है और एक भाग छायांकित है, अतः उत्तर = 1/8.
प्रश्न 6
⭐ Easy
1 ÷ 23 का मान ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर
भाजक 23 का व्युत्क्रम = 32
1 ÷ 23 = 1 × 32 = 32
1 ÷ 23 = 1 × 32 = 32
प्रश्न 7
⭐ Easy
एक पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने का नियम क्या है? 3 × 34 हल कीजिए।
✅ उत्तर
पूर्ण संख्या को हर 1 वाले भिन्न के रूप में लिखकर गुणा करते हैं।
3 × 34 = 31 × 34 = 3 × 31 × 4 = 94
3 × 34 = 31 × 34 = 3 × 31 × 4 = 94
प्रश्न 8
⭐⭐ Medium
5 × 23 का मान ज्ञात कीजिए (किसान और भूमि वाला उदाहरण)।
✅ उत्तर
5 × 23
= 23 + 23 + 23 + 23 + 23
= 103 एकड़
किसान ने 5 पोते-पोतियों को कुल 10/3 एकड़ भूमि दी।
= 23 + 23 + 23 + 23 + 23
= 103 एकड़
किसान ने 5 पोते-पोतियों को कुल 10/3 एकड़ भूमि दी।
प्रश्न 9
⭐⭐ Medium
भिन्नों को गुणा करते समय गुणन का क्रम बदलने से क्या होता है? उदाहरण दें।
✅ उत्तर
गुणन के क्रम से कोई प्रभाव नहीं पड़ता। अर्थात्:
ab × cd = cd × ab
उदाहरण: 12 × 14 = 14 × 12 = 18 (दोनों बराबर हैं)
प्रश्न 10
⭐⭐ Medium
जब दोनों संख्याएँ 0 और 1 के बीच हों, तो गुणनफल के बारे में क्या नियम है? उदाहरण दीजिए।
✅ उत्तर
नियम: जब दोनों संख्याएँ 0 और 1 के बीच हों, तो गुणनफल दोनों संख्याओं से छोटा होता है।
उदाहरण: 34 × 25 = 620 = 310 — यह 34 और 25 दोनों से छोटा है।
उदाहरण: 34 × 25 = 620 = 310 — यह 34 और 25 दोनों से छोटा है।
प्रश्न 11
⭐⭐ Medium
23 ÷ 35 का मान ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर
भाजक 35 का व्युत्क्रम = 53
23 ÷ 35 = 23 × 53 = 2 × 53 × 3 = 109
23 ÷ 35 = 23 × 53 = 2 × 53 × 3 = 109
प्रश्न 12
⭐⭐ Medium
भिन्नों का गुणनफल न्यूनतम रूप में कब और कैसे सरल किया जाता है?
✅ उत्तर
जब गुणा की जाने वाली भिन्नों के अंश और हर में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड हो, तो गुणा करने से पहले उन्हें काटा (निरस्त किया) जा सकता है।
उदाहरण: 127 × 524 → 12 और 24 में उभयनिष्ठ गुणनखंड 12 है → = 1 × 57 × 2 = 514
उदाहरण: 127 × 524 → 12 और 24 में उभयनिष्ठ गुणनखंड 12 है → = 1 × 57 × 2 = 514
प्रश्न 13
⭐⭐ Medium
3 ÷ 23 का मान ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर
भाजक 23 का व्युत्क्रम = 32
3 ÷ 23 = 3 × 32 = 92
3 ÷ 23 = 3 × 32 = 92
प्रश्न 14
⭐⭐ Medium
6 ÷ 14 का मान ज्ञात कीजिए और बताइए कि क्या भागफल भाज्य से बड़ा है?
✅ उत्तर
6 ÷ 14 = 6 × 4 = 24
हाँ, भागफल 24, भाज्य 6 से बड़ा है। जब भाजक 0 और 1 के बीच हो, तो भागफल भाज्य से बड़ा होता है।
हाँ, भागफल 24, भाज्य 6 से बड़ा है। जब भाजक 0 और 1 के बीच हो, तो भागफल भाज्य से बड़ा होता है।
प्रश्न 15
⭐⭐ Medium
भिन्नों के गुणन और विभाजन के सूत्र किसने दिए? उनका नाम और ग्रंथ बताइए।
✅ उत्तर
भिन्नों के गुणन और विभाजन के सूत्र सर्वप्रथम ब्रह्मगुप्त ने 628 सामान्य संवत में अपने ग्रंथ ब्रह्मस्फुट-सिद्धांत में दिए थे।
बाद में भास्कर द्वितीय ने 1150 सामान्य संवत में अपनी पुस्तक लीलावती में व्युत्क्रम की अवधारणा को और स्पष्ट किया।
बाद में भास्कर द्वितीय ने 1150 सामान्य संवत में अपनी पुस्तक लीलावती में व्युत्क्रम की अवधारणा को और स्पष्ट किया।
📖
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
Long Answer Questions — 10 प्रश्न | ⭐⭐⭐ Hard
दीर्घ प्रश्न 1
⭐⭐⭐ Hard
एक किसान के 5 पोते-पोतियाँ हैं। वह प्रत्येक पोता-पोती को 23 एकड़ भूमि देता है। उसने अपने सभी पोते-पोतियों को कुल कितनी भूमि दी? पूरा हल दिखाइए।
✅ चरणबद्ध उत्तर
1
दिया है: प्रत्येक पोता-पोती को = 23 एकड़, पोते-पोतियों की संख्या = 5
2
सूत्र: कुल भूमि = संख्या × प्रत्येक का भाग
3
कुल भूमि = 5 × 23
= 23 + 23 + 23 + 23 + 23
= 23 + 23 + 23 + 23 + 23
4
= 5 × 23 = 103
∴ कुल भूमि = 10/3 एकड़ = 31/3 एकड़
दीर्घ प्रश्न 2
⭐⭐⭐ Hard
एक घंटे इंटरनेट समय की लागत ₹8 है। 114 घंटे इंटरनेट समय की लागत क्या होगी? पूरा हल दिखाइए।
✅ चरणबद्ध उत्तर
1
दिया है: 1 घंटे की लागत = ₹8, समय = 114 घंटे
2
मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलो: 114 = 54 घंटे
3
लागत = 54 × 8
4
= 5 × 84 = 5 × 2 = 10
∴ 1¼ घंटे इंटरनेट की लागत = ₹10
दीर्घ प्रश्न 3
⭐⭐⭐ Hard
यदि कछुआ 1 घंटे में 25 कि.मी. चल सकता है, तो वह 34 घंटे में कितनी दूर चलेगा? चित्र/चरण सहित हल कीजिए।
✅ चरणबद्ध उत्तर
1
दिया है: 1 घंटे में दूरी = 25 कि.मी., समय = 34 घंटे
2
तय की गई दूरी = 34 × 25
3
पहले 14 घंटे में दूरी: 25 को 4 भागों में बाँटो = 220
4
3 × 220 = 620
5
ब्रह्मगुप्त सूत्र से सीधे: 3×24×5 = 620 = 310
∴ कछुआ 3/4 घंटे में 3/10 कि.मी. चलेगा।
दीर्घ प्रश्न 4
⭐⭐⭐ Hard
लीना 5 कप चाय बनाती है जिसमें 14 लीटर दूध उपयोग होता है। प्रत्येक कप में कितना दूध है? ब्रह्मगुप्त विधि से हल कीजिए।
✅ चरणबद्ध उत्तर
1
दिया है: 5 कप के लिए दूध = 14 लीटर
2
1 कप के लिए दूध = 14 ÷ 5
3
भाजक 5 का व्युत्क्रम = 15
4
14 ÷ 5 = 14 × 15 = 1 × 14 × 5 = 120
∴ प्रत्येक कप चाय में 1/20 लीटर दूध है।
दीर्घ प्रश्न 5
⭐⭐⭐ Hard
दो भिन्नों का विभाजन कैसे करते हैं? ब्रह्मगुप्त का नियम लिखकर 512 × 718 हल कीजिए।
✅ चरणबद्ध उत्तर
1
नियम: दो भिन्नों का विभाजन करने के लिए भाजक का व्युत्क्रम लो और भाज्य से गुणा करो।
2
ab ÷ cd = ab × dc = a × db × c
3
अब 512 × 718 हल करें (यह गुणन है):
4
= 5 × 712 × 18 = 35216
∴ उत्तर = 35/216
दीर्घ प्रश्न 6
⭐⭐⭐ Hard
एक कार 1 लीटर पेट्रोल में 16 कि.मी. चलती है। 234 लीटर पेट्रोल में वह कितनी दूर जाएगी?
✅ चरणबद्ध उत्तर
1
दिया है: 1 लीटर में दूरी = 16 कि.मी., पेट्रोल = 234 लीटर
2
234 को विषम भिन्न में बदलो = 114 लीटर
3
कुल दूरी = 114 × 16
4
= 11 × 164 = 11 × 4 = 44 कि.मी.
∴ कार 2¾ लीटर पेट्रोल में 44 कि.मी. जाएगी।
दीर्घ प्रश्न 7
⭐⭐⭐ Hard
मरियम और उसके चचेरे भाई केक का 45 भाग खा लेते हैं। शेष केक को मरियम की तीन सहेलियाँ बराबर-बराबर बाँट लेती हैं। प्रत्येक सहेली को केक का कितना भाग मिला?
✅ चरणबद्ध उत्तर
1
दिया है: मरियम और भाई ने खाया = 45 भाग, सहेलियों की संख्या = 3
2
शेष केक = 1 − 45 = 15
3
प्रत्येक सहेली का भाग = 15 ÷ 3 = 15 × 13
4
= 1 × 15 × 3 = 115
∴ प्रत्येक सहेली को केक का 1/15 भाग मिला।
दीर्घ प्रश्न 8
⭐⭐⭐ Hard
भिन्नात्मक संबंध समझाइए — एक वर्ग जिसका क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई है, के अंदर एक लाल वर्ग है जो पूरे वर्ग का 14 भाग है। उस लाल वर्ग के अंदर बने पीले त्रिभुज का क्षेत्रफल जो लाल वर्ग का आधा है, और उस पीले त्रिभुज का 34 छायांकित है — तो छायांकित भाग पूरे वर्ग का कितना भाग है?
✅ चरणबद्ध उत्तर
1
पूरे वर्ग का क्षेत्रफल = 1 वर्ग इकाई (माना)
2
लाल वर्ग का क्षेत्रफल = 14 वर्ग इकाई
3
पीले त्रिभुज का क्षेत्रफल = 12 × 14 = 18 वर्ग इकाई
4
छायांकित भाग = 34 × 18 = 332 वर्ग इकाई
∴ छायांकित क्षेत्र पूरे वर्ग के क्षेत्रफल का 3/32 भाग है।
दीर्घ प्रश्न 9
⭐⭐⭐ Hard
चार फव्वारे एक कुंड को भरते हैं। पहला फव्वारा 1 दिन में, दूसरा 12 दिन में, तीसरा 14 दिन में, चौथा 15 दिन में भरता है। सभी को एक साथ खोलने पर कुंड कितने समय में भरेगा?
✅ चरणबद्ध उत्तर
1
1 दिन में प्रत्येक फव्वारा कुंड को कितनी बार भरेगा — यह जानने के लिए 1 को प्रत्येक समय से भाग दो।
2
पहला: 1 ÷ 1 = 1 बार, दूसरा: 1 ÷ 12 = 2 बार, तीसरा: 1 ÷ 14 = 4 बार, चौथा: 1 ÷ 15 = 5 बार
3
1 दिन में चारों मिलकर = 1 + 2 + 4 + 5 = 12 बार भरेंगे
4
एक बार भरने में लगा समय = 1 ÷ 12 = 112 दिन
∴ चारों फव्वारे एक साथ 1/12 दिन में कुंड भर देंगे।
दीर्घ प्रश्न 10
⭐⭐⭐ Hard
712 वर्ग इकाई क्षेत्र को 15 इकाई भुजा वाली वर्गाकार ईंटों से ढकना है। ऐसी कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी? (बौधायन के शुल्बसूत्र का उदाहरण)
✅ चरणबद्ध उत्तर
1
दिया है: कुल क्षेत्रफल = 712 = 152 वर्ग इकाई, ईंट की भुजा = 15 इकाई
2
प्रत्येक ईंट का क्षेत्रफल = 15 × 15 = 125 वर्ग इकाई
3
ईंटों की संख्या = कुल क्षेत्रफल ÷ प्रत्येक ईंट का क्षेत्रफल = 152 ÷ 125
4
= 152 × 25 = 15 × 252 = 3752
∴ 375/2 = 187½ ईंटों की आवश्यकता है।
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