गणित | कक्षा 7 | NCERT
🔢 हमारे आस-पास की बड़ी संख्याएँ
अध्याय 1 — बड़ी संख्याओं को पढ़ना, लिखना और समझना सीखें — लाख से लेकर अरब तक!
📌 एक लाख
💰 करोड़ और अरब
🔄 स्थानीय मान
📐 सन्निकट मान
✖️ गुणनफल में प्रतिरूप
💰 करोड़ और अरब
🔄 स्थानीय मान
📐 सन्निकट मान
✖️ गुणनफल में प्रतिरूप
📋 विषय-सूची
परिचय — एक लाख किस्में!
कहानी
कर्नाटक के चिन्तामणि नगर में ईश्वरप्पा नाम का एक किसान रहता था। बाजार में उसने सुना कि पहले भारत में चावल की लगभग एक लाख किस्में थीं, लेकिन अब बहुत कम बची हैं। उसके बेटे ऐस्तु ने सोचा — “यदि प्रतिदिन एक नई किस्म का स्वाद लें तो सभी किस्मों को चखने में 274 वर्ष लग जाएँगे!”
कर्नाटक के चिन्तामणि नगर में ईश्वरप्पा नाम का एक किसान रहता था। बाजार में उसने सुना कि पहले भारत में चावल की लगभग एक लाख किस्में थीं, लेकिन अब बहुत कम बची हैं। उसके बेटे ऐस्तु ने सोचा — “यदि प्रतिदिन एक नई किस्म का स्वाद लें तो सभी किस्मों को चखने में 274 वर्ष लग जाएँगे!”
🤔 एक लाख कितना होता है?
आइए, एक सरल पैटर्न से समझते हैं:
| अंकों की संख्या | सबसे छोटी संख्या | सबसे बड़ी संख्या |
|---|---|---|
| 3 अंक | 100 | 999 |
| 4 अंक | 1,000 | 9,999 |
| 5 अंक | 10,000 | 99,999 |
| 6 अंक | 1,00,000 | 9,99,999 |
1,00,000 = एक लाख | इसमें 1 के आगे 5 शून्य होते हैं
💡 क्या एक लाख बड़ी संख्या है?
✅ हाँ — यह बड़ी है!
एक लाख दिन जीने का अर्थ है 274 वर्ष तक जीना! एक लाख व्यक्ति कंधे से कंधा मिलाकर खड़े हों तो 38 किलोमीटर की लम्बी रेखा बनती है।
एक लाख दिन जीने का अर्थ है 274 वर्ष तक जीना! एक लाख व्यक्ति कंधे से कंधा मिलाकर खड़े हों तो 38 किलोमीटर की लम्बी रेखा बनती है।
🤷 नहीं — इतनी बड़ी नहीं!
अहमदाबाद के क्रिकेट स्टेडियम में एक लाख से अधिक दर्शक बैठ सकते हैं! मनुष्य के सिर पर 80,000 से 1,20,000 बाल होते हैं।
अहमदाबाद के क्रिकेट स्टेडियम में एक लाख से अधिक दर्शक बैठ सकते हैं! मनुष्य के सिर पर 80,000 से 1,20,000 बाल होते हैं।
🐟
क्या आप जानते हैं?
मछलियों की कुछ प्रजातियाँ एक बार में लगभग एक लाख अंडे देती हैं! कुछ मछलियाँ तो एक बार में दस लाख तक अंडे दे सकती हैं!
मछलियों की कुछ प्रजातियाँ एक बार में लगभग एक लाख अंडे देती हैं! कुछ मछलियाँ तो एक बार में दस लाख तक अंडे दे सकती हैं!
संख्याओं को लिखना और पढ़ना
भारतीय स्थानीय मान प्रणाली में अल्पविराम (,) का उपयोग करते हैं। यह दाएँ से बाएँ की ओर 3-2-2… के पैटर्न में लगाया जाता है।
भारतीय पद्धति: 12,78,830 = बारह लाख अठहत्तर हजार आठ सौ तीस
🇮🇳 भारतीय स्थानीय मान — स्थान तालिका
| करोड़ | दस लाख | लाख | दस हजार | हजार | सैकड़ा | दहाई | इकाई |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cr | 10L | L | 10K | K | H | T | O |
| 1 | 2 | 7 | 8 | 8 | 3 | 0 | — |
✏️ संख्याओं को शब्दों में लिखने के उदाहरण
| संख्या | शब्दों में |
|---|---|
| 3,00,600 | तीन लाख छह सौ |
| 5,04,085 | पाँच लाख चार हजार पचासी |
| 27,30,000 | सत्ताईस लाख तीस हजार |
| 70,53,138 | सत्तर लाख तिरपन हजार एक सौ अड़तीस |
याद रखें
भारतीय पद्धति में अल्पविराम 3-2-2 के नियम से लगाएँ। जैसे: 1,23,45,678 (दाएँ से पहले 3, फिर 2-2 अंकों के बाद)।
भारतीय पद्धति में अल्पविराम 3-2-2 के नियम से लगाएँ। जैसे: 1,23,45,678 (दाएँ से पहले 3, फिर 2-2 अंकों के बाद)।
दहाइयों की भूमि — स्थानीय मान
स्थानीय मान के अनुसार प्रत्येक अंक की अपनी एक स्थिति होती है जो उसका मान निर्धारित करती है।
🔢 विस्तारित रूप (Expanded Form)
किसी भी संख्या को उसके स्थानीय मानों के योग के रूप में लिखा जा सकता है:
5072 = (5 × 1000) + (0 × 100) + (7 × 10) + (2 × 1)
5072 = (50 × 100) + (7 × 10) + (2 × 1)
5072 = (3 × 1000) + (20 × 100) + (72 × 1)
➜ एक संख्या को कई तरीकों से विस्तारित रूप में लिखा जा सकता है!
5072 = (50 × 100) + (7 × 10) + (2 × 1)
5072 = (3 × 1000) + (20 × 100) + (72 × 1)
➜ एक संख्या को कई तरीकों से विस्तारित रूप में लिखा जा सकता है!
⚙️ स्थानों का संबंध
| बटन | 1 बार दबाने पर | एक लाख के लिए कितनी बार |
|---|---|---|
| +1 | 1 | 1,00,000 बार |
| +10 | 10 | 10,000 बार |
| +100 | 100 | 1,000 बार |
| +1000 | 1,000 | 100 बार |
| +10,000 | 10,000 | 10 बार |
| +1,00,000 | 1,00,000 | 1 बार |
सुझाव
दस हजार बनाने के लिए 100 सैकड़े चाहिए। एक लाख बनाने के लिए 1000 सैकड़े या 100 हजार चाहिए।
दस हजार बनाने के लिए 100 सैकड़े चाहिए। एक लाख बनाने के लिए 1000 सैकड़े या 100 हजार चाहिए।
🧩 गुणन की संक्षिप्त विधि
किसी संख्या को 5 से गुणा करना = संख्या को 2 से भाग देकर 10 से गुणा करना
116 × 5 = 116 × (10 ÷ 2) = 58 × 10 = 580
824 × 25 = 824 × (100 ÷ 4) = 206 × 100 = 20,600
824 × 25 = 824 × (100 ÷ 4) = 206 × 100 = 20,600
करोड़ और करोड़ों का!
जब हम +10,00,000 के बटन को 10 बार दबाएँ तो हमें 1,00,00,000 (एक करोड़) मिलता है।
100 लाख = 1 करोड़ | 1 करोड़ में 1 के आगे 7 शून्य होते हैं
📊 भारतीय और अमेरिकी पद्धति की तुलना
| भारतीय संख्या | भारतीय नाम | अमेरिकी संख्या | अमेरिकी नाम |
|---|---|---|---|
| 1,000 | एक हजार | 1,000 | One Thousand |
| 10,000 | दस हजार | 10,000 | Ten Thousand |
| 1,00,000 | एक लाख | 100,000 | One Hundred Thousand |
| 10,00,000 | दस लाख | 1,000,000 | One Million |
| 1,00,00,000 | एक करोड़ | 10,000,000 | Ten Million |
| 10,00,00,000 | दस करोड़ | 100,000,000 | One Hundred Million |
| 1,00,00,00,000 | एक अरब | 1,000,000,000 | One Billion |
🔑 महत्वपूर्ण संबंध
- 1 लाख में 1 के आगे 5 शून्य → 1,00,000
- 1 करोड़ में 1 के आगे 7 शून्य → 1,00,00,000
- 1 मिलियन में 1 के आगे 6 शून्य → 10,00,000 = 10 लाख
- 1 अरब में 1 के आगे 9 शून्य → 1,00,00,00,000 = 100 करोड़
- 1 लाख = 1 हजार का 100 गुना
- 1 करोड़ = 1 लाख का 100 गुना
- 1 अरब = 1 करोड़ का 100 गुना
याद रखें — अल्पविराम का पैटर्न
भारतीय पद्धति: 3-2-2 (दाएँ से) → 9,87,65,01,234
अमेरिकी पद्धति: 3-3-3 (दाएँ से) → 9,876,501,234
भारतीय पद्धति: 3-2-2 (दाएँ से) → 9,87,65,01,234
अमेरिकी पद्धति: 3-3-3 (दाएँ से) → 9,876,501,234
🌍
क्या आप जानते हैं?
“लाख” शब्द संस्कृत के “लक्ष” शब्द से आया है और “करोड़” शब्द संस्कृत के “कोटि” शब्द से! भूटान, नेपाल, श्रीलंका, पाकिस्तान जैसे देशों में भी भारतीय संख्या पद्धति का उपयोग होता है।
“लाख” शब्द संस्कृत के “लक्ष” शब्द से आया है और “करोड़” शब्द संस्कृत के “कोटि” शब्द से! भूटान, नेपाल, श्रीलंका, पाकिस्तान जैसे देशों में भी भारतीय संख्या पद्धति का उपयोग होता है।
सटीक और सन्निकट मान
बहुत बार यथार्थ (exact) संख्या की आवश्यकता नहीं होती। केवल सन्निकट (approximate) मान ही पर्याप्त होता है।
⬆️ ऊपर की ओर सन्निकटन
जब सन्निकट संख्या वास्तविक से अधिक हो। जैसे — 732 व्यक्तियों के लिए 750 मिठाइयाँ मँगाना (ताकि कम न पड़ें)।
जब सन्निकट संख्या वास्तविक से अधिक हो। जैसे — 732 व्यक्तियों के लिए 750 मिठाइयाँ मँगाना (ताकि कम न पड़ें)।
⬇️ नीचे की ओर सन्निकटन
जब सन्निकट संख्या वास्तविक से कम हो। जैसे — ₹470 की वस्तु का मूल्य ₹450 बताना।
जब सन्निकट संख्या वास्तविक से कम हो। जैसे — ₹470 की वस्तु का मूल्य ₹450 बताना।
🏙️ निकटतम पड़ोसी (Rounding)
संख्या 6,72,85,183 के निकटतम मान:
| निकटतम किस तक? | सन्निकट मान |
|---|---|
| निकटतम हजार | 6,72,85,000 |
| निकटतम दस हजार | 6,72,90,000 |
| निकटतम लाख | 6,73,00,000 |
| निकटतम दस लाख | 6,70,00,000 |
| निकटतम करोड़ | 7,00,00,000 |
सन्निकटन का नियम
यदि जिस अंक तक सन्निकट करना है उसके दाएँ का अंक 5 या उससे अधिक है → ऊपर की ओर सन्निकट करें।
यदि दाएँ का अंक 5 से कम है → नीचे की ओर सन्निकट करें।
यदि जिस अंक तक सन्निकट करना है उसके दाएँ का अंक 5 या उससे अधिक है → ऊपर की ओर सन्निकट करें।
यदि दाएँ का अंक 5 से कम है → नीचे की ओर सन्निकट करें।
🏙️ भारतीय नगरों की जनसंख्या (2011)
| क्रम | शहर | जनसंख्या (2011) | जनसंख्या (2001) |
|---|---|---|---|
| 1 | मुंबई | 1,24,42,373 | 1,19,78,450 |
| 2 | नई दिल्ली | 1,10,07,835 | 98,79,172 |
| 3 | बेंगलुरू | 84,25,970 | 43,01,326 |
| 4 | हैदराबाद | 68,09,970 | 36,37,483 |
| 5 | अहमदाबाद | 55,70,585 | 35,20,085 |
गुणनफल में प्रतिरूप (Patterns in Products)
🔢 अंकों की संख्या और गुणनफल का संबंध
| गुणा | गुणनफल में अंक | उदाहरण |
|---|---|---|
| 1-अंक × 1-अंक | 1 या 2 अंक | 9 × 9 = 81 |
| 2-अंक × 1-अंक | 2 या 3 अंक | 99 × 9 = 891 |
| 2-अंक × 2-अंक | 3 या 4 अंक | 99 × 99 = 9801 |
| 3-अंक × 3-अंक | 5 या 6 अंक | 100 × 100 = 10,000 |
नियम — रोक्सी का तर्क
m अंकों की संख्या × n अंकों की संख्या का गुणनफल (m+n-1) से (m+n) अंकों का होता है।
उदाहरण: 2-अंक × 2-अंक = न्यूनतम 3 अंक, अधिकतम 4 अंक।
m अंकों की संख्या × n अंकों की संख्या का गुणनफल (m+n-1) से (m+n) अंकों का होता है।
उदाहरण: 2-अंक × 2-अंक = न्यूनतम 3 अंक, अधिकतम 4 अंक।
🌟 रोचक गुणन प्रतिरूप
11 × 11 = 121
111 × 111 = 12321
1111 × 1111 = 1234321
➜ पैटर्न: परिणाम पहले बढ़ता है फिर घटता है!
111 × 111 = 12321
1111 × 1111 = 1234321
➜ पैटर्न: परिणाम पहले बढ़ता है फिर घटता है!
101 × 101 = 10201
102 × 102 = 10404
103 × 103 = 10609
➜ प्रत्येक बार अंतर 203 बढ़ता है!
102 × 102 = 10404
103 × 103 = 10609
➜ प्रत्येक बार अंतर 203 बढ़ता है!
⚡ शीघ्र गणना की विधियाँ
- × 5 = संख्या को 2 से भाग करके 10 से गुणा करें
- × 25 = संख्या को 4 से भाग करके 100 से गुणा करें
- × 125 = संख्या को 8 से भाग करके 1000 से गुणा करें (क्योंकि 125 = 1000/8)
- 2 × 1768 × 50 = 1768 × (2 × 50) = 1768 × 100 = 1,76,800
सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
गलती 1 — अल्पविराम गलत जगह
❌ गलत: 1000000 (कोई अल्पविराम नहीं)
✅ सही (भारतीय): 10,00,000 (दस लाख)
✅ सही (अमेरिकी): 1,000,000 (एक मिलियन)
❌ गलत: 1000000 (कोई अल्पविराम नहीं)
✅ सही (भारतीय): 10,00,000 (दस लाख)
✅ सही (अमेरिकी): 1,000,000 (एक मिलियन)
गलती 2 — लाख और मिलियन में भ्रम
❌ गलत: 1 लाख = 1 मिलियन
✅ सही: 10 लाख = 1 मिलियन
✅ सही: 1 लाख = 0.1 मिलियन
❌ गलत: 1 लाख = 1 मिलियन
✅ सही: 10 लाख = 1 मिलियन
✅ सही: 1 लाख = 0.1 मिलियन
गलती 3 — शून्यों की गिनती में गलती
❌ गलत: 1 करोड़ में 6 शून्य
✅ सही: 1 करोड़ = 1,00,00,000 → 7 शून्य
❌ गलत: 1 करोड़ में 6 शून्य
✅ सही: 1 करोड़ = 1,00,00,000 → 7 शून्य
गलती 4 — सन्निकटन में अंक देखना भूलना
❌ गलत: 76,500 को निकटतम हजार में 76,000 लिखना
✅ सही: 76,500 → 77,000 (क्योंकि 500 ≥ 500, ऊपर सन्निकट)
❌ गलत: 76,500 को निकटतम हजार में 76,000 लिखना
✅ सही: 76,500 → 77,000 (क्योंकि 500 ≥ 500, ऊपर सन्निकट)
गलती 5 — करोड़ और अरब में भ्रम
❌ गलत: 1 अरब = 10 करोड़
✅ सही: 1 अरब = 100 करोड़ = 1 बिलियन
❌ गलत: 1 अरब = 10 करोड़
✅ सही: 1 अरब = 100 करोड़ = 1 बिलियन
📚 अध्याय सारांश
🔢 एक लाख
1,00,000 — 1 के आगे 5 शून्य। 100 हजार = 1 लाख।
1,00,000 — 1 के आगे 5 शून्य। 100 हजार = 1 लाख।
💰 एक करोड़
1,00,00,000 — 1 के आगे 7 शून्य। 100 लाख = 1 करोड़।
1,00,00,000 — 1 के आगे 7 शून्य। 100 लाख = 1 करोड़।
🌍 एक मिलियन
10,00,000 — 10 लाख। अमेरिकी पद्धति में 1,000,000.
10,00,000 — 10 लाख। अमेरिकी पद्धति में 1,000,000.
🌐 एक अरब
1,00,00,00,000 — 100 करोड़ = 1 बिलियन। 9 शून्य।
1,00,00,00,000 — 100 करोड़ = 1 बिलियन। 9 शून्य।
🎯 सन्निकट मान
≥5 हो → ऊपर, <5 हो → नीचे की ओर सन्निकट करें।
≥5 हो → ऊपर, <5 हो → नीचे की ओर सन्निकट करें।
✖️ गुणन नियम
m × n अंकों का गुणनफल = (m+n-1) से (m+n) अंक।
m × n अंकों का गुणनफल = (m+n-1) से (m+n) अंक।
📝 परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)
प्र.1. 3,87,69,957 को निकटतम लाख में सन्निकट कीजिए।
हल: 3,87,69,957 में लाख के स्थान पर 7 है। दस हजार के स्थान पर 6 है जो 5 ≥ है, इसलिए ऊपर सन्निकट करेंगे।
उत्तर: 3,87,00,000 → 3,88,00,000 ✅
उत्तर: 3,87,00,000 → 3,88,00,000 ✅
प्र.2. शब्दों में लिखिए: (a) 1,00,00,000 (b) 10,00,000 (c) 1,00,00,00,000
हल:
(a) 1,00,00,000 = एक करोड़
(b) 10,00,000 = दस लाख (= 1 मिलियन)
(c) 1,00,00,00,000 = एक अरब (= 100 करोड़ = 1 बिलियन)
(a) 1,00,00,000 = एक करोड़
(b) 10,00,000 = दस लाख (= 1 मिलियन)
(c) 1,00,00,00,000 = एक अरब (= 100 करोड़ = 1 बिलियन)
प्र.3. 25 × 240 का शीघ्र परिकलन कीजिए।
हल: 25 × 240 = 25 × 4 × 60 = 100 × 60 = 6,000
या: 25 × 240 = (100/4) × 240 = 24000/4 = 6,000 ✅
या: 25 × 240 = (100/4) × 240 = 24000/4 = 6,000 ✅
प्र.4. 500 लाख और 5 मिलियन में क्या संबंध है — ‘<‘, ‘>’ या ‘=’?
हल: 500 लाख = 5,00,00,000
5 मिलियन = 50,00,000
5,00,00,000 > 50,00,000
उत्तर: 500 लाख > 5 मिलियन ✅
5 मिलियन = 50,00,000
5,00,00,000 > 50,00,000
उत्तर: 500 लाख > 5 मिलियन ✅
प्र.5. 2-अंकों की दो संख्याओं का गुणनफल अधिकतम कितने अंकों का हो सकता है?
हल: 2-अंकीय सबसे बड़ी संख्या = 99
99 × 99 = 9,801 → यह 4 अंकों की संख्या है।
2-अंकीय सबसे छोटा गुणनफल: 10 × 10 = 100 (3 अंक)
उत्तर: 2-अंकों × 2-अंकों का गुणनफल = 3 या 4 अंकों का ✅
99 × 99 = 9,801 → यह 4 अंकों की संख्या है।
2-अंकीय सबसे छोटा गुणनफल: 10 × 10 = 100 (3 अंक)
उत्तर: 2-अंकों × 2-अंकों का गुणनफल = 3 या 4 अंकों का ✅
प्र.6. 640 करोड़ और 60 बिलियन में तुलना कीजिए।
हल: 640 करोड़ = 640 × 1,00,00,000 = 6,40,00,00,000
60 बिलियन = 60 × 1,000,000,000 = 60,000,000,000 = 6,00,00,00,000
6,40,00,00,000 > 6,00,00,00,000
उत्तर: 640 करोड़ > 60 बिलियन ✅
60 बिलियन = 60 × 1,000,000,000 = 60,000,000,000 = 6,00,00,00,000
6,40,00,00,000 > 6,00,00,00,000
उत्तर: 640 करोड़ > 60 बिलियन ✅
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