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गणित | कक्षा 7 | NCERT
अंकगणितीय व्यंजक
संख्याओं और संक्रियाओं के संयोजन को व्यंजक कहते हैं। इस अध्याय में हम पदों, कोष्ठकों, और वितरण के गुण के बारे में विस्तार से समझेंगे।
📘 सरल व्यंजक
➕ व्यंजकों की तुलना
🔢 पद (Terms)
🔲 कोष्ठक
✖️ वितरण का गुण
📐 क्रमविनिमेयता
➕ व्यंजकों की तुलना
🔢 पद (Terms)
🔲 कोष्ठक
✖️ वितरण का गुण
📐 क्रमविनिमेयता
📋 विषय-सूची
परिचय — व्यंजक (Expression) क्या है?
आपने 13 + 2, 20 – 4, 12 × 5, और 18 ÷ 3 जैसे गणितीय वाक्यांश देखे होंगे। ऐसे वाक्यांश अंकगणितीय व्यंजक कहलाते हैं।
🔑 परिभाषा
व्यंजक = संख्याएँ + गणितीय संक्रियाएँ (+, –, ×, ÷)
प्रत्येक व्यंजक का एक मान (Value) होता है जो उसका परिणाम होता है।
13
+
2
=
15
+
2
=
15
याद रखें
हम व्यंजक और उसके मान के बीच संबंध दर्शाने के लिए बराबर के चिह्न ‘=’ का उपयोग करते हैं।
जैसे: 13 + 2 = 15
हम व्यंजक और उसके मान के बीच संबंध दर्शाने के लिए बराबर के चिह्न ‘=’ का उपयोग करते हैं।
जैसे: 13 + 2 = 15
📝 उदाहरण — एक ही मान के अनेक व्यंजक
संख्या 12 को विभिन्न तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:
योग द्वारा10 + 2 = 12
घटाव द्वारा15 – 3 = 12
गुणा द्वारा3 × 4 = 12
भाग द्वारा24 ÷ 2 = 12
कहानी — मल्लिका का खर्च
मल्लिका विद्यालय में भोजन के लिए प्रतिदिन ₹25 खर्च करती है। सोमवार से शुक्रवार (5 दिन) का कुल खर्च = 5 × 25 = 125 रुपये
मल्लिका विद्यालय में भोजन के लिए प्रतिदिन ₹25 खर्च करती है। सोमवार से शुक्रवार (5 दिन) का कुल खर्च = 5 × 25 = 125 रुपये
व्यंजकों की तुलना
जिस प्रकार हम संख्याओं की तुलना =, < और > से करते हैं, उसी प्रकार व्यंजकों की भी तुलना उनके मानों के आधार पर की जाती है।
10 + 2 > 7 + 1 क्योंकि 12 > 8
🧠 बिना गणना किए तुलना करना
कभी-कभी हम सीधे गणना किए बिना भी व्यंजकों की तुलना कर सकते हैं:
| व्यंजक 1 | तुलना | व्यंजक 2 | कारण |
|---|---|---|---|
| 1023 + 125 | < (छोटा) | 1022 + 128 | राजा के पास 1 ज्यादा था, जॉय को 3 ज्यादा मिले → जॉय के पास 2 ज्यादा |
| 113 – 25 | = (बराबर) | 112 – 24 | पहले में 1 अधिक, घटाने में भी 1 अधिक → बराबर |
| 245 + 289 | > | 246 + 285 | पहले में 1 कम लेकिन दूसरे में 4 ज्यादा घटाया |
सुझाव
तुलना के लिए मानों की अनुमानित जांच करें — क्या एक व्यंजक में वृद्धि दूसरे की वृद्धि से अधिक है? बस इतना समझें।
तुलना के लिए मानों की अनुमानित जांच करें — क्या एक व्यंजक में वृद्धि दूसरे की वृद्धि से अधिक है? बस इतना समझें।
जटिल व्यंजकों को पढ़ना और मान निकालना
जब किसी व्यंजक में एक से अधिक संक्रियाएँ हों तो उसका मान निकालने की एक से अधिक विधियाँ हो सकती हैं।
कहानी — मल्लेश और अरुण के कंचे
मल्लेश 30 कंचे लाया। अरुण 5 थैले लाया, प्रत्येक में 4 कंचे।
व्यंजक: 30 + 5 × 4पूर्णार्णा ने पहले जोड़ा: (30 + 5) × 4 = 35 × 4 = 140 ❌ गलत!
मल्लेश ने पहले गुणा किया: 30 + (5 × 4) = 30 + 20 = 50 ✅ सही!
मल्लेश 30 कंचे लाया। अरुण 5 थैले लाया, प्रत्येक में 4 कंचे।
व्यंजक: 30 + 5 × 4पूर्णार्णा ने पहले जोड़ा: (30 + 5) × 4 = 35 × 4 = 140 ❌ गलत!
मल्लेश ने पहले गुणा किया: 30 + (5 × 4) = 30 + 20 = 50 ✅ सही!
सावधानी
30 + 5 × 4 को देखकर यह स्पष्ट नहीं होता कि पहले क्या करें। इसीलिए कोष्ठक का उपयोग जरूरी है!
30 + 5 × 4 को देखकर यह स्पष्ट नहीं होता कि पहले क्या करें। इसीलिए कोष्ठक का उपयोग जरूरी है!
व्यंजकों में कोष्ठक (Brackets)
📌 कोष्ठक का नियम
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का मान पहले निकालते हैं!
🧮 उदाहरण 1 — कंचों की संख्या
30 + (5 × 4)
= 30 + 20 ← पहले कोष्ठक हल किया
= 50
= 30 + 20 ← पहले कोष्ठक हल किया
= 50
💰 उदाहरण 2 — इरफान का वापसी पैसा
इरफान ने बिस्कुट पर ₹15 और तूर की दाल पर ₹56 खर्च किए। उसने ₹100 दिए।
गलत व्यंजक
100 – 15 + 56 = 141 ← यह गलत है! इतने पैसे वापस नहीं मिल सकते।
100 – 15 + 56 = 141 ← यह गलत है! इतने पैसे वापस नहीं मिल सकते।
सही व्यंजक (कोष्ठक के साथ)
100 – (15 + 56) = 100 – 71 = 29 रुपये ✅
100 – (15 + 56) = 100 – 71 = 29 रुपये ✅
🌟
क्या आप जानते हैं?गणित में कोष्ठक वैसे ही काम करते हैं जैसे भाषा में विराम चिह्न! जैसे “शालिनी खिलौनों के साथ, एक सहेली के पास बैठी है” में अल्प-विराम अर्थ बदल देता है — उसी तरह कोष्ठक संक्रिया का क्रम तय करता है।
व्यंजकों में पद (Terms)
📌 पद की परिभाषा
पद = वे भाग जो ‘+’ चिह्न से अलग किए जाते हैं
घटाव को जोड़ में बदलकर पद पहचाने जाते हैं:
83 – 14 = 83 + (–14) → पद: 83 और –14
| व्यंजक | पदों के योग के रूप में | पद |
|---|---|---|
| 12 + 7 | 12 + 7 | 12, 7 |
| 13 – 2 + 6 | 13 + (–2) + 6 | 13, –2, 6 |
| 6 × 5 + 3 | (6 × 5) + 3 | 6 × 5, 3 |
| –18 – 3 | –18 + (–3) | –18, –3 |
| 2 – 10 + 4 × 6 | 2 + (–10) + (4 × 6) | 2, –10, 4 × 6 |
याद रखें
6 × 5 और 4 × 6 जैसे गुणनफल एकल पद हैं क्योंकि उनमें कोई ‘+’ का चिह्न नहीं है।
6 × 5 और 4 × 6 जैसे गुणनफल एकल पद हैं क्योंकि उनमें कोई ‘+’ का चिह्न नहीं है।
🧮 व्यंजक का मान पदों के आधार पर निकालना
विधि
पहले प्रत्येक पद का मान निकालें, फिर सभी पदों को जोड़ें।
पहले प्रत्येक पद का मान निकालें, फिर सभी पदों को जोड़ें।
30 + 5 × 4
= 30 + 5 × 4 ← दो पद
= 30 + 20
= 50
= 30 + 5 × 4 ← दो पद
= 30 + 20
= 50
अदला-बदली और समूहीकरण के गुण
🔀 क्रमविनिमेयता गुण (Commutative Property)
पद 1 + पद 2 = पद 2 + पद 1 (क्रम बदलने से योगफल नहीं बदलता)
उदाहरण
6 + (–4) = 2
(–4) + 6 = 2 ✅ बराबर!
6 + (–4) = 2
(–4) + 6 = 2 ✅ बराबर!
जीवन में उदाहरण
पहले टोपी पहनो फिर जूते, या पहले जूते फिर टोपी — दोनों में एक जैसे दिखते हैं! 🎩👟
पहले टोपी पहनो फिर जूते, या पहले जूते फिर टोपी — दोनों में एक जैसे दिखते हैं! 🎩👟
🗂️ साहचर्यता गुण (Associative Property)
(पद 1 + पद 2) + पद 3 = पद 1 + (पद 2 + पद 3)
समूहीकरण का तरीका बदलने से भी योगफल नहीं बदलता।
(–7) + 10 + (–11)
विधि 1: [(–7) + 10] + (–11) = 3 + (–11) = –8
विधि 2: (–7) + [10 + (–11)] = (–7) + (–1) = –8
विधि 3: [(–7) + (–11)] + 10 = (–18) + 10 = –8
याद रखें
पदों को किसी भी क्रम में जोड़ने से समान मान प्राप्त होता है। इसीलिए मनसा को अपनी लिस्ट में छूटी हुई संख्या सिर्फ जोड़नी होगी — शुरू से दोबारा नहीं करना होगा!
पदों को किसी भी क्रम में जोड़ने से समान मान प्राप्त होता है। इसीलिए मनसा को अपनी लिस्ट में छूटी हुई संख्या सिर्फ जोड़नी होगी — शुरू से दोबारा नहीं करना होगा!
कोष्ठकों को हटाना
📘 नियम 1 — धनात्मक चिह्न के बाद कोष्ठक
28 + (35 – 10) → 28 + 35 – 10 = 53
नियम
जब कोष्ठक के आगे धनात्मक (+) चिह्न हो तो कोष्ठक हटाने पर अंदर के पदों के चिह्न नहीं बदलते।
जब कोष्ठक के आगे धनात्मक (+) चिह्न हो तो कोष्ठक हटाने पर अंदर के पदों के चिह्न नहीं बदलते।
📗 नियम 2 — ऋणात्मक चिह्न के बाद कोष्ठक
200 – (40 + 3) = 200 – 40 – 3 = 157
महत्वपूर्ण नियम
जब कोष्ठक के आगे ऋणात्मक (–) चिह्न हो तो कोष्ठक हटाने पर अंदर के सभी पदों के चिह्न बदल जाते हैं!
200 – (40 + 3) = 200 – 40 – 3 ✅
200 – (40 + 3) ≠ 200 – 40 + 3 ❌
जब कोष्ठक के आगे ऋणात्मक (–) चिह्न हो तो कोष्ठक हटाने पर अंदर के सभी पदों के चिह्न बदल जाते हैं!
200 – (40 + 3) = 200 – 40 – 3 ✅
200 – (40 + 3) ≠ 200 – 40 + 3 ❌
| व्यंजक | कोष्ठक हटाने के बाद | मान |
|---|---|---|
| 14 + (12 + 10) | 14 + 12 + 10 | 36 |
| 14 – (12 + 10) | 14 – 12 – 10 | –8 |
| 14 + (12 – 10) | 14 + 12 – 10 | 16 |
| 14 – (12 – 10) | 14 – 12 + 10 | 12 |
| 500 – (250 – 100) | 500 – 250 + 100 | 350 |
आसान याददाश्त
ऋणात्मक चिह्न = सब पलट जाता है!
कोष्ठक के अंदर के + → – और – → + हो जाते हैं।
ऋणात्मक चिह्न = सब पलट जाता है!
कोष्ठक के अंदर के + → – और – → + हो जाते हैं।
वितरण का गुण (Distributive Property)
🎯 मुख्य सूत्र
a × (b + c) = a × b + a × c
a × (b – c) = a × b – a × c
📖 उदाहरण — ल्हामो और नोर्बू का खाना
दोनों ने एक-एक वड़ा (₹43) और एक-एक रसगुल्ला (₹24) मँगवाया।
कुल = 2 × (43 + 24)
↕
= 2 × 43 + 2 × 24 = 86 + 48 = 134
🏫 उदाहरण — स्काउट और गाइड परेड
4 पंक्ति स्काउट + 3 पंक्ति गाइड, प्रत्येक पंक्ति में 5:
4 × 5 + 3 × 5
= (4 + 3) × 5 ← वितरण का गुण
= 7 × 5
= 35
= (4 + 3) × 5 ← वितरण का गुण
= 7 × 5
= 35
⚡ मानसिक गणना की चाल
97 × 25 = ?
= (100 – 3) × 25
= 100×25 – 3×25
= 2500 – 75 = 2425
= (100 – 3) × 25
= 100×25 – 3×25
= 2500 – 75 = 2425
63 × 18 = ?
(जब 53 × 18 = 954 दिया हो)
= (53+10) × 18
= 954 + 180 = 1134
(जब 53 × 18 = 954 दिया हो)
= (53+10) × 18
= 954 + 180 = 1134
वितरण का गुण — संक्षेप में
किसी योगफल (अंतर) का गुणज = गुणजों के योगफल (अंतर) के समान होता है।
यानी: a × (b ± c) = a×b ± a×c
किसी योगफल (अंतर) का गुणज = गुणजों के योगफल (अंतर) के समान होता है।
यानी: a × (b ± c) = a×b ± a×c
🌟
क्या आप जानते हैं?वितरण के गुण का उपयोग करके हम बड़े-बड़े गुणनफल मन में ही निकाल सकते हैं! जैसे 99 × 37 = (100 – 1) × 37 = 3700 – 37 = 3663 — कलम उठाने की भी जरूरत नहीं!
सामान्य गलतियाँ — इनसे बचें!
- ❌ गलत: 30 + 5 × 4 = 35 × 4 = 140
✅ सही: 30 + 5 × 4 = 30 + 20 = 50
(पहले गुणा, फिर जोड़) - ❌ गलत: 100 – 15 + 56 = 141 (वापसी पैसा)
✅ सही: 100 – (15 + 56) = 29
(कोष्ठक जरूरी था) - ❌ गलत: 200 – (40 + 3) = 200 – 40 + 3 = 163
✅ सही: 200 – (40 + 3) = 200 – 40 – 3 = 157
(ऋणात्मक चिह्न से कोष्ठक हटाने पर सब चिह्न बदलते हैं) - ❌ गलत: 5 × 4 + 3 = 5 × (4 + 3)
✅ सही: 5 × 4 + 3 = 23 ≠ 5 × 7 = 35
(वितरण का गुण: 5 से दोनों पदों को गुणा करना होता) - ❌ गलत: – (8 + 3) = –8 + 3
✅ सही: – (8 + 3) = –8 – 3 = –11
(ऋणात्मक चिह्न सभी पदों पर लागू होता है)
अध्याय सारांश
📌 व्यंजक
संख्याओं और संक्रियाओं (+, –, ×, ÷) के संयोजन को अंकगणितीय व्यंजक कहते हैं।
संख्याओं और संक्रियाओं (+, –, ×, ÷) के संयोजन को अंकगणितीय व्यंजक कहते हैं।
⚖️ व्यंजकों की तुलना
=, <, > चिह्नों से मानों के आधार पर तुलना होती है।
=, <, > चिह्नों से मानों के आधार पर तुलना होती है।
🔲 कोष्ठक
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का मान सबसे पहले निकाला जाता है।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का मान सबसे पहले निकाला जाता है।
🔠 पद (Terms)
‘+’ चिह्न से अलग किए गए भाग पद कहलाते हैं। (घटाव को जोड़ में बदलकर पद पहचानें)
‘+’ चिह्न से अलग किए गए भाग पद कहलाते हैं। (घटाव को जोड़ में बदलकर पद पहचानें)
🔄 क्रमविनिमेयता गुण
पदों का क्रम बदलने से योगफल नहीं बदलता। a + b = b + a
पदों का क्रम बदलने से योगफल नहीं बदलता। a + b = b + a
🗂️ साहचर्यता गुण
समूहीकरण बदलने से योगफल नहीं बदलता। (a+b)+c = a+(b+c)
समूहीकरण बदलने से योगफल नहीं बदलता। (a+b)+c = a+(b+c)
⚠️ ऋणात्मक चिह्न + कोष्ठक
ऋणात्मक चिह्न के बाद कोष्ठक हटाने पर अंदर के सभी चिह्न बदलते हैं।
ऋणात्मक चिह्न के बाद कोष्ठक हटाने पर अंदर के सभी चिह्न बदलते हैं।
✖️ वितरण का गुण
a × (b + c) = a×b + a×c
a × (b – c) = a×b – a×c
a × (b + c) = a×b + a×c
a × (b – c) = a×b – a×c
📝
परीक्षा प्रश्नोत्तर
प्र.1. निम्नलिखित व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए: (a) 28 – 7 + 8 (b) 39 – 2 × 6 + 11
(a) 28 – 7 + 8
पद: 28, –7, 8
= 28 + (–7) + 8 = 21 + 8 = 29(b) 39 – 2 × 6 + 11
पद: 39, –(2×6), 11 → 39, –12, 11
= 39 – 12 + 11 = 27 + 11 = 38
पद: 28, –7, 8
= 28 + (–7) + 8 = 21 + 8 = 29(b) 39 – 2 × 6 + 11
पद: 39, –(2×6), 11 → 39, –12, 11
= 39 – 12 + 11 = 27 + 11 = 38
प्र.2. कोष्ठक को हटाइए और समान मान वाला व्यंजक लिखिए: (a) 14 – (12 + 10) (b) 14 – (12 – 10)
(a) 14 – (12 + 10)
ऋणात्मक चिह्न → सभी चिह्न बदलेंगे
= 14 – 12 – 10 = –8(b) 14 – (12 – 10)
= 14 – 12 + 10 (– का + हुआ, + का – हुआ)
= 2 + 10 = 12
ऋणात्मक चिह्न → सभी चिह्न बदलेंगे
= 14 – 12 – 10 = –8(b) 14 – (12 – 10)
= 14 – 12 + 10 (– का + हुआ, + का – हुआ)
= 2 + 10 = 12
प्र.3. बिना हल किए >, < या = भरिए: (a) (8–3) × 29 □ (3–8) × 29 (b) (34–28) × 42 □ 34×42 – 28×42
(a) (8–3) = 5 और (3–8) = –5
5 × 29 और –5 × 29 → (8–3)×29 > (3–8)×29(b) वितरण के गुण से: (34–28) × 42 = 34×42 – 28×42
अतः: (34–28) × 42 = 34×42 – 28×42
5 × 29 और –5 × 29 → (8–3)×29 > (3–8)×29(b) वितरण के गुण से: (34–28) × 42 = 34×42 – 28×42
अतः: (34–28) × 42 = 34×42 – 28×42
प्र.4. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए: 3 × (5 + 8) = 3 × 5 ___ 3 × ___
वितरण के गुण से: a × (b + c) = a×b + a×c
3 × (5 + 8) = 3 × 5 + 3 × 8
जाँच: 3 × 13 = 15 + 24 = 39 ✅
3 × (5 + 8) = 3 × 5 + 3 × 8
जाँच: 3 × 13 = 15 + 24 = 39 ✅
प्र.5. 97 × 25 का मान वितरण के गुण का उपयोग करके ज्ञात कीजिए।
97 × 25
= (100 – 3) × 25
= 100 × 25 – 3 × 25 (वितरण का गुण)
= 2500 – 75
= 2425
= (100 – 3) × 25
= 100 × 25 – 3 × 25 (वितरण का गुण)
= 2500 – 75
= 2425
प्र.6. एक कक्षा में 33 विद्यार्थी खेल रहे हैं। शिक्षक ने ‘5’ बोला, 6 समूह बने और 3 बच गए। इसे व्यंजक में लिखिए और पदों की पहचान कीजिए।
व्यंजक: 6 × 5 + 3
पद: 6 × 5 (पहला पद) और 3 (दूसरा पद)
मान: 30 + 3 = 33 ✅
पद: 6 × 5 (पहला पद) और 3 (दूसरा पद)
मान: 30 + 3 = 33 ✅
प्र.7. निम्नलिखित व्यंजकों के मान ज्ञात कीजिए: 5 × (3 + 2) + 7 × 8 + 3
5 × (3 + 2) + 7 × 8 + 3
पद: 5×(3+2), 7×8, 3
= 5 × 5 + 7 × 8 + 3 (पहले कोष्ठक हल किया)
= 25 + 56 + 3
= 84
पद: 5×(3+2), 7×8, 3
= 5 × 5 + 7 × 8 + 3 (पहले कोष्ठक हल किया)
= 25 + 56 + 3
= 84
प्र.8. यशोदा 36 में से 9 घटाना चाहती है। वह 10 घटाकर 1 जोड़ देती है। क्या यह सही है?
36 – 9 = 36 – 10 + 1
= (36 – 10) + 1
= 26 + 1 = 27 ✅हाँ, यह सही है! क्योंकि:
a – 9 = a – 10 + 1 (10 घटाया, 1 वापस जोड़ा)
कोष्ठक नियम से: a – (10 – 1) = a – 10 + 1 ✅
= (36 – 10) + 1
= 26 + 1 = 27 ✅हाँ, यह सही है! क्योंकि:
a – 9 = a – 10 + 1 (10 घटाया, 1 वापस जोड़ा)
कोष्ठक नियम से: a – (10 – 1) = a – 10 + 1 ✅
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