Notes For All Chapters – गणित Class 7th
📚 गणित | कक्षा 7 | NCERT
📘 अध्याय 4 — अक्षर-संख्याओं के उपयोगी व्यंजक
बीजगणित की दुनिया में कदम रखिए — जहाँ अक्षर संख्याओं का काम करते हैं और व्यंजक गणितीय संबंधों को सरल भाषा में बताते हैं।
🔤 अक्षर-संख्याएँ
📐 बीजगणितीय व्यंजक
🔢 सरलीकरण
🧩 पैटर्न
📏 परिमाप के सूत्र
📐 बीजगणितीय व्यंजक
🔢 सरलीकरण
🧩 पैटर्न
📏 परिमाप के सूत्र
📋 विषय-सूची
परिचय — अक्षर-संख्याओं की धारणा
इस अध्याय में हम गणितीय संबंधों और प्रतिरूपों को व्यक्त करने की एक संक्षिप्त विधि सीखेंगे। यह विधि हमें यह सोचने और समझने में मदद करती है कि गणितीय संबंध क्यों सत्य होते हैं।
कहानी — शबनम और आफताब
शबनम, आफताब से 3 वर्ष बड़ी है। जब आफताब की आयु 10 वर्ष थी तब शबनम की आयु 13 वर्ष थी। अब आफताब की आयु 18 वर्ष है — तो शबनम की आयु 21 वर्ष होगी। हम शबनम की आयु जानने के लिए आफताब की आयु में 3 जोड़ते हैं।
शबनम, आफताब से 3 वर्ष बड़ी है। जब आफताब की आयु 10 वर्ष थी तब शबनम की आयु 13 वर्ष थी। अब आफताब की आयु 18 वर्ष है — तो शबनम की आयु 21 वर्ष होगी। हम शबनम की आयु जानने के लिए आफताब की आयु में 3 जोड़ते हैं।
📝 व्यंजक कैसे बनाएँ?
आफताब की आयु को a से दर्शाते हैं, तो शबनम की आयु का व्यंजक होगा:
शबनम की आयु = a + 3
| आफताब की आयु (a) | शबनम की आयु के लिए व्यंजक | शबनम की आयु |
|---|---|---|
| 4 | 4 + 3 | 7 |
| 10 | 10 + 3 | 13 |
| 23 | 23 + 3 | 26 |
| a | a + 3 | a + 3 |
नोट
यदि शबनम की आयु ज्ञात हो तो आफताब की आयु = s − 3 होगी — यानी शबनम की आयु से 3 कम।
यदि शबनम की आयु ज्ञात हो तो आफताब की आयु = s − 3 होगी — यानी शबनम की आयु से 3 कम।
🔧 माचिस की तीलियों का उदाहरण
पार्थिव माचिस की तीलियों से ‘L’ आकार बना रहा है। प्रत्येक L में 2 तीलियाँ लगती हैं।
माचिस की तीलियों की संख्या = 2 × n = 2n
(जहाँ n = L की संख्या)
मुख्य अवधारणाएँ — अक्षर-संख्याएँ और व्यंजक
🔤 अक्षर-संख्याएँ (Variables)
वे अक्षर जो किसी संख्या का स्थान लेते हैं जैसे a, b, x, y, n आदि। इनका मान बदल सकता है।
वे अक्षर जो किसी संख्या का स्थान लेते हैं जैसे a, b, x, y, n आदि। इनका मान बदल सकता है।
📐 बीजगणितीय व्यंजक
ऐसे गणितीय व्यंजक जिनमें अक्षर-संख्याएँ हों जैसे a + 3, 2n, 4 × q आदि।
ऐसे गणितीय व्यंजक जिनमें अक्षर-संख्याएँ हों जैसे a + 3, 2n, 4 × q आदि।
🛒 केतकी का उदाहरण — नारियल और गुड़
एक नारियल का मूल्य ₹35 है। 1 किलोग्राम गुड़ का मूल्य ₹60 है।
यदि c = नारियलों की संख्या और j = गुड़ के किलोग्राम हों तो:
| आवश्यक मात्रा | संबंध | व्यंजक |
|---|---|---|
| नारियल का मूल्य | नारियलों की संख्या × 35 | c × 35 |
| गुड़ का मूल्य | गुड़ के किलोग्राम की संख्या × 60 | j × 60 |
कुल भुगतान = c × 35 + j × 60
सुझाव
7 नारियल और 4 किलोग्राम गुड़ के लिए: c = 7, j = 4 रखें:
7 × 35 + 4 × 60 = 245 + 240 = ₹485
7 नारियल और 4 किलोग्राम गुड़ के लिए: c = 7, j = 4 रखें:
7 × 35 + 4 × 60 = 245 + 240 = ₹485
🔷 परिमाप के सूत्र (व्यंजक)
⬛ वर्ग का परिमाप
4 × q = 4q
(q = भुजा की लम्बाई)7 से.मी. भुजा के वर्ग का परिमाप = 4 × 7 = 28 से.मी.
4 × q = 4q
(q = भुजा की लम्बाई)7 से.मी. भुजा के वर्ग का परिमाप = 4 × 7 = 28 से.मी.
📐 समबाहु त्रिभुज का परिमाप
3 × a = 3a
(a = भुजा की लम्बाई)समपंचभुज का परिमाप = 5a, षट्भुज = 6a
3 × a = 3a
(a = भुजा की लम्बाई)समपंचभुज का परिमाप = 5a, षट्भुज = 6a
🌟
क्या आप जानते हैं?
बीजगणित का उपयोग भारत में सैकड़ों साल पहले से हो रहा है! आर्यभट्ट और ब्रह्मगुप्त जैसे महान भारतीय गणितज्ञों ने अक्षर-संख्याओं का उपयोग करके जटिल गणितीय सूत्र बनाए थे। “बीजगणित” शब्द संस्कृत से आया है जिसका अर्थ है “बीज (प्रारंभिक) गणना”।
बीजगणित का उपयोग भारत में सैकड़ों साल पहले से हो रहा है! आर्यभट्ट और ब्रह्मगुप्त जैसे महान भारतीय गणितज्ञों ने अक्षर-संख्याओं का उपयोग करके जटिल गणितीय सूत्र बनाए थे। “बीजगणित” शब्द संस्कृत से आया है जिसका अर्थ है “बीज (प्रारंभिक) गणना”।
गुण और नियम — अंकगणितीय व्यंजकों का पुनरावलोकन
बीजगणितीय व्यंजकों में वही नियम लागू होते हैं जो अंकगणितीय व्यंजकों में लागू होते हैं।
🔄 अदला-बदली (Commutativity)
दो संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है।
a + b = b + a
दो संख्याओं को किसी भी क्रम में जोड़ा जा सकता है।
a + b = b + a
🔗 समूहीकरण (Associativity)
संख्याओं को आसान समूह बनाकर जोड़ने से मान नहीं बदलता।
(a + b) + c = a + (b + c)
संख्याओं को आसान समूह बनाकर जोड़ने से मान नहीं बदलता।
(a + b) + c = a + (b + c)
📦 वितरण गुण (Distributivity)
किसी योगफल का गुणज = गुणजों का योग।
a × (b + c) = ab + ac
किसी योगफल का गुणज = गुणजों का योग।
a × (b + c) = ab + ac
🔣 ऋणात्मक कोष्ठक
ऋण चिह्न के साथ कोष्ठक हटाने पर सभी चिह्न बदल जाते हैं।
−(a + b) = −a − b
ऋण चिह्न के साथ कोष्ठक हटाने पर सभी चिह्न बदल जाते हैं।
−(a + b) = −a − b
🧮 व्यंजकों के मान ज्ञात करना
नीचे कुछ व्यंजकों के मान ज्ञात किए गए हैं:
23 − 10 × 2 = 23 + (−10 × 2) = 23 + (−20) = 383 + 28 − 13 + 32
= (83 − 13) + (28 + 32)
= 70 + 60 = 13068 − (18 + 13) = 68 − 31 = 37
(या) = 68 − 18 − 13 = 50 − 13 = 377 × 4 + 9 × 6 = 28 + 54 = 8220 + 8 × (16 − 6) = 20 + 8 × 10 = 20 + 80 = 100
= (83 − 13) + (28 + 32)
= 70 + 60 = 13068 − (18 + 13) = 68 − 31 = 37
(या) = 68 − 18 − 13 = 50 − 13 = 377 × 4 + 9 × 6 = 28 + 54 = 8220 + 8 × (16 − 6) = 20 + 8 × 10 = 20 + 80 = 100
याद रखें — BODMAS नियम
व्यंजक का मान निकालते समय क्रम: Brackets → Order (घातांक) → Division → Multiplication → Addition → Subtraction। गुणा को जोड़ने से पहले करें!
व्यंजक का मान निकालते समय क्रम: Brackets → Order (घातांक) → Division → Multiplication → Addition → Subtraction। गुणा को जोड़ने से पहले करें!
गुणा का चिह्न हटाना (Removing × Sign)
मानक अभ्यास में गुणा का चिह्न (×) हटा दिया जाता है और संख्या को सीधे अक्षर के पहले लिखा जाता है।
📝 पुराना तरीका → नया तरीका
4 × n → 4n
7 × k → 7k
5 × m → 5m
1 × a → a (1 नहीं लिखते)
4 × n → 4n
7 × k → 7k
5 × m → 5m
1 × a → a (1 नहीं लिखते)
⚡ उदाहरण
यदि k = 4 हो तो:
7k = 7 × 4 = 28यदि m = 2 हो तो:
5m + 3 = 5 × 2 + 3 = 13
यदि k = 4 हो तो:
7k = 7 × 4 = 28यदि m = 2 हो तो:
5m + 3 = 5 × 2 + 3 = 13
🔢 4 के पहाड़े का उदाहरण
संख्या श्रेणी: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …
| स्थिति (n) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | n |
|---|---|---|---|---|---|---|
| पद का मान | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 4n |
श्रेणी का nवाँ पद = 4n
सुझाव
अक्षर-संख्याओं में गुणा को संख्या को अक्षर के पहले लिखकर दर्शाया जाता है। हमेशा पहले संख्या, फिर अक्षर लिखते हैं: 3x ✓ (न कि x3 ✗)
अक्षर-संख्याओं में गुणा को संख्या को अक्षर के पहले लिखकर दर्शाया जाता है। हमेशा पहले संख्या, फिर अक्षर लिखते हैं: 3x ✓ (न कि x3 ✗)
बीजगणितीय व्यंजकों का सरलीकरण
🔷 आयत का परिमाप
लम्बाई = l, चौड़ाई = b
परिमाप = l + b + l + b
= l + l + b + b
= 2l + 2b
= 2l + 2bजाँच: l = 3, b = 4 रखने पर:
l + b + l + b = 3 + 4 + 3 + 4 = 14 ✓
2l + 2b = 2×3 + 2×4 = 6 + 8 = 14 ✓
= l + l + b + b
= 2l + 2b
= 2l + 2bजाँच: l = 3, b = 4 रखने पर:
l + b + l + b = 3 + 4 + 3 + 4 = 14 ✓
2l + 2b = 2×3 + 2×4 = 6 + 8 = 14 ✓
🧮 सजातीय पद (Like Terms)
सजातीय पद वे पद होते हैं जिनकी अक्षर-संख्याएँ समान हों।
✅ सजातीय पद (जोड़ सकते हैं)
5c, 3c, 10c → सभी c वाले
5c + 3c + 10c = 18c12n, 4n → सभी n वाले
12n − 4n = 8n
5c, 3c, 10c → सभी c वाले
5c + 3c + 10c = 18c12n, 4n → सभी n वाले
12n − 4n = 8n
❌ विजातीय पद (नहीं जोड़ सकते)
18c और 11d → अलग-अलग अक्षर
18c + 11d = इसे और सरल नहीं किया जा सकता।2x और 3y → अलग-अलग हैं!
18c और 11d → अलग-अलग अक्षर
18c + 11d = इसे और सरल नहीं किया जा सकता।2x और 3y → अलग-अलग हैं!
📦 उदाहरण — दुकान की बिक्री (उदाहरण 5)
| पहला दिन | दूसरा दिन | तीसरा दिन | |
|---|---|---|---|
| पेंसिल (मूल्य c) | 5 | 3 | 10 |
| रबर (मूल्य d) | 4 | 6 | 1 |
पेंसिल की कुल बिक्री = 5c + 3c + 10c
= (5 + 3 + 10) × c
= 18cरबर की कुल बिक्री = 4d + 6d + 1d
= (4 + 6 + 1) × d
= 11dकुल कमाई = 18c + 11d (इसे और सरल नहीं किया जा सकता)
= (5 + 3 + 10) × c
= 18cरबर की कुल बिक्री = 4d + 6d + 1d
= (4 + 6 + 1) × d
= 11dकुल कमाई = 18c + 11d (इसे और सरल नहीं किया जा सकता)
याद रखें — वितरण गुण का उपयोग
5c + 3c + 10c = (5 + 3 + 10) × c = 18c
सजातीय पदों के गुणांकों को जोड़कर सरल व्यंजक मिलता है।
5c + 3c + 10c = (5 + 3 + 10) × c = 18c
सजातीय पदों के गुणांकों को जोड़कर सरल व्यंजक मिलता है।
🪑 किराया उदाहरण (उदाहरण 7)
💰 किराया
कुर्सी = ₹40 → 40x
मेज = ₹75 → 75y
कुल प्रारंभिक भुगतान = 40x + 75y
कुर्सी = ₹40 → 40x
मेज = ₹75 → 75y
कुल प्रारंभिक भुगतान = 40x + 75y
💸 वापसी
कुर्सी = ₹6 → 6x
मेज = ₹10 → 10y
कुल वापसी = 6x + 10y
कुर्सी = ₹6 → 6x
मेज = ₹10 → 10y
कुल वापसी = 6x + 10y
कुल भुगतान = (40x + 75y) − (6x + 10y)
= 40x + 75y − 6x − 10y
= (40 − 6)x + (75 − 10)y
= 34x + 65y
= 40x + 75y − 6x − 10y
= (40 − 6)x + (75 − 10)y
= 34x + 65y
प्रतिरूप (पैटर्न) और संबंध
🔺 माचिस की तीलियों से त्रिभुज पैटर्न
| चरण संख्या (y) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| माचिस की तीलियाँ | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
| 2y + 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
चरण y में माचिस की तीलियाँ = 2y + 1
(जाँच: 3 + 2 × (y − 1) को सरल करने पर भी 2y + 1 मिलता है ✓)
चरण 33: 2 × 33 + 1 = 66 + 1 = 67 तीलियाँ
चरण 84: 2 × 84 + 1 = 168 + 1 = 169 तीलियाँ
चरण 108: 2 × 108 + 1 = 216 + 1 = 217 तीलियाँ
चरण 84: 2 × 84 + 1 = 168 + 1 = 169 तीलियाँ
चरण 108: 2 × 108 + 1 = 216 + 1 = 217 तीलियाँ
📅 कैलेंडर में पैटर्न (2 × 2 वर्ग)
किसी भी 2 × 2 वर्ग में विकर्ण संख्याओं का योग समान होता है!
नवंबर 2024
| सोम | मंगल | बुध | गुरु |
| 10 | 11 | 12 | 13 |
| 17 | 18 | 19 | 20 |
विकर्ण का योग समान!
12 + 20 = 32
13 + 19 = 32यदि ऊपरी-बाईं संख्या = a हो तो:
a + (a+8) = 2a + 8
(a+1) + (a+7) = 2a + 8 ✓
12 + 20 = 32
13 + 19 = 32यदि ऊपरी-बाईं संख्या = a हो तो:
a + (a+8) = 2a + 8
(a+1) + (a+7) = 2a + 8 ✓
🎨 साड़ी के किनारे का पैटर्न (डिजाइन A, B, C)
एक साड़ी में 3 डिजाइन A, B, C बार-बार आते हैं। डिजाइन C 3 के गुणजों पर आता है।
| डिजाइन | nवीं बार की स्थिति | उदाहरण |
|---|---|---|
| C | 3n | 3, 6, 9, 12… |
| B | 3n − 1 | 2, 5, 8, 11… |
| A | 3n − 2 | 1, 4, 7, 10… |
सुझाव — स्थान संख्या को 3 से भाग करें
शेष 0 → डिजाइन C | शेष 2 → डिजाइन B | शेष 1 → डिजाइन A
स्थान 122 पर: 122 ÷ 3 = 40 शेष 2 → डिजाइन B
शेष 0 → डिजाइन C | शेष 2 → डिजाइन B | शेष 1 → डिजाइन A
स्थान 122 पर: 122 ÷ 3 = 40 शेष 2 → डिजाइन B
सामान्य गलतियाँ — सावधान रहें!
नीचे कुछ सामान्य गलतियाँ दी गई हैं जो विद्यार्थी अक्सर करते हैं:
| गलत व्यंजक | ❌ गलत मान | ✅ सही मान | गलती क्या है? |
|---|---|---|---|
| यदि a = −4, तो 10 − a | 6 | 14 | 10 − (−4) = 10 + 4 = 14 |
| यदि d = 6, तो 3d | 36 | 18 | 3 × 6 = 18, न कि 36 |
| यदि s = 7, तो 3s − 2 | 15 | 19 | 3 × 7 − 2 = 21 − 2 = 19 |
| यदि t = 4, b = 3, तो 2t + b | 24 | 11 | 2×4 + 3 = 8 + 3 = 11 |
| 3a + 2b | 5 (एक पद में) | 3a + 2b | विजातीय पद नहीं जोड़ सकते! |
| 6(p + 2) | 6p + 8 | 6p + 12 | 6 × 2 = 12, न कि 8 |
| 5 − (2 − 6z) | 3 − 6z | 3 + 6z | −(−6z) = +6z |
सावधानी — 5u और 5 + u अलग हैं!
5u = संख्या u का 5 गुना
5 + u = संख्या u से 5 अधिक
u = 2 के लिए: 5u = 10 और 5 + u = 7 — दोनों अलग हैं!
5u = संख्या u का 5 गुना
5 + u = संख्या u से 5 अधिक
u = 2 के लिए: 5u = 10 और 5 + u = 7 — दोनों अलग हैं!
सावधानी — 10y − 3 और 10(y − 3) अलग हैं!
10y − 3 = y का 10 गुना, फिर 3 घटाओ
10(y − 3) = पहले y में से 3 घटाओ, फिर 10 से गुणा करो
y = 5 के लिए: 10(5) − 3 = 47 और 10(5−3) = 20 — बिल्कुल अलग!
10y − 3 = y का 10 गुना, फिर 3 घटाओ
10(y − 3) = पहले y में से 3 घटाओ, फिर 10 से गुणा करो
y = 5 के लिए: 10(5) − 3 = 47 और 10(5−3) = 20 — बिल्कुल अलग!
📊 अध्याय सारांश
🔤 अक्षर-संख्याएँ
वे अक्षर (a, b, x, y, n) जो किसी अज्ञात संख्या को दर्शाते हैं।
वे अक्षर (a, b, x, y, n) जो किसी अज्ञात संख्या को दर्शाते हैं।
📐 बीजगणितीय व्यंजक
अक्षर-संख्याओं युक्त व्यंजक जैसे 2n, a+3, 4q आदि।
अक्षर-संख्याओं युक्त व्यंजक जैसे 2n, a+3, 4q आदि।
✅ सजातीय पद
समान अक्षर वाले पद जैसे 5c, 3c, 10c — इन्हें जोड़ा जा सकता है।
समान अक्षर वाले पद जैसे 5c, 3c, 10c — इन्हें जोड़ा जा सकता है।
📦 वितरण गुण
a(b + c) = ab + ac — कोष्ठक हटाने में उपयोगी।
a(b + c) = ab + ac — कोष्ठक हटाने में उपयोगी।
🔍 पैटर्न में व्यंजक
त्रिभुज श्रृंखला: 2y + 1 | साड़ी डिजाइन: 3n, 3n−1, 3n−2
त्रिभुज श्रृंखला: 2y + 1 | साड़ी डिजाइन: 3n, 3n−1, 3n−2
⚠️ विजातीय पद
अलग-अलग अक्षर वाले पद जैसे 18c + 11d को और सरल नहीं किया जा सकता।
अलग-अलग अक्षर वाले पद जैसे 18c + 11d को और सरल नहीं किया जा सकता।
परीक्षा प्रश्न और उत्तर
प्र.1. यदि a = 5 हो तो व्यंजक 3a + 7 का मान क्या होगा?
हल: 3a + 7 में a = 5 रखने पर
= 3 × 5 + 7
= 15 + 7
= 22
= 3 × 5 + 7
= 15 + 7
= 22
प्र.2. एक वर्ग की भुजा q से.मी. है। उसके परिमाप के लिए व्यंजक लिखिए और q = 8 से.मी. के लिए परिमाप ज्ञात कीजिए।
परिमाप का व्यंजक = 4q
q = 8 रखने पर: 4 × 8 = 32 से.मी.
q = 8 रखने पर: 4 × 8 = 32 से.मी.
प्र.3. व्यंजक 5c + 3c + 10c को सरल कीजिए।
5c + 3c + 10c
= (5 + 3 + 10) × c
= 18c
(वितरण गुण का उपयोग — सजातीय पद एकत्र किए)
= (5 + 3 + 10) × c
= 18c
(वितरण गुण का उपयोग — सजातीय पद एकत्र किए)
प्र.4. व्यंजक (7p − 3q) + (8p − 4q) + (6p − 2q) को सरल कीजिए। यह चारु की प्रश्नोत्तरी में तीन चरणों के कुल अंक हैं।
= 7p − 3q + 8p − 4q + 6p − 2q
= (7p + 8p + 6p) + (−3q − 4q − 2q)
= 21p − 9q
(p = सही उत्तर के अंक, q = गलत उत्तर पर कटने वाले अंक)
= (7p + 8p + 6p) + (−3q − 4q − 2q)
= 21p − 9q
(p = सही उत्तर के अंक, q = गलत उत्तर पर कटने वाले अंक)
प्र.5. माचिस की तीलियों से त्रिभुज बनाने पर चरण y में तीलियों की संख्या = 2y + 1 है। चरण 33 में कितनी तीलियाँ होंगी?
2y + 1 में y = 33 रखने पर:
= 2 × 33 + 1
= 66 + 1
= 67 तीलियाँ
= 2 × 33 + 1
= 66 + 1
= 67 तीलियाँ
प्र.6. व्यंजक 4(x + y) − y को सरल कीजिए।
4(x + y) − y
= 4x + 4y − y
= 4x + (4 − 1)y
= 4x + 3y
= 4x + 4y − y
= 4x + (4 − 1)y
= 4x + 3y
प्र.7. आयत की लम्बाई l और चौड़ाई b है। परिमाप के लिए सरलीकृत व्यंजक लिखिए।
परिमाप = l + b + l + b
= l + l + b + b
= 2l + 2b
= 2(l + b)
(यह वर्ग की भुजा × 4 = 4q के समान है)
= l + l + b + b
= 2l + 2b
= 2(l + b)
(यह वर्ग की भुजा × 4 = 4q के समान है)
प्र.8. एक प्लेट ज्वार की रोटी का मूल्य ₹30 और पुलाव का ₹20 है। x प्लेट ज्वार की रोटी और y प्लेट पुलाव के लिए कुल कमाई का व्यंजक कौन-सा है?
सही उत्तर: (a) 30x + 20y
कारण: ज्वार की रोटी की x प्लेट से कमाई = 30x और पुलाव की y प्लेट से = 20y
कुल = 30x + 20y
कारण: ज्वार की रोटी की x प्लेट से कमाई = 30x और पुलाव की y प्लेट से = 20y
कुल = 30x + 20y
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