गणित | कक्षा 7 | NCERT गणित प्रकाश
🔢 संख्याओं का खेल
अध्याय 6 — संख्याओं के रोचक पैटर्न, जादुई वर्ग, विरहांक-फिबोनाची अनुक्रम और अंक पहेलियाँ
📐 सम-विषम संख्याएँ
✨ जादुई वर्ग
🌸 विरहांक-फिबोनाची
🔐 अंक पहेली
📊 ग्रिड में योग
✨ जादुई वर्ग
🌸 विरहांक-फिबोनाची
🔐 अंक पहेली
📊 ग्रिड में योग
📋 विषय-सूची
6.1 परिचय — संख्याएँ हमें बताती हैं
इस अध्याय में हम संख्याओं के रोचक खेल सीखेंगे। संख्याएँ सिर्फ गिनने के लिए नहीं होतीं — वे कई बातें बता सकती हैं!
🧒 बच्चों की लंबाई का खेल
कल्पना कीजिए — कुछ बच्चे एक पंक्ति में खड़े हैं। नियम यह है कि प्रत्येक बच्चा अपने सामने खड़े उन बच्चों की संख्या बोलता है जो लंबाई में उससे बड़े हैं।
याद रखें
सबसे लंबा बच्चा हमेशा 0 बोलेगा क्योंकि उसके सामने उससे लंबा कोई नहीं है।
सबसे लंबा बच्चा हमेशा 0 बोलेगा क्योंकि उसके सामने उससे लंबा कोई नहीं है।
🔑 मुख्य बात
जो व्यक्ति ‘0’ बोलता है वह उस समूह में सबसे लंबा होता है।
जो व्यक्ति ‘0’ बोलता है वह उस समूह में सबसे लंबा होता है।
📝 उदाहरण
7 बच्चों की एक पंक्ति में अनुक्रम: 0, 1, 1, 2, 4, 1, 5
7 बच्चों की एक पंक्ति में अनुक्रम: 0, 1, 1, 2, 4, 1, 5
सुझाव
यह अनुक्रम गणना (Counting) की एक विशेष विधि है। इसे समझकर आप बिना माप के किसी भी व्यवस्था के बारे में जान सकते हैं।
यह अनुक्रम गणना (Counting) की एक विशेष विधि है। इसे समझकर आप बिना माप के किसी भी व्यवस्था के बारे में जान सकते हैं।
6.2 समानता चयन — सम और विषम संख्याएँ
समानता (Parity) का अर्थ है किसी संख्या का सम (Even) या विषम (Odd) होना।
सम संख्या = जो 2 से पूर्णतः विभाजित हो जाए | विषम संख्या = जो 2 से पूर्णतः विभाजित न हो
🎴 किशोर की पहेली
किशोर के पास 5 डिब्बे हैं और सभी नंबर कार्डों पर विषम संख्याएँ (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13) हैं। वह 5 कार्ड चुनकर योग 30 (सम संख्या) बनाना चाहता है।
सावधानी
किन्हीं 5 विषम संख्याओं को जोड़ने पर हमेशा विषम संख्या मिलती है, सम कभी नहीं! इसलिए किशोर की पहेली का हल संभव नहीं है।
किन्हीं 5 विषम संख्याओं को जोड़ने पर हमेशा विषम संख्या मिलती है, सम कभी नहीं! इसलिए किशोर की पहेली का हल संभव नहीं है।
🔵 सम संख्याओं की पहचान
किसी भी सम संख्या को बिना शेष के युग्मों (जोड़ियों) में व्यवस्थित किया जा सकता है।
सम + सम = सम | विषम + विषम = सम | सम + विषम = विषम
🟡 विषम संख्याओं की पहचान
विषम संख्याओं को युग्मों में व्यवस्थित नहीं किया जा सकता — एक हमेशा बच जाती है।
कहानी — मार्टिन और मारिया
दो भाई-बहन मार्टिन और मारिया का जन्म ठीक एक वर्ष के अंतराल में हुआ। मारिया कहती है उनकी आयु का योग 112 वर्ष है। क्या यह संभव है? नहीं! क्योंकि उनकी आयु दो क्रमागत संख्याएँ हैं (एक सम, एक विषम), और उनका योग हमेशा विषम होगा। परन्तु 112 तो सम है!
दो भाई-बहन मार्टिन और मारिया का जन्म ठीक एक वर्ष के अंतराल में हुआ। मारिया कहती है उनकी आयु का योग 112 वर्ष है। क्या यह संभव है? नहीं! क्योंकि उनकी आयु दो क्रमागत संख्याएँ हैं (एक सम, एक विषम), और उनका योग हमेशा विषम होगा। परन्तु 112 तो सम है!
सम-विषम के नियम और व्यंजकों की समानता
📊 योग की समानता तालिका
| संक्रिया | परिणाम | उदाहरण |
|---|---|---|
| सम + सम | ✅ सम | 4 + 6 = 10 |
| विषम + विषम | ✅ सम | 3 + 5 = 8 |
| सम + विषम | ✅ विषम | 4 + 3 = 7 |
| सम − सम | ✅ सम | 8 − 4 = 4 |
| विषम − विषम | ✅ सम | 7 − 3 = 4 |
| सम − विषम | ✅ विषम | 6 − 3 = 3 |
| विषम − सम | ✅ विषम | 7 − 4 = 3 |
| सम × सम | ✅ सम | 4 × 6 = 24 |
| सम × विषम | ✅ सम | 4 × 3 = 12 |
| विषम × विषम | ✅ विषम | 3 × 5 = 15 |
🧮 nवीं सम और विषम संख्या का सूत्र
nवीं सम संख्या = 2n | nवीं विषम संख्या = 2n − 1
नोट — 100वीं विषम संख्या कैसे ज्ञात करें?
100वीं सम संख्या = 2 × 100 = 200
100वीं विषम संख्या = 200 − 1 = 199
100वीं सम संख्या = 2 × 100 = 200
100वीं विषम संख्या = 200 − 1 = 199
🔣 व्यंजकों की समानता
| व्यंजक | n का उदाहरण | मान | समानता |
|---|---|---|---|
| 3n + 4 | n = 3 | 13 | विषम |
| 3n + 4 | n = 8 | 28 | सम |
| 2n | कोई भी n | — | सदैव सम |
| 2n − 1 | कोई भी n | — | सदैव विषम |
| 6k + 2 | k = 1,2,3… | 8,14,20… | सदैव सम |
याद रखें
- सभी सम संख्याओं को 2n के रूप में लिखा जा सकता है
- सभी विषम संख्याओं को 2n − 1 या 2n + 1 के रूप में लिखा जा सकता है
- विषम संख्या में सम संख्याओं का योग = विषम
- सम संख्या में विषम संख्याओं का योग = सम
6.3 जाल (ग्रिड) में कुछ खोज
एक 3 × 3 ग्रिड जिसमें 1 से 9 तक की संख्याएँ बिना किसी पुनरावृत्ति के भरी गई हैं।
4
7
5
6
1
2
3
9
8
प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ के योग बाहर लिखे जाते हैं
1 से 9 तक सभी संख्याओं का योग = 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45
📌 ग्रिड भरना संभव कब नहीं है?
- किसी पंक्ति/स्तंभ का न्यूनतम संभव योग = 1+2+3 = 6
- किसी पंक्ति/स्तंभ का अधिकतम संभव योग = 9+8+7 = 24
- यदि ग्रिड में दिया गया योग 6 से कम या 24 से अधिक हो — तो असंभव!
सुझाव
तीनों पंक्तियों के योग को जोड़ने पर = तीनों स्तंभों के योग को जोड़ने पर = 45 ही मिलता है। यह 1 से 9 तक की संख्याओं के कुल योग के बराबर है।
तीनों पंक्तियों के योग को जोड़ने पर = तीनों स्तंभों के योग को जोड़ने पर = 45 ही मिलता है। यह 1 से 9 तक की संख्याओं के कुल योग के बराबर है।
जादुई वर्ग (Magic Square)
यदि किसी वर्गाकार ग्रिड में प्रत्येक पंक्ति, प्रत्येक स्तंभ और प्रत्येक विकर्ण में लिखी संख्याओं का योग समान हो — तो वह जादुई वर्ग (Magic Square) कहलाता है।
1 से 9 की संख्याओं वाले 3×3 जादुई वर्ग का जादुई योग = 15
🔍 जादुई वर्ग के महत्वपूर्ण प्रेक्षण
| प्रेक्षण | क्या है? |
|---|---|
| प्रेक्षण 1 | 1 से 9 की संख्याओं का जादुई योग 15 होना चाहिए |
| प्रेक्षण 2 | केंद्र में हमेशा 5 होना चाहिए (न 1, न 9 आ सकते हैं) |
| प्रेक्षण 3 | 1 और 9 कोने (corner) में नहीं आ सकते; मध्य-स्थानों पर आते हैं |
🎯 जादुई वर्ग का उदाहरण
2
7
6
9
5
1
4
3
8
प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और विकर्ण का योग = 15
पंक्ति 1: 2 + 7 + 6 = 15 ✓
पंक्ति 2: 9 + 5 + 1 = 15 ✓
पंक्ति 3: 4 + 3 + 8 = 15 ✓
स्तंभ 1: 2 + 9 + 4 = 15 ✓
विकर्ण: 2 + 5 + 8 = 15 ✓
पंक्ति 2: 9 + 5 + 1 = 15 ✓
पंक्ति 3: 4 + 3 + 8 = 15 ✓
स्तंभ 1: 2 + 9 + 4 = 15 ✓
विकर्ण: 2 + 5 + 8 = 15 ✓
इतिहास — भारत का पहला 4×4 जादुई वर्ग
सबसे पहला अभिलेखित 4×4 जादुई वर्ग खजुराहो के पार्श्वनाथ जैन मंदिर में दसवीं शताब्दी के एक शिलालेख में मिला है। इसे ‘चौतीसा यंत्र’ कहा जाता है क्योंकि इसकी प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और विकर्ण का योग 34 (चौतीस) है।
सबसे पहला अभिलेखित 4×4 जादुई वर्ग खजुराहो के पार्श्वनाथ जैन मंदिर में दसवीं शताब्दी के एक शिलालेख में मिला है। इसे ‘चौतीसा यंत्र’ कहा जाता है क्योंकि इसकी प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और विकर्ण का योग 34 (चौतीस) है।
🔢 4×4 जादुई वर्ग — चौतीसा यंत्र
7
12
1
14
2
13
8
11
16
3
10
5
9
6
15
4
प्रत्येक पंक्ति, स्तंभ और विकर्ण का योग = 34
🌟
क्या आप जानते हैं?
1 से 9 तक की संख्याओं से 3×3 ग्रिड को बिना पुनरावृत्ति के भरने की कुल 3,62,880 विधियाँ हैं! परन्तु इनमें से जादुई वर्ग बहुत कम ही बनते हैं।
1 से 9 तक की संख्याओं से 3×3 ग्रिड को बिना पुनरावृत्ति के भरने की कुल 3,62,880 विधियाँ हैं! परन्तु इनमें से जादुई वर्ग बहुत कम ही बनते हैं।
📐 व्यापकीकृत रूप (Generalized Form)
यदि केंद्र की संख्या m हो, तो 3×3 जादुई वर्ग का जादुई योग = 3m होगा।
जादुई योग = 3 × (केंद्र की संख्या) = 3m
6.4 विरहांक-फिबोनाची संख्याएँ
यह संख्या अनुक्रम गणित के सबसे प्रसिद्ध अनुक्रमों में से एक है!
विरहांक-फिबोनाची अनुक्रम: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
नियम: प्रत्येक संख्या = पिछली दो संख्याओं का योग | aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
📜 ऐतिहासिक संदर्भ
कहानी — विरहांक की खोज
इन संख्याओं की खोज कविता (छंद शास्त्र) के अध्ययन में हुई! प्राकृत और संस्कृत में शब्दांश दो प्रकार के होते हैं — लघु (1 ताल) और गुरु (2 ताल)। महान छंद शास्त्री विरहांक (लगभग 700 सामान्य संवत) ने पहली बार इन संख्याओं का नियम लिखा। इसीलिए इन्हें विरहांक संख्याएँ कहते हैं। फिबोनाची ने विरहांक से 500 वर्ष बाद इनके बारे में लिखा!
इन संख्याओं की खोज कविता (छंद शास्त्र) के अध्ययन में हुई! प्राकृत और संस्कृत में शब्दांश दो प्रकार के होते हैं — लघु (1 ताल) और गुरु (2 ताल)। महान छंद शास्त्री विरहांक (लगभग 700 सामान्य संवत) ने पहली बार इन संख्याओं का नियम लिखा। इसीलिए इन्हें विरहांक संख्याएँ कहते हैं। फिबोनाची ने विरहांक से 500 वर्ष बाद इनके बारे में लिखा!
🎵 लय गिनने का प्रश्न
8 तालों को लघु (1 ताल) और गुरु (2 ताल) से भरने की कितनी विधियाँ हैं?
| तालें (n) | विधियाँ | संख्या |
|---|---|---|
| n = 1 | 1 | 1 |
| n = 2 | 1+1, 2 | 2 |
| n = 3 | 1+1+1, 1+2, 2+1 | 3 |
| n = 4 | 1+1+1+1, 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, 2+2 | 5 |
| n = 5 | … | 8 |
| n = 6 | … | 13 |
| n = 8 | … | 34 |
नोट — तर्क (Logic)
n तालों की लयों की संख्या = (n−1) तालों की संख्या + (n−2) तालों की संख्या। यही विरहांक-फिबोनाची नियम है!
n तालों की लयों की संख्या = (n−1) तालों की संख्या + (n−2) तालों की संख्या। यही विरहांक-फिबोनाची नियम है!
🌸 प्रकृति में विरहांक संख्याएँ
- गुलबहार के फूल की पंखुड़ियाँ: 13, 21 या 34 — सभी विरहांक संख्याएँ!
- सूरजमुखी के बीजों के सर्पिल: 34 और 55
- शंख का सर्पिल वक्र भी इसी अनुपात पर आधारित है
🌻
क्या आप जानते हैं?
विरहांक-फिबोनाची अनुक्रम में समानताओं का पैटर्न: विषम, सम, विषम, विषम, सम, विषम, विषम, सम… — अर्थात प्रत्येक तीसरी संख्या सम है!
विरहांक-फिबोनाची अनुक्रम में समानताओं का पैटर्न: विषम, सम, विषम, विषम, सम, विषम, विषम, सम… — अर्थात प्रत्येक तीसरी संख्या सम है!
6.5 अंक पहेली (Cryptarithmetic)
इसमें अंकों को अक्षरों से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। प्रत्येक अक्षर एक विशेष अंक (0–9) को व्यक्त करता है।
🧩 हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1
T
T
+ T
UT
T+T+T = UT
इकाई का अंक = T
∴ T = 5, UT = 15
उदाहरण 2
K2
+ K2
HMM
K2 + K2 = HMM
दहाई व इकाई = M
∴ K=9, M=8, H=1
🔍 अंक पहेली हल करने की विधि
- इकाई के अंक से शुरू करें — जोड़ के परिणाम की इकाई देखें।
- समानता (parity) का उपयोग करें — सम/विषम की जाँच करें।
- संभावित मान एक-एक करके जाँचें (trial and error)।
- सभी अक्षरों के लिए भिन्न-भिन्न अंक होने चाहिए।
सुझाव — YY + Z = ZOO
Y एक 2-अंकीय संख्या YY में एक ही अंक दोहराई जाती है। Z = 1 और O = 0 होगा तो ZOO = 100। YY + 1 = 100 → YY = 99 → Y = 9, Z = 1
Y एक 2-अंकीय संख्या YY में एक ही अंक दोहराई जाती है। Z = 1 और O = 0 होगा तो ZOO = 100। YY + 1 = 100 → YY = 99 → Y = 9, Z = 1
सामान्य गलतियाँ
- गलती 1: यह मानना कि सभी ‘0’ बोलने वाले सबसे लंबे हैं — यह हमेशा सत्य नहीं है (केवल सबसे लंबा ‘0’ बोलता है)।
- गलती 2: 5 विषम संख्याओं का योग सम मानना — यह कभी संभव नहीं।
- गलती 3: जादुई वर्ग में केंद्र पर कोई भी संख्या रखना — केंद्र पर 5 ही आएगा (1 से 9 के लिए)।
- गलती 4: विरहांक अनुक्रम को फिबोनाची का आविष्कार मानना — विरहांक ने पहले खोजा।
- गलती 5: अंक पहेली में एक ही अक्षर को दो अलग अंक देना — एक अक्षर = एक ही अंक।
- गलती 6: 1 और 9 को जादुई वर्ग के कोने में रखना — ये कोने में नहीं आ सकते।
सावधानी
ग्रिड में यदि कोई पंक्ति/स्तंभ योग 6 से कम या 24 से अधिक दिया गया हो तो वह ग्रिड भरना असंभव है। ऐसे प्रश्न में पहले यह जाँच करें।
ग्रिड में यदि कोई पंक्ति/स्तंभ योग 6 से कम या 24 से अधिक दिया गया हो तो वह ग्रिड भरना असंभव है। ऐसे प्रश्न में पहले यह जाँच करें।
अध्याय सारांश
🔢 संख्या समानता
सम संख्याएँ युग्मों में व्यवस्थित होती हैं। विषम संख्याओं में एक बचती है।
सम संख्याएँ युग्मों में व्यवस्थित होती हैं। विषम संख्याओं में एक बचती है।
📊 योग के नियम
सम+सम=सम; विषम+विषम=सम; सम+विषम=विषम
सम+सम=सम; विषम+विषम=सम; सम+विषम=विषम
🧮 n-वां पद सूत्र
nवीं सम = 2n; nवीं विषम = 2n−1; 100वीं विषम = 199
nवीं सम = 2n; nवीं विषम = 2n−1; 100वीं विषम = 199
🔲 ग्रिड योग
3×3 ग्रिड में 1-9: कुल योग=45, प्रत्येक पंक्ति/स्तंभ योग 6 से 24 के बीच
3×3 ग्रिड में 1-9: कुल योग=45, प्रत्येक पंक्ति/स्तंभ योग 6 से 24 के बीच
✨ जादुई वर्ग
जादुई योग=15; केंद्र=5; 1 और 9 कोने में नहीं; जादुई योग = 3m
जादुई योग=15; केंद्र=5; 1 और 9 कोने में नहीं; जादुई योग = 3m
🌸 विरहांक अनुक्रम
1,2,3,5,8,13,21,34… — प्रत्येक पद = पिछले दो का योग; भारतीय खोज
1,2,3,5,8,13,21,34… — प्रत्येक पद = पिछले दो का योग; भारतीय खोज
📝 परीक्षा प्रश्नोत्तर
प्र.1. क्या 5 विषम संख्याओं का योग 50 हो सकता है? कारण बताइए।
उत्तर: नहीं। विषम+विषम=सम, सम+विषम=विषम, विषम+विषम=सम, सम+विषम=विषम — यानी 5 विषम संख्याओं का योग सदैव विषम होगा। 50 एक सम संख्या है, इसलिए यह संभव नहीं।
प्र.2. 100वीं विषम संख्या क्या है?
उत्तर: nवीं विषम संख्या का सूत्र = 2n − 1
n = 100 रखने पर: 2 × 100 − 1 = 200 − 1 = 199
n = 100 रखने पर: 2 × 100 − 1 = 200 − 1 = 199
प्र.3. 1 से 9 तक की संख्याओं वाले 3×3 जादुई वर्ग का जादुई योग क्यों 15 होता है?
उत्तर: 1 से 9 तक का योग = 45। एक जादुई वर्ग में 3 पंक्तियाँ होती हैं और सभी पंक्तियों के योग बराबर होते हैं। अतः प्रत्येक पंक्ति का योग = 45 ÷ 3 = 15
प्र.4. विरहांक-फिबोनाची अनुक्रम में 34 और 55 के बाद की अगली तीन संख्याएँ लिखिए।
उत्तर:
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
प्र.5. व्यंजक 4m − 1 से क्या सदैव विषम संख्याएँ मिलती हैं?
उत्तर: हाँ। 4m सदैव सम होगा (क्योंकि 4 सम है)। सम − 1 = विषम। इसलिए 4m − 1 से सदैव विषम संख्याएँ मिलती हैं।
प्र.6. यदि T + T + T = UT (जहाँ UT एक 2-अंकीय संख्या है), तो T और U का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 3T एक 2-अंकीय संख्या है जिसकी इकाई का अंक T है।
T के संभावित मान: 5 (3×5=15, इकाई=5 ✓)
इसलिए T = 5 और U = 1, UT = 15
T के संभावित मान: 5 (3×5=15, इकाई=5 ✓)
इसलिए T = 5 और U = 1, UT = 15
प्र.7. जादुई वर्ग का केंद्र 1 या 9 क्यों नहीं हो सकता?
उत्तर: यदि केंद्र = 9, तो 8 को किसी पंक्ति में 9 के साथ जोड़कर 15 बनाना होगा। 8 + 9 = 17 > 15, कोई तीसरी संख्या ऋणात्मक होगी जो 1–9 में नहीं है — असंभव!
यदि केंद्र = 1, तो 2 + 1 = 3, तीसरी संख्या = 12 > 9 — असंभव!
इसलिए केंद्र पर केवल 5 आ सकता है।
यदि केंद्र = 1, तो 2 + 1 = 3, तीसरी संख्या = 12 > 9 — असंभव!
इसलिए केंद्र पर केवल 5 आ सकता है।
प्र.8. 27 × 13 के गुणनफल की समानता बिना गुणा किए बताइए।
उत्तर: 27 = विषम, 13 = विषम
विषम × विषम = विषम
(जाँच: 27 × 13 = 351 — विषम ✓)
विषम × विषम = विषम
(जाँच: 27 × 13 = 351 — विषम ✓)
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