गणित | कक्षा 7 | NCERT
📐 तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा
अध्याय 7 — त्रिभुजों की रचना, त्रिभुज असमिका, कोण योग गुण, शीर्षलम्ब और त्रिभुजों के प्रकार
📐 त्रिभुज रचना
⚖️ त्रिभुज असमिका
📐 कोण योग गुण
📏 शीर्षलम्ब
🔺 त्रिभुज के प्रकार
🔷 बहिष्कोण
⚖️ त्रिभुज असमिका
📐 कोण योग गुण
📏 शीर्षलम्ब
🔺 त्रिभुज के प्रकार
🔷 बहिष्कोण
📋 विषय-सूची
परिचय — त्रिभुज क्या है?
त्रिभुज (Triangle) सबसे अधिक आधारभूत बंद आकार है। इसमें निम्नलिखित बिंदु अंतर्विष्ट होते हैं—
🔵 तीन शीर्ष (Vertices)
ये कोनों पर स्थित बिंदु होते हैं जिन्हें हम त्रिभुज के शीर्ष कहते हैं। जैसे — A, B, C
ये कोनों पर स्थित बिंदु होते हैं जिन्हें हम त्रिभुज के शीर्ष कहते हैं। जैसे — A, B, C
📏 तीन भुजाएँ (Sides)
तीन रेखाखंड जो शीर्षों को युग्मों में जोड़ती हैं। जैसे — AB, BC, CA
तीन रेखाखंड जो शीर्षों को युग्मों में जोड़ती हैं। जैसे — AB, BC, CA
A
B
C
AB
AC
BC
∠A
∠B
∠C
△ABC
नोट
त्रिभुज को △ प्रतीक से व्यक्त किया जाता है। ΔABC में कोण हैं — ∠CAB, ∠ABC और ∠BCA, जिन्हें हम क्रमशः ∠A, ∠B और ∠C कहते हैं।
त्रिभुज को △ प्रतीक से व्यक्त किया जाता है। ΔABC में कोण हैं — ∠CAB, ∠ABC और ∠BCA, जिन्हें हम क्रमशः ∠A, ∠B और ∠C कहते हैं।
सोचिए!
जब तीनों शीर्ष एक सरल रेखा पर स्थित हों तब क्या होगा? क्या तब भी त्रिभुज बनेगा? — नहीं! क्योंकि तब कोई बंद आकार नहीं बनेगा।
जब तीनों शीर्ष एक सरल रेखा पर स्थित हों तब क्या होगा? क्या तब भी त्रिभुज बनेगा? — नहीं! क्योंकि तब कोई बंद आकार नहीं बनेगा।
7.1 समबाहु त्रिभुज की रचना
समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) — जिस त्रिभुज की सभी तीन भुजाएँ समान होती हैं वह समबाहु त्रिभुज कहलाता है। ये सभी त्रिभुजों में सबसे अधिक सममित (symmetric) होते हैं।
समबाहु त्रिभुज में: AB = BC = CA (सभी भुजाएँ बराबर)
✏️ रचना विधि (4 से.मी. सभी भुजाएँ)
1AB = 4 से.मी. का आधार खींचिए।
2परकार से केंद्र A लेकर 4 से.मी. त्रिज्या का एक पर्याप्त लंबा चाप खींचिए।
3परकार से केंद्र B लेकर 4 से.मी. त्रिज्या का एक और चाप खींचिए।
4दोनों चापों का प्रतिच्छेद बिंदु C है — यह तीसरा शीर्ष है।
5AC और BC को मिलाइए — वांछित समबाहु त्रिभुज ΔABC प्राप्त हुआ।
C
A
B
4 से.मी.
4 से.मी.
4 से.मी.
याद रखें
परकार का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि वह हमें किसी बिंदु से समान दूरी पर सभी बिंदु खोजने में मदद करता है। C बिंदु ऐसा होना चाहिए कि A से इसकी दूरी = B से इसकी दूरी = 4 से.मी.।
परकार का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि वह हमें किसी बिंदु से समान दूरी पर सभी बिंदु खोजने में मदद करता है। C बिंदु ऐसा होना चाहिए कि A से इसकी दूरी = B से इसकी दूरी = 4 से.मी.।
7.2 दी गई भुजाओं से त्रिभुज की रचना
जब तीन अलग-अलग लंबाई की भुजाएँ दी हों तो उस त्रिभुज की रचना कैसे करें?
उदाहरण: भुजाएँ = 4 से.मी., 5 से.मी. और 6 से.मी.
सुझाव
पहले एक भुजा आधार के रूप में खींचें (जैसे 4 से.मी.), फिर दोनों अन्य भुजाओं की लंबाइयों के चाप खींचें। जहाँ चाप मिलें — वही तीसरा शीर्ष C है।
पहले एक भुजा आधार के रूप में खींचें (जैसे 4 से.मी.), फिर दोनों अन्य भुजाओं की लंबाइयों के चाप खींचें। जहाँ चाप मिलें — वही तीसरा शीर्ष C है।
✏️ रचना के चरण (भुजाएँ 4, 5, 6 से.मी.)
- चरण 1: AB = 4 से.मी. का आधार खींचिए।
- चरण 2: केंद्र A, त्रिज्या 5 से.मी. का एक लंबा चाप खींचिए। (क्योंकि AC = 5 से.मी.)
- चरण 3: केंद्र B, त्रिज्या 6 से.मी. का एक चाप खींचिए ताकि वह पहले चाप को काटे। (क्योंकि BC = 6 से.मी.)
- चरण 4: दोनों चाप जहाँ मिलते हैं वह बिंदु C है। AC और BC मिलाकर ΔABC प्राप्त करें।
रचना करने योग्य त्रिभुज: AC = 5 से.मी., BC = 6 से.मी., AB = 4 से.मी.
🔺 त्रिभुजों के नाम — भुजाओं की समानता के आधार पर
| त्रिभुज का प्रकार | भुजाओं की विशेषता | उदाहरण |
|---|---|---|
| समबाहु (Equilateral) | तीनों भुजाएँ समान | 4, 4, 4 |
| समद्विबाहु (Isosceles) | दो भुजाएँ समान | 4, 4, 6 |
| विषमबाहु (Scalene) | तीनों भुजाएँ असमान | 3, 4, 5 |
🌟
क्या आप जानते हैं?
समबाहु त्रिभुज में तीनों कोण भी बराबर होते हैं और प्रत्येक कोण 60° का होता है! यह दुनिया का सबसे “परफेक्ट” त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज में तीनों कोण भी बराबर होते हैं और प्रत्येक कोण 60° का होता है! यह दुनिया का सबसे “परफेक्ट” त्रिभुज है।
त्रिभुज असमिका (Triangle Inequality)
क्या किसी भी लंबाई की तीन रेखाओं से हमेशा त्रिभुज बन सकता है? नहीं!
इसे समझने के लिए एक उदाहरण — 10 से.मी., 15 से.मी. और 30 से.मी.
एक सुंदर कहानी से समझें
कल्पना करें — एक तंबू, एक पेड़ और एक खंभा। तंबू से पेड़ तक सीधा जाना हमेशा, खंभे से होकर घूमकर जाने से छोटा होगा। यही त्रिभुज असमिका का आधार है!
कल्पना करें — एक तंबू, एक पेड़ और एक खंभा। तंबू से पेड़ तक सीधा जाना हमेशा, खंभे से होकर घूमकर जाने से छोटा होगा। यही त्रिभुज असमिका का आधार है!
🔍 10, 15, 30 के लिए जाँच
B से C का सीधा मार्ग = BC = 10 से.मी.
B से A से होकर C तक = BA + AC = 15 + 30 = 45 से.मी.
→ 10 < 45 ✔ (ठीक है)
B से A से होकर C तक = BA + AC = 15 + 30 = 45 से.मी.
→ 10 < 45 ✔ (ठीक है)
A से B का सीधा मार्ग = AB = 15 से.मी.
A से C से होकर B तक = AC + CB = 30 + 10 = 40 से.मी.
→ 15 < 40 ✔ (ठीक है)
C से A का सीधा मार्ग = CA = 30 से.मी.
C से B से होकर A तक = CB + BA = 10 + 15 = 25 से.मी.
→ 30 > 25 ✗ (गलत! सीधा मार्ग घूमकर जाने से बड़ा — यह असंभव है!)
∴ 10, 15, 30 से कोई त्रिभुज नहीं बन सकता!
त्रिभुज असमिका: प्रत्येक भुजा < अन्य दो भुजाओं का योग
a < b + c और b < a + c और c < a + b
आसान तरीका
भुजाओं को बढ़ते क्रम में लिखें। बस सबसे बड़ी भुजा की जाँच करें — क्या वह अन्य दो के योग से कम है? अगर हाँ तो त्रिभुज बन सकता है!
भुजाओं को बढ़ते क्रम में लिखें। बस सबसे बड़ी भुजा की जाँच करें — क्या वह अन्य दो के योग से कम है? अगर हाँ तो त्रिभुज बन सकता है!
📊 उदाहरण जाँच
| भुजाएँ | जाँच (सबसे बड़ी < बाकी दो का योग) | त्रिभुज बनेगा? |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 5 < 3 + 4 = 7 ✔ | ✅ हाँ |
| 4, 5, 8 | 8 < 4 + 5 = 9 ✔ | ✅ हाँ |
| 2, 2, 5 | 5 < 2 + 2 = 4? ✗ | ❌ नहीं |
| 10, 15, 30 | 30 < 10 + 15 = 25? ✗ | ❌ नहीं |
| 3, 4, 6 | 6 < 3 + 4 = 7 ✔ | ✅ हाँ |
| 5, 5, 8 | 8 < 5 + 5 = 10 ✔ | ✅ हाँ |
निष्कर्ष (याद रखें!)
यदि तीन लंबाइयों का समूह त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करता है → त्रिभुज का अस्तित्व होता है।
यदि संतुष्ट नहीं करता → त्रिभुज का अस्तित्व नहीं होता।
यदि तीन लंबाइयों का समूह त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करता है → त्रिभुज का अस्तित्व होता है।
यदि संतुष्ट नहीं करता → त्रिभुज का अस्तित्व नहीं होता।
7.3 भुजाओं और कोणों के माप से रचना
🔷 स्थिति 1: दो भुजाएँ और अंतर्गत कोण (SAS)
जब दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया हो।
उदाहरण: ΔABC बनाएँ जिसमें AB = 5 से.मी., AC = 4 से.मी. और ∠A = 45°
- चरण 1: 5 से.मी. लंबी भुजा AB खींचिए।
- चरण 2: बिंदु A पर ∠A = 45° का कोण बनाइए (कोण की दूसरी भुजा खींचिए)।
- चरण 3: कोण की दूसरी भुजा पर C इस प्रकार अंकित करें कि AC = 4 से.मी.।
- चरण 4: BC मिलाइए — ΔABC तैयार!
45°
A
B
C
AB = 5 से.मी.
AC = 4 से.मी.
🔷 स्थिति 2: दो कोण और अंतर्गत भुजा (ASA)
जब दो कोण और उनके बीच की भुजा दी हो।
उदाहरण: ΔABC बनाएँ जिसमें AB = 5 से.मी., ∠A = 45° और ∠B = 80°
- चरण 1: 5 से.मी. लंबाई का आधार AB खींचिए।
- चरण 2: A पर ∠A = 45° और B पर ∠B = 80° के कोण खींचिए।
- चरण 3: दोनों नई रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु — तीसरा शीर्ष C है।
त्रिभुज कब बनेगा?
दो कोणों का योग 180° से कम होना चाहिए। यदि योग ≥ 180° हो तो त्रिभुज संभव नहीं।
दो कोणों का योग 180° से कम होना चाहिए। यदि योग ≥ 180° हो तो त्रिभुज संभव नहीं।
कोण के योग का गुण
किसी भी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग सदैव 180° होता है। यह एक अत्यंत महत्वपूर्ण नियम है।
किसी भी △ABC में: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
🔍 सिद्धि — समांतर रेखा विधि
शीर्ष A से होकर आधार BC के समांतर एक रेखा XY खींचिए।
X
Y
A
B
C
∠XAB
∠YAC
∠A
∠B
∠C
AB (तिर्यक)
चूँकि XY ∥ BC है, इसलिए:
- ∠XAB = ∠B (एकांतर कोण, तिर्यक रेखा AB से बने)
- ∠YAC = ∠C (एकांतर कोण, तिर्यक रेखा AC से बने)
- बिंदु A पर: ∠XAB + ∠BAC + ∠YAC = 180° (सरल कोण)
- ∴ ∠B + ∠A + ∠C = 180° ✔
याद रखें — तीसरा कोण निकालने का तरीका
यदि △ABC में ∠B = 50° और ∠C = 70° हो, तो:
∠A = 180° − (∠B + ∠C) = 180° − 120° = 60°
यदि △ABC में ∠B = 50° और ∠C = 70° हो, तो:
∠A = 180° − (∠B + ∠C) = 180° − 120° = 60°
🏛️
इतिहास का तथ्य!
त्रिभुज के कोणों का योग 180° है — यह प्रसिद्ध गणितज्ञ यूक्लिड (Euclid) की पुस्तक “The Elements” में पाया जाता है। यूक्लिड लगभग 300 सामान्य संवत् में थे।
त्रिभुज के कोणों का योग 180° है — यह प्रसिद्ध गणितज्ञ यूक्लिड (Euclid) की पुस्तक “The Elements” में पाया जाता है। यूक्लिड लगभग 300 सामान्य संवत् में थे।
बहिष्कोण (Exterior Angle)
किसी त्रिभुज की एक भुजा को बढ़ाने पर बनने वाला कोण उस त्रिभुज का बहिष्कोण (exterior angle) कहलाता है।
A
B
C
D
∠ACD
∠B
∠A
बहिष्कोण
बहिष्कोण = अन्य दो अंतः कोणों का योग
∠ACD = ∠A + ∠B
∠ACD = ∠A + ∠B
✏️ उदाहरण
यदि ∠A = 50° और ∠B = 60° हो:
कोण योग गुण से: ∠ACB = 180° − (50° + 60°) = 70°
बहिष्कोण ∠ACD = 180° − ∠ACB = 180° − 70° = 110°
सत्यापन: ∠A + ∠B = 50° + 60° = 110° ✔
कोण योग गुण से: ∠ACB = 180° − (50° + 60°) = 70°
बहिष्कोण ∠ACD = 180° − ∠ACB = 180° − 70° = 110°
सत्यापन: ∠A + ∠B = 50° + 60° = 110° ✔
बहिष्कोण प्रमेय (Exterior Angle Theorem)
त्रिभुज का बहिष्कोण सदैव उसके दोनों अनाभिमुख अंतः कोणों के योग के बराबर होता है।
∠बहिष्कोण = ∠A + ∠B (जहाँ ∠A और ∠B दूर के अंतः कोण हैं)
त्रिभुज का बहिष्कोण सदैव उसके दोनों अनाभिमुख अंतः कोणों के योग के बराबर होता है।
∠बहिष्कोण = ∠A + ∠B (जहाँ ∠A और ∠B दूर के अंतः कोण हैं)
7.4 त्रिभुजों के शीर्षलम्ब (Altitudes)
शीर्षलम्ब (Altitude) — किसी शीर्ष से उसकी सम्मुख भुजा पर खींचा गया लंब रेखाखंड शीर्षलम्ब कहलाता है।
शीर्षलम्ब AD
शीर्ष A से भुजा BC पर खींचा गया लंब। AD की लंबाई = A से BC की ऊँचाई।
शीर्ष A से भुजा BC पर खींचा गया लंब। AD की लंबाई = A से BC की ऊँचाई।
तीनों शीर्षलम्ब
प्रत्येक शीर्ष से एक शीर्षलम्ब — AD, BE और CF। ये तीनों एक बिंदु पर मिलते हैं।
प्रत्येक शीर्ष से एक शीर्षलम्ब — AD, BE और CF। ये तीनों एक बिंदु पर मिलते हैं।
A
B
C
D
AD
(शीर्षलम्ब)
✏️ शीर्षलम्ब की रचना के चरण
- त्रिभुज ABC बनाइए।
- मापक को BC के अनुदिश रखिए।
- समकोणक (set square) को मापक पर रखिए ताकि उसका एक किनारा मापक को स्पर्श करे।
- समकोणक को तब तक सरकाइए जब तक ऊर्ध्वाधर किनारा शीर्ष A को न छू ले।
- A से होकर BC पर शीर्षलम्ब AD खींचिए।
विशेष बात
यदि त्रिभुज का एक कोण समकोण (90°) हो तो उस कोण की भुजाएँ ही शीर्षलम्ब होती हैं! ऐसे त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहते हैं।
यदि त्रिभुज का एक कोण समकोण (90°) हो तो उस कोण की भुजाएँ ही शीर्षलम्ब होती हैं! ऐसे त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहते हैं।
7.5 त्रिभुजों के प्रकार
🔵 भुजाओं के आधार पर वर्गीकरण
समबाहु
समद्विबाहु
विषमबाहु
| प्रकार | भुजाएँ | कोण |
|---|---|---|
| समबाहु (Equilateral) | AB = BC = CA | ∠A = ∠B = ∠C = 60° |
| समद्विबाहु (Isosceles) | दो भुजाएँ बराबर | दो कोण बराबर |
| विषमबाहु (Scalene) | तीनों अलग | तीनों अलग |
🔵 कोणों के आधार पर वर्गीकरण
| प्रकार | कोणों की विशेषता | उदाहरण |
|---|---|---|
| न्यून कोण त्रिभुज (Acute) | तीनों कोण 90° से कम | 60°, 70°, 50° |
| समकोण त्रिभुज (Right) | एक कोण = 90° | 90°, 45°, 45° |
| अधिक कोण त्रिभुज (Obtuse) | एक कोण 90° से अधिक | 120°, 30°, 30° |
समकोण त्रिभुज की खास बात
समकोण त्रिभुज में एक भुजा ही शीर्षलम्ब होती है! AB ⊥ BC हो तो AB, BC का शीर्षलम्ब है।
समकोण त्रिभुज में एक भुजा ही शीर्षलम्ब होती है! AB ⊥ BC हो तो AB, BC का शीर्षलम्ब है।
सामान्य गलतियाँ — सावधान रहें!
गलती 1: त्रिभुज असमिका की जाँच न करना
भुजाएँ 2, 3, 7 दी हों तो बिना जाँचे रचना शुरू न करें। जाँचें: 7 < 2 + 3 = 5? नहीं! → त्रिभुज संभव नहीं।
भुजाएँ 2, 3, 7 दी हों तो बिना जाँचे रचना शुरू न करें। जाँचें: 7 < 2 + 3 = 5? नहीं! → त्रिभुज संभव नहीं।
गलती 2: कोणों का योग 180° भूलना
यदि दो कोण 100° और 90° हों तो योग = 190° > 180°। ऐसा त्रिभुज नहीं बन सकता!
यदि दो कोण 100° और 90° हों तो योग = 190° > 180°। ऐसा त्रिभुज नहीं बन सकता!
गलती 3: बहिष्कोण को तीसरा अंतः कोण समझना
बहिष्कोण ≠ तीसरा कोण। बहिष्कोण = दोनों दूर के कोणों का योग।
बहिष्कोण ≠ तीसरा कोण। बहिष्कोण = दोनों दूर के कोणों का योग।
गलती 4: शीर्षलम्ब के लिए सिर्फ मापक का उपयोग
केवल मापक से 90° का सटीक कोण बनाना कठिन है। हमेशा समकोणक (set square) का उपयोग करें।
केवल मापक से 90° का सटीक कोण बनाना कठिन है। हमेशा समकोणक (set square) का उपयोग करें।
अध्याय सारांश
🔺 त्रिभुज रचना (SSS)
परकार के उपयोग से तीन भुजाओं से त्रिभुज बनाएँ — दो चापों का प्रतिच्छेद = तीसरा शीर्ष
परकार के उपयोग से तीन भुजाओं से त्रिभुज बनाएँ — दो चापों का प्रतिच्छेद = तीसरा शीर्ष
⚖️ त्रिभुज असमिका
हर भुजा < बाकी दो का योग। सबसे बड़ी भुजा की जाँच करना पर्याप्त है।
हर भुजा < बाकी दो का योग। सबसे बड़ी भुजा की जाँच करना पर्याप्त है।
📐 SAS रचना
दो भुजाएँ + अंतर्गत कोण। कोण बनाएँ, फिर दूसरी भुजा पर C अंकित करें।
दो भुजाएँ + अंतर्गत कोण। कोण बनाएँ, फिर दूसरी भुजा पर C अंकित करें।
📐 ASA रचना
दो कोण + अंतर्गत भुजा। दोनों कोणों की रेखाओं का प्रतिच्छेद = C
दो कोण + अंतर्गत भुजा। दोनों कोणों की रेखाओं का प्रतिच्छेद = C
∠ कोण योग गुण
∠A + ∠B + ∠C = 180°
तीसरा कोण = 180° − (पहले दो का योग)
∠A + ∠B + ∠C = 180°
तीसरा कोण = 180° − (पहले दो का योग)
🔷 बहिष्कोण प्रमेय
बहिष्कोण = दोनों अनाभिमुख अंतः कोणों का योग
बहिष्कोण = दोनों अनाभिमुख अंतः कोणों का योग
📏 शीर्षलम्ब
शीर्ष से सम्मुख भुजा पर लंब। समकोण त्रिभुज में भुजा ही शीर्षलम्ब होती है।
शीर्ष से सम्मुख भुजा पर लंब। समकोण त्रिभुज में भुजा ही शीर्षलम्ब होती है।
🗂️ त्रिभुजों के प्रकार
भुजा से: समबाहु, समद्विबाहु, विषमबाहु
कोण से: न्यून, समकोण, अधिक कोण
भुजा से: समबाहु, समद्विबाहु, विषमबाहु
कोण से: न्यून, समकोण, अधिक कोण
परीक्षा प्रश्नोत्तर
प्र.1. निम्नलिखित में से कौन सी लंबाइयाँ त्रिभुज की भुजाएँ हो सकती हैं? (a) 2, 4, 8 (b) 5, 5, 8 (c) 3, 6, 9
उत्तर:
(a) 2, 4, 8: सबसे बड़ी भुजा 8 < 2 + 4 = 6? नहीं → त्रिभुज नहीं बनेगा ❌
(b) 5, 5, 8: सबसे बड़ी भुजा 8 < 5 + 5 = 10? हाँ → त्रिभुज बनेगा ✅
(c) 3, 6, 9: सबसे बड़ी भुजा 9 < 3 + 6 = 9? नहीं (बराबर है, कम नहीं) → त्रिभुज नहीं बनेगा ❌
(a) 2, 4, 8: सबसे बड़ी भुजा 8 < 2 + 4 = 6? नहीं → त्रिभुज नहीं बनेगा ❌
(b) 5, 5, 8: सबसे बड़ी भुजा 8 < 5 + 5 = 10? हाँ → त्रिभुज बनेगा ✅
(c) 3, 6, 9: सबसे बड़ी भुजा 9 < 3 + 6 = 9? नहीं (बराबर है, कम नहीं) → त्रिभुज नहीं बनेगा ❌
प्र.2. ΔABC में ∠B = 65° और ∠C = 45° हो तो ∠A ज्ञात करें।
उत्तर:
कोण योग गुण से: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + 65° + 45° = 180°
∠A + 110° = 180°
∠A = 70°
कोण योग गुण से: ∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + 65° + 45° = 180°
∠A + 110° = 180°
∠A = 70°
प्र.3. यदि ΔABC में ∠A = 50°, ∠B = 70° हो तो बहिष्कोण ∠ACD ज्ञात करें।
उत्तर:
बहिष्कोण प्रमेय से: ∠ACD = ∠A + ∠B
∠ACD = 50° + 70°
∠ACD = 120°
सत्यापन: ∠ACB = 180° − 120° = 60°; और 50° + 70° + 60° = 180° ✔
बहिष्कोण प्रमेय से: ∠ACD = ∠A + ∠B
∠ACD = 50° + 70°
∠ACD = 120°
सत्यापन: ∠ACB = 180° − 120° = 60°; और 50° + 70° + 60° = 180° ✔
प्र.4. समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 5 से.मी. हैं। परकार की सहायता से उसकी रचना के चरण लिखिए।
उत्तर:
चरण 1: AB = 5 से.मी. का आधार खींचिए।
चरण 2: केंद्र A, त्रिज्या 5 से.मी. का चाप खींचिए।
चरण 3: केंद्र B, त्रिज्या 5 से.मी. का चाप खींचिए।
चरण 4: दोनों चापों का प्रतिच्छेद बिंदु C है।
चरण 5: AC और BC मिलाइए — समबाहु त्रिभुज ΔABC तैयार।
चरण 1: AB = 5 से.मी. का आधार खींचिए।
चरण 2: केंद्र A, त्रिज्या 5 से.मी. का चाप खींचिए।
चरण 3: केंद्र B, त्रिज्या 5 से.मी. का चाप खींचिए।
चरण 4: दोनों चापों का प्रतिच्छेद बिंदु C है।
चरण 5: AC और BC मिलाइए — समबाहु त्रिभुज ΔABC तैयार।
प्र.5. क्या भुजाओं 1, 100, 100 का त्रिभुज बन सकता है? कारण बताइए।
उत्तर: हाँ, बन सकता है।
सबसे बड़ी भुजा 100 < 1 + 100 = 101? हाँ ✔
अन्य जाँच: 100 < 1 + 100 = 101 ✔ और 1 < 100 + 100 = 200 ✔
∴ त्रिभुज असमिका संतुष्ट होती है — त्रिभुज बनेगा।
सबसे बड़ी भुजा 100 < 1 + 100 = 101? हाँ ✔
अन्य जाँच: 100 < 1 + 100 = 101 ✔ और 1 < 100 + 100 = 200 ✔
∴ त्रिभुज असमिका संतुष्ट होती है — त्रिभुज बनेगा।
प्र.6. न्यून कोण त्रिभुज, समकोण त्रिभुज और अधिक कोण त्रिभुज में क्या अंतर है?
उत्तर:
• न्यून कोण त्रिभुज: तीनों कोण 90° से कम होते हैं।
• समकोण त्रिभुज: एक कोण 90° का होता है।
• अधिक कोण त्रिभुज: एक कोण 90° से अधिक होता है।
नोट: किसी भी त्रिभुज में एक से अधिक समकोण या अधिककोण नहीं हो सकते।
• न्यून कोण त्रिभुज: तीनों कोण 90° से कम होते हैं।
• समकोण त्रिभुज: एक कोण 90° का होता है।
• अधिक कोण त्रिभुज: एक कोण 90° से अधिक होता है।
नोट: किसी भी त्रिभुज में एक से अधिक समकोण या अधिककोण नहीं हो सकते।
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