गणित | कक्षा 7 | NCERT
🔢 भिन्नों के साथ कार्य करना
अध्याय 8 — भिन्नों का गुणन और विभाजन सीखें, आसान भाषा और उदाहरणों के साथ
📐 भिन्नों का गुणन
➗ भिन्नों का भाग
🔄 व्युत्क्रम
📊 गुणनफल की तुलना
🏛️ ऐतिहासिक संदर्भ
➗ भिन्नों का भाग
🔄 व्युत्क्रम
📊 गुणनफल की तुलना
🏛️ ऐतिहासिक संदर्भ
📋 विषय-सूची
परिचय — भिन्नों का उपयोग क्यों?
हम रोज़मर्रा की जिंदगी में भिन्नों का उपयोग करते हैं। जब हम खाने का आधा हिस्सा बाँटते हैं, या किसी रास्ते का तीन-चौथाई भाग तय करते हैं — वहाँ भिन्नें होती हैं!
कहानी — आरोन और उसका कछुआ
आरोन 1 घंटे में 3 किलोमीटर चलता है। उसका पालतू कछुआ 1 घंटे में केवल 1/4 किलोमीटर चलता है। इसी कहानी से हम भिन्नों का गुणन और विभाजन सीखेंगे!
आरोन 1 घंटे में 3 किलोमीटर चलता है। उसका पालतू कछुआ 1 घंटे में केवल 1/4 किलोमीटर चलता है। इसी कहानी से हम भिन्नों का गुणन और विभाजन सीखेंगे!
🔑 मुख्य शब्दावली
भिन्न (Fraction)
किसी पूर्ण के भाग को दर्शाने वाली संख्या। जैसे 3/4, 2/5।
किसी पूर्ण के भाग को दर्शाने वाली संख्या। जैसे 3/4, 2/5।
मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction)
पूर्ण संख्या + भिन्न। जैसे 1¼ = 5/4।
पूर्ण संख्या + भिन्न। जैसे 1¼ = 5/4।
गुणक (Multiplier)
जिस संख्या से गुणा किया जाए।
जिस संख्या से गुणा किया जाए।
गण्य (Multiplicand)
जिस संख्या को गुणा किया जाए।
जिस संख्या को गुणा किया जाए।
पूर्ण संख्या × भिन्न
जब कोई पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करते हैं, तो हम बार-बार भिन्न को जोड़ते हैं।
🐢 उदाहरण — कछुआ 3 घंटे में कितना चला?
1 घंटे में दूरी = 1/4 कि.मी.
3 × (1/4) कि.मी.
= 1/4 + 1/4 + 1/4
= 3/4 कि.मी.
= 1/4 + 1/4 + 1/4
= 3/4 कि.मी.
n × (a/b) = (n × a) / b
पूर्ण संख्या को अंश से गुणा करें, हर वही रहता है
📐 और उदाहरण
5 × 2/3
→
(5 × 2) / 3
→
10/3
→
(5 × 2) / 3
→
10/3
4 × 3/5
→
(4 × 3) / 5
→
12/5
→
(4 × 3) / 5
→
12/5
सुझाव
मिश्रित भिन्न को पहले अनुचित भिन्न (Improper Fraction) में बदलें, फिर गुणा करें।
जैसे: 1¼ = 5/4
मिश्रित भिन्न को पहले अनुचित भिन्न (Improper Fraction) में बदलें, फिर गुणा करें।
जैसे: 1¼ = 5/4
📋 व्यावहारिक उदाहरण
इंटरनेट की लागत
1 घंटे इंटरनेट की लागत = ₹8
1¼ घंटे की लागत = 5/4 × 8 = (5 × 8)/4 = 40/4 = ₹10
1 घंटे इंटरनेट की लागत = ₹8
1¼ घंटे की लागत = 5/4 × 8 = (5 × 8)/4 = 40/4 = ₹10
भिन्न × पूर्ण संख्या
जब भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा करते हैं, तो दो चरण होते हैं:
📋 विधि — 2/5 × 3 कैसे हल करें?
- पहले गण्य (3) को हर (5) से विभाजित करें: 3 ÷ 5 = 3/5
- अब इस परिणाम को अंश (2) से गुणा करें: 2 × 3/5 = 6/5
गुणक गण्य
2/5 × 3चरण 1: 3 ÷ 5 = 3/5
चरण 2: 2 × 3/5 = 6/5
2/5 × 3चरण 1: 3 ÷ 5 = 3/5
चरण 2: 2 × 3/5 = 6/5
(a/b) × n = (a × n) / b
याद रखें
भिन्न × पूर्ण संख्या = (अंश × पूर्ण संख्या) / हरजैसे: 3/7 × 4 = 12/7
भिन्न × पूर्ण संख्या = (अंश × पूर्ण संख्या) / हरजैसे: 3/7 × 4 = 12/7
दो भिन्नों का गुणन
जब दोनों संख्याएँ भिन्न हों, तो इकाई वर्ग की सहायता लेकर समझते हैं।
🏁 1/2 × 1/4 कैसे निकालें?
1 घंटे में कछुए की दूरी = 1/4 कि.मी. अब 1/2 घंटे में?
1/4 को 2 बराबर भागों में बाँटते हैं → हमें 8 बराबर भाग मिलते हैं। अतः:
1/2 × 1/4 = 1/8
🧮 सामान्य नियम
इकाई वर्ग को पंक्तियों और स्तंभों में विभाजित करते हैं:
- पंक्तियों की संख्या = गण्य का हर
- स्तंभों की संख्या = गुणक का हर
- कुल भाग = दोनों हरों का गुणनफल
(1/b) × (1/d) = 1/(b × d)
📐 उदाहरण: 3/4 × 2/5
- 1/4 घंटे की दूरी जानें: 2/5 को 4 भागों में बाँटें → 2/20
- 2/20 को 3 से गुणा करें: 3 × 2/20 = 6/20 = 3/10
3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10
🌟
क्या आप जानते हैं?
भिन्नों का गुणन एक आयत के क्षेत्रफल जैसा है! यदि आयत की लंबाई 1/2 और चौड़ाई 1/4 हो, तो क्षेत्रफल = 1/2 × 1/4 = 1/8 वर्ग इकाई।
भिन्नों का गुणन एक आयत के क्षेत्रफल जैसा है! यदि आयत की लंबाई 1/2 और चौड़ाई 1/4 हो, तो क्षेत्रफल = 1/2 × 1/4 = 1/8 वर्ग इकाई।
ब्रह्मगुप्त का गुणन सूत्र
🏛️ ऐतिहासिक तथ्य
यह सूत्र महान भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने 628 सामान्य संवत में अपने ग्रंथ ब्रह्मस्फुट-सिद्धांत में बताया था। उन्होंने लिखा: “दो या दो से अधिक भिन्नों का गुणनफल अंशों के गुणनफल को हरों के गुणनफल से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।”
ब्रह्मगुप्त सूत्र:
(a/b) × (c/d) = (a × c) / (b × d)
🧮 उदाहरण
2/3 × 4/5
अंश: 2 × 4 = 8
हर: 3 × 5 = 15
= 8/15
अंश: 2 × 4 = 8
हर: 3 × 5 = 15
= 8/15
5/12 × 7/18
अंश: 5 × 7 = 35
हर: 12 × 18 = 216
= 35/216
अंश: 5 × 7 = 35
हर: 12 × 18 = 216
= 35/216
📏 पूर्ण संख्या के साथ भी काम करता है
पूर्ण संख्या को हर-1 वाला भिन्न मानें:
3 × 3/4
=
3/1 × 3/4
=
(3×3)/(1×4)
=
9/4
=
3/1 × 3/4
=
(3×3)/(1×4)
=
9/4
3/5 × 4
=
3/5 × 4/1
=
(3×4)/(5×1)
=
12/5
=
3/5 × 4/1
=
(3×4)/(5×1)
=
12/5
याद रखें — गुणन का क्रम
(a/b) × (c/d) = (c/d) × (a/b)गुणन के क्रम से परिणाम नहीं बदलता! जैसे: आयत का क्षेत्रफल लंबाई-चौड़ाई बदलने पर भी समान रहता है।
(a/b) × (c/d) = (c/d) × (a/b)गुणन के क्रम से परिणाम नहीं बदलता! जैसे: आयत का क्षेत्रफल लंबाई-चौड़ाई बदलने पर भी समान रहता है।
गुणनफल का सरलीकरण (काटना)
गुणा करने से पहले यदि अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड हो, तो उसे काट (Cancel) सकते हैं।
📋 उदाहरण: 12/7 × 5/24
12 5 12 × 5
——— × ——— = ————————
7 24 7 × 2412 और 24 का उभयनिष्ठ गुणनखंड = 121 × 5 5
= ———————— = ———
7 × 2 14उत्तर = 5/14
——— × ——— = ————————
7 24 7 × 2412 और 24 का उभयनिष्ठ गुणनखंड = 121 × 5 5
= ———————— = ———
7 × 2 14उत्तर = 5/14
📋 एक और उदाहरण: 14/15 × 25/42
14 25
——— × ———
15 4214 और 42 → 14 काटें (14÷14=1, 42÷14=3)
25 और 15 → 5 काटें (25÷5=5, 15÷5=3)1 × 5 5
= —————— = ———
3 × 3 9उत्तर = 5/9
——— × ———
15 4214 और 42 → 14 काटें (14÷14=1, 42÷14=3)
25 और 15 → 5 काटें (25÷5=5, 15÷5=3)1 × 5 5
= —————— = ———
3 × 3 9उत्तर = 5/9
सुझाव — अपवर्तन (Simplification)
गुणा करने से पहले सरल करना आसान होता है। किसी भी अंश को किसी भी हर से काट सकते हैं — यदि दोनों में वह संख्या गुणनखंड के रूप में हो।
गुणा करने से पहले सरल करना आसान होता है। किसी भी अंश को किसी भी हर से काट सकते हैं — यदि दोनों में वह संख्या गुणनखंड के रूप में हो।
📚 ऐतिहासिक झलक
भारत में किसी भिन्न को उसके न्यूनतम रूप में सरलीकृत करने की प्रक्रिया को “अपवर्तन” कहते हैं। यह प्रक्रिया इतनी प्रसिद्ध थी कि जैन विद्वान उमास्वाति (150 सामान्य संवत) ने एक दार्शनिक ग्रंथ में इसे उपमा के रूप में प्रयोग किया था!
गुणनफल की तुलना
क्या गुणनफल हमेशा गुणा की जाने वाली संख्याओं से बड़ा होता है? नहीं! यह संख्याओं पर निर्भर करता है।
| स्थिति | गुणा का उदाहरण | संबंध | कारण |
|---|---|---|---|
| स्थिति 1 दोनों 1 से बड़ी | 4/3 × 4 = 16/3 | गुणनफल दोनों से बड़ा ✅ | 1 से बड़ी संख्या × 1 से बड़ी संख्या |
| स्थिति 2 दोनों 0 और 1 के बीच | 3/4 × 2/5 = 6/20 | गुणनफल दोनों से छोटा ✅ | 0-1 × 0-1 = और भी छोटा |
| स्थिति 3 एक 0-1 के बीच, एक 1 से बड़ी | 3/4 × 5 = 15/4 | बड़ी संख्या से छोटा, छोटी से बड़ा ✅ | दोनों के बीच में |
नियम 1
यदि एक संख्या 0 और 1 के बीच हो → गुणनफल दूसरी संख्या से छोटा होता है।
यदि एक संख्या 0 और 1 के बीच हो → गुणनफल दूसरी संख्या से छोटा होता है।
नियम 2
यदि एक संख्या 1 से बड़ी हो → गुणनफल दूसरी संख्या से बड़ा होता है।
यदि एक संख्या 1 से बड़ी हो → गुणनफल दूसरी संख्या से बड़ा होता है।
भिन्नों का विभाजन (भाग)
भाग को हम गुणन समस्या में बदल देते हैं!
मूल विचार
12 ÷ 4 = ? का अर्थ है: 4 × ? = 12
इसी प्रकार, 1 ÷ 2/3 का अर्थ है: 2/3 × ? = 1
12 ÷ 4 = ? का अर्थ है: 4 × ? = 12
इसी प्रकार, 1 ÷ 2/3 का अर्थ है: 2/3 × ? = 1
📋 चरण-दर-चरण विधि
- भाजक का व्युत्क्रम ज्ञात करें — अंश और हर बदल दें।
- भाज्य को व्युत्क्रम से गुणा करें — यही भागफल है।
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a × d) / (b × c)
🧮 उदाहरण
1 ÷ 2/3
=
1 × 3/2
=
3/2
=
1 × 3/2
=
3/2
3 ÷ 2/3
=
3 × 3/2
=
9/2
=
3 × 3/2
=
9/2
1/5 ÷ 1/2
=
1/5 × 2
=
2/5
=
1/5 × 2
=
2/5
2/3 ÷ 3/5
=
2/3 × 5/3
=
10/9
=
2/3 × 5/3
=
10/9
⚖️ भाज्य, भाजक और भागफल का संबंध
| भाजक | भागफल का संबंध | उदाहरण |
|---|---|---|
| भाजक 0-1 के बीच | भागफल > भाज्य | 6 ÷ 1/4 = 24 (24 > 6) |
| भाजक 1 से बड़ा | भागफल < भाज्य | 6 ÷ 3 = 2 (2 < 6) |
व्युत्क्रम (Reciprocal) क्या है?
किसी भिन्न का व्युत्क्रम वह भिन्न है जिसका अंश भाजक का हर और हर भाजक का अंश हो।
a/b का व्युत्क्रम = b/a
भिन्न × उसका व्युत्क्रम = 1
📋 उदाहरण
3/5 का व्युत्क्रम
= 5/3
जाँच: 3/5 × 5/3 = 15/15 = 1 ✅
= 5/3
जाँच: 3/5 × 5/3 = 15/15 = 1 ✅
7/4 का व्युत्क्रम
= 4/7
जाँच: 7/4 × 4/7 = 28/28 = 1 ✅
= 4/7
जाँच: 7/4 × 4/7 = 28/28 = 1 ✅
5 का व्युत्क्रम
5 = 5/1 → व्युत्क्रम = 1/5
जाँच: 5 × 1/5 = 1 ✅
5 = 5/1 → व्युत्क्रम = 1/5
जाँच: 5 × 1/5 = 1 ✅
2/3 का व्युत्क्रम
= 3/2
जाँच: 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1 ✅
= 3/2
जाँच: 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1 ✅
सुझाव
भास्कर द्वितीय (1150 सामान्य संवत) ने लिखा: “एक भिन्न का दूसरे भिन्न द्वारा विभाजन, पहले भिन्न का दूसरे भिन्न के व्युत्क्रम के साथ गुणनफल के बराबर होता है।”
भास्कर द्वितीय (1150 सामान्य संवत) ने लिखा: “एक भिन्न का दूसरे भिन्न द्वारा विभाजन, पहले भिन्न का दूसरे भिन्न के व्युत्क्रम के साथ गुणनफल के बराबर होता है।”
हल किए गए उदाहरण
✅ उदाहरण 1 — किसान और भूमि
एक किसान के 5 पोते-पोतियाँ हैं। वह प्रत्येक पोता-पोती को 2/3 एकड़ भूमि देता है। कुल कितनी भूमि?
- कुल भूमि = 5 × 2/3 एकड़
- = (5 × 2) / 3 = 10/3 एकड़
- = 3⅓ एकड़
✅ उदाहरण 2 — चाय के कप
लीना 5 कप चाय बनाती है। इसके लिए 1/4 लीटर दूध चाहिए। 1 कप में कितना दूध?
- 1 कप में दूध = 1/4 ÷ 5
- 5 का व्युत्क्रम = 1/5
- = 1/4 × 1/5 = 1/20 लीटर
✅ उदाहरण 3 — मीरा का उपन्यास
400 पृष्ठों की किताब। कल पढ़ा: कुल का 1/5। आज पढ़ा: कुल का 3/10। और कितना बाकी?
- कल पढ़े पृष्ठ = 400 × 1/5 = 80 पृष्ठ
- आज पढ़े पृष्ठ = 400 × 3/10 = 120 पृष्ठ
- कुल पढ़े = 80 + 120 = 200 पृष्ठ
- बाकी = 400 – 200 = 200 पृष्ठ
✅ उदाहरण 4 — चार फव्वारे
प्राचीन प्रश्न (चतुर्वेद पृथुदक स्वामी, 860 सामान्य संवत)
चार फव्वारे 1, ½, ¼ और 1/5 दिन में एक कुंड भरते हैं। सब साथ मिलकर कितने समय में भरेंगे?
चार फव्वारे 1, ½, ¼ और 1/5 दिन में एक कुंड भरते हैं। सब साथ मिलकर कितने समय में भरेंगे?
- 1 दिन में भरने की बार: 1÷1=1, 1÷½=2, 1÷¼=4, 1÷⅕=5
- कुल = 1 + 2 + 4 + 5 = 12 बार प्रतिदिन
- समय = 1/12 दिन
🌟
क्या आप जानते हैं?
भास्कराचार्य (1150 सामान्य संवत) ने अपनी पुस्तक लीलावती में एक मज़ेदार पहेली दी: एक कंजूस ने भिखारी को एक द्रम्म का 3/4 × 2/3 × 1/5 × 1/16 × 1/4 × 1/2 भाग दिया = सिर्फ 1 कौड़ी! 😄
भास्कराचार्य (1150 सामान्य संवत) ने अपनी पुस्तक लीलावती में एक मज़ेदार पहेली दी: एक कंजूस ने भिखारी को एक द्रम्म का 3/4 × 2/3 × 1/5 × 1/16 × 1/4 × 1/2 भाग दिया = सिर्फ 1 कौड़ी! 😄
सामान्य गलतियाँ और सावधानियाँ
गलती 1 — हरों को जोड़ना
2/3 × 4/5 ≠ 6/8 (हर मत जोड़ो!)
✅ सही: (2×4)/(3×5) = 8/15
2/3 × 4/5 ≠ 6/8 (हर मत जोड़ो!)
✅ सही: (2×4)/(3×5) = 8/15
गलती 2 — भाग में व्युत्क्रम भूलना
2/3 ÷ 3/5 ≠ 2/3 × 3/5
✅ सही: 2/3 × 5/3 = 10/9 (भाजक को पलटो!)
2/3 ÷ 3/5 ≠ 2/3 × 3/5
✅ सही: 2/3 × 5/3 = 10/9 (भाजक को पलटो!)
गलती 3 — मिश्रित भिन्न सीधे गुणा करना
1¼ × 2 ≠ 1×2 + ¼×2 (यह विधि गलत है!)
✅ सही: पहले बदलें: 5/4 × 2 = 10/4 = 5/2
1¼ × 2 ≠ 1×2 + ¼×2 (यह विधि गलत है!)
✅ सही: पहले बदलें: 5/4 × 2 = 10/4 = 5/2
गलती 4 — सोचना कि गुणनफल हमेशा बड़ा होता है
3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 — यह दोनों संख्याओं से छोटा है!
✅ याद रखें: 0-1 वाली संख्या से गुणा → परिणाम छोटा होता है।
3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10 — यह दोनों संख्याओं से छोटा है!
✅ याद रखें: 0-1 वाली संख्या से गुणा → परिणाम छोटा होता है।
📌 अध्याय सारांश
🔢 पूर्ण × भिन्न
n × (a/b) = (n × a) / bउदा: 5 × 3/4 = 15/4
n × (a/b) = (n × a) / bउदा: 5 × 3/4 = 15/4
✖️ भिन्न × भिन्न
a/b × c/d = (a×c)/(b×d)उदा: 2/3 × 4/5 = 8/15
a/b × c/d = (a×c)/(b×d)उदा: 2/3 × 4/5 = 8/15
🔄 व्युत्क्रम
a/b का व्युत्क्रम = b/aभिन्न × व्युत्क्रम = 1
a/b का व्युत्क्रम = b/aभिन्न × व्युत्क्रम = 1
➗ भाग का नियम
a/b ÷ c/d = a/b × d/cभाजक पलटकर गुणा करो
a/b ÷ c/d = a/b × d/cभाजक पलटकर गुणा करो
⚖️ गुणनफल की तुलना
0-1 से गुणा → छोटा परिणाम1+ से गुणा → बड़ा परिणाम
0-1 से गुणा → छोटा परिणाम1+ से गुणा → बड़ा परिणाम
✂️ सरलीकरण
गुणा से पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड काटेंइसे अपवर्तन कहते हैं
गुणा से पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड काटेंइसे अपवर्तन कहते हैं
📋 परीक्षा प्रश्नोत्तर
प्र.1. एक कार 1 लीटर पेट्रोल में 16 कि.मी. चलती है। 2¾ लीटर पेट्रोल से कितनी दूरी?
हल:
2¾ = 11/4 लीटर
दूरी = 11/4 × 16 = (11 × 16)/4 = 176/4 = 44 कि.मी.
2¾ = 11/4 लीटर
दूरी = 11/4 × 16 = (11 × 16)/4 = 176/4 = 44 कि.मी.
प्र.2. मारिया ने 8 मीटर फीता खरीदा। प्रत्येक थैले के लिए 1/4 मीटर चाहिए। उसने कितने थैले सजाए?
हल:
थैलों की संख्या = 8 ÷ 1/4
= 8 × 4/1 = 32 थैले
थैलों की संख्या = 8 ÷ 1/4
= 8 × 4/1 = 32 थैले
प्र.3. 12 रोटियाँ बनाने में 1/4 कि.ग्रा. आटा लगता है। 6 रोटियाँ बनाने में कितना आटा?
हल:
1 रोटी में आटा = 1/4 ÷ 12 = 1/4 × 1/12 = 1/48 कि.ग्रा.
6 रोटियों में = 6 × 1/48 = 6/48 = 1/8 कि.ग्रा.
1 रोटी में आटा = 1/4 ÷ 12 = 1/4 × 1/12 = 1/48 कि.ग्रा.
6 रोटियों में = 6 × 1/48 = 6/48 = 1/8 कि.ग्रा.
प्र.4. निम्नलिखित का मूल्यांकन कीजिए: (a) 7 × 3/5 (b) 4/3 ÷ 3/4 (c) 2/3 × 4/5
हल:
(a) 7 × 3/5 = 21/5 = 4⅕
(b) 4/3 ÷ 3/4 = 4/3 × 4/3 = 16/9 = 1⁷/₉
(c) 2/3 × 4/5 = 8/15
(a) 7 × 3/5 = 21/5 = 4⅕
(b) 4/3 ÷ 3/4 = 4/3 × 4/3 = 16/9 = 1⁷/₉
(c) 2/3 × 4/5 = 8/15
प्र.5. अमृतपाल रेलगाड़ी से 5⅙ घंटे में पहुँचता है। हवाई जहाज से ½ घंटे में। हवाई जहाज से कितना समय बचेगा?
हल:
रेलगाड़ी का समय = 5⅙ = 31/6 घंटे
हवाई जहाज का समय = 1/2 घंटे
बचा समय = 31/6 – 1/2 = 31/6 – 3/6 = 28/6 = 4⅔ घंटे
रेलगाड़ी का समय = 5⅙ = 31/6 घंटे
हवाई जहाज का समय = 1/2 घंटे
बचा समय = 31/6 – 1/2 = 31/6 – 3/6 = 28/6 = 4⅔ घंटे
प्र.6. मरियम की दादी का केक — मरियम और चचेरे भाई ने 4/5 खाया। बचा केक 3 सहेलियों में बराबर बाँटा। प्रत्येक सहेली को कितना?
हल:
बचा केक = 1 – 4/5 = 1/5
प्रत्येक सहेली को = 1/5 ÷ 3 = 1/5 × 1/3 = 1/15 भाग
बचा केक = 1 – 4/5 = 1/5
प्रत्येक सहेली को = 1/5 ÷ 3 = 1/5 × 1/3 = 1/15 भाग
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