NCERT गणित प्रकाश | कक्षा 8
📐 अध्याय 2: घातों का खेल
महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर | हिन्दी माध्यम | परीक्षा-उपयोगी
📝 15 लघु उत्तरीय प्रश्न
📖 10 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
🎯 कुल 25 प्रश्न
📋 सूत्र त्वरित संदर्भ (Formula Quick Reference)
| सूत्र (Formula) | हिन्दी में अर्थ |
|---|---|
| nᵃ × nᵇ = nᵃ⁺ᵇ | समान आधार के गुणनफल में घातांक जोड़े जाते हैं |
| (nᵃ)ᵇ = nᵃˣᵇ | घात की घात में घातांकों का गुणा होता है |
| nᵃ ÷ nᵇ = nᵃ⁻ᵇ | समान आधार के भाग में घातांक घटाए जाते हैं |
| n⁰ = 1 (n ≠ 0) | किसी भी अशून्य संख्या की शून्य घात = 1 |
| n⁻ᵃ = 1/nᵃ | ऋणात्मक घात = उसके व्युत्क्रम का धनात्मक घात |
| mᵃ × nᵃ = (mn)ᵃ | समान घात के गुणनफल में आधार गुणा हो जाते हैं |
| mᵃ ÷ nᵃ = (m/n)ᵃ | समान घात के भाग में आधारों का भाग होता है |
| वैज्ञानिक संकेतन: x × 10ʸ (1 ≤ x < 10) | बड़ी संख्याओं को सरल रूप में लिखने की विधि |
लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Questions)
1
यदि एक कागज की मोटाई 0.001 सेमी है, तो उसे 1 बार मोड़ने के बाद मोटाई क्या होगी?
यदि एक कागज की मोटाई 0.001 सेमी है, तो उसे 1 बार मोड़ने के बाद मोटाई क्या होगी?
✅ उत्तर
कागज को 1 बार मोड़ने पर मोटाई दोगुनी हो जाती है।
मोटाई = 0.001 × 2 = 0.002 सेमी
अर्थात 0.001 × 2¹ = 0.002 सेमी।
कागज को 1 बार मोड़ने पर मोटाई दोगुनी हो जाती है।
मोटाई = 0.001 × 2 = 0.002 सेमी
अर्थात 0.001 × 2¹ = 0.002 सेमी।
2
5⁴ का मान क्या है? इसे विस्तारित रूप में लिखिए।
5⁴ का मान क्या है? इसे विस्तारित रूप में लिखिए।
✅ उत्तर
5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
यहाँ 5 आधार (Base) है और 4 घातांक (Exponent) है।
5⁴ को “5 की चौथी घात” पढ़ा जाता है।
5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
यहाँ 5 आधार (Base) है और 4 घातांक (Exponent) है।
5⁴ को “5 की चौथी घात” पढ़ा जाता है।
3
n⁰ का मान क्या होता है? उदाहरण देकर समझाइए।
n⁰ का मान क्या होता है? उदाहरण देकर समझाइए।
✅ उत्तर
किसी भी अशून्य संख्या की शून्य घात 1 होती है।
n⁰ = 1 (जहाँ n ≠ 0)
उदाहरण: 2⁰ = 2⁴ ÷ 2⁴ = (2×2×2×2)/(2×2×2×2) = 1
किसी भी अशून्य संख्या की शून्य घात 1 होती है।
n⁰ = 1 (जहाँ n ≠ 0)
उदाहरण: 2⁰ = 2⁴ ÷ 2⁴ = (2×2×2×2)/(2×2×2×2) = 1
4
nᵃ × nᵇ = ? सूत्र लिखिए और p⁴ × p⁶ का मान घातांकी रूप में लिखिए।
nᵃ × nᵇ = ? सूत्र लिखिए और p⁴ × p⁶ का मान घातांकी रूप में लिखिए।
✅ उत्तर
सूत्र: nᵃ × nᵇ = nᵃ⁺ᵇ
p⁴ × p⁶ = p⁴⁺⁶ = p¹⁰
क्योंकि समान आधार में गुणनफल के समय घातांक जुड़ जाते हैं।
सूत्र: nᵃ × nᵇ = nᵃ⁺ᵇ
p⁴ × p⁶ = p⁴⁺⁶ = p¹⁰
क्योंकि समान आधार में गुणनफल के समय घातांक जुड़ जाते हैं।
5
2⁻¹ का मान क्या होगा? ऋणात्मक घात का क्या अर्थ है?
2⁻¹ का मान क्या होगा? ऋणात्मक घात का क्या अर्थ है?
✅ उत्तर
सूत्र: n⁻ᵃ = 1/nᵃ
2⁻¹ = 1/2¹ = 1/2
2⁴ ÷ 2⁵ = 2⁴⁻⁵ = 2⁻¹ = 1/2, अर्थात 24 इकाई को 5 बार आधा करने पर 1/2 इकाई मिलती है।
सूत्र: n⁻ᵃ = 1/nᵃ
2⁻¹ = 1/2¹ = 1/2
2⁴ ÷ 2⁵ = 2⁴⁻⁵ = 2⁻¹ = 1/2, अर्थात 24 इकाई को 5 बार आधा करने पर 1/2 इकाई मिलती है।
6
32400 को अभाज्य गुणनखंडों के चरघातांकी रूप में लिखिए।
32400 को अभाज्य गुणनखंडों के चरघातांकी रूप में लिखिए।
✅ उत्तर
32400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3
चरघातांकी रूप: 32400 = 2⁴ × 5² × 3⁴
इस प्रकार अभाज्य गुणनखंडों को उनकी घात से व्यक्त किया जाता है।
32400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3
चरघातांकी रूप: 32400 = 2⁴ × 5² × 3⁴
इस प्रकार अभाज्य गुणनखंडों को उनकी घात से व्यक्त किया जाता है।
7
वैज्ञानिक संकेतन (Scientific Notation) क्या होता है? 5900 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
वैज्ञानिक संकेतन (Scientific Notation) क्या होता है? 5900 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
✅ उत्तर
वैज्ञानिक संकेतन में संख्या को x × 10ʸ रूप में लिखते हैं जहाँ 1 ≤ x < 10 और y पूर्णांक है।
5900 = 5.9 × 10³
इससे बड़ी संख्याओं को सरलता से पढ़ा और लिखा जा सकता है।
वैज्ञानिक संकेतन में संख्या को x × 10ʸ रूप में लिखते हैं जहाँ 1 ≤ x < 10 और y पूर्णांक है।
5900 = 5.9 × 10³
इससे बड़ी संख्याओं को सरलता से पढ़ा और लिखा जा सकता है।
8
4 × 4 × 4 = 4³ है। तो (–4) × (–4) × (–4) का मान क्या होगा?
4 × 4 × 4 = 4³ है। तो (–4) × (–4) × (–4) का मान क्या होगा?
✅ उत्तर
(–4) × (–4) × (–4) = (–4)³ = –64
ऋणात्मक संख्या की विषम घात ऋणात्मक होती है।
(–4)³ = –(4³) = –64
(–4) × (–4) × (–4) = (–4)³ = –64
ऋणात्मक संख्या की विषम घात ऋणात्मक होती है।
(–4)³ = –(4³) = –64
9
a × a × a × b × b को चरघातांकी रूप में कैसे लिखेंगे?
a × a × a × b × b को चरघातांकी रूप में कैसे लिखेंगे?
✅ उत्तर
a × a × a = a³ और b × b = b²
अतः a × a × a × b × b = a³b²
इसे “a का घन, b का वर्ग” पढ़ते हैं।
a × a × a = a³ और b × b = b²
अतः a × a × a × b × b = a³b²
इसे “a का घन, b का वर्ग” पढ़ते हैं।
10
nᵃ ÷ nᵇ का सूत्र लिखिए और 2⁴ ÷ 2³ का मान ज्ञात कीजिए।
nᵃ ÷ nᵇ का सूत्र लिखिए और 2⁴ ÷ 2³ का मान ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर
सूत्र: nᵃ ÷ nᵇ = nᵃ⁻ᵇ (जहाँ n ≠ 0 और a > b)
2⁴ ÷ 2³ = 2⁴⁻³ = 2¹ = 2
विस्तारित रूप में: (2×2×2×2) ÷ (2×2×2) = 2
सूत्र: nᵃ ÷ nᵇ = nᵃ⁻ᵇ (जहाँ n ≠ 0 और a > b)
2⁴ ÷ 2³ = 2⁴⁻³ = 2¹ = 2
विस्तारित रूप में: (2×2×2×2) ÷ (2×2×2) = 2
11
47561 को 10 की घात के रूप में विस्तारित रूप में लिखिए।
47561 को 10 की घात के रूप में विस्तारित रूप में लिखिए।
✅ उत्तर
47561 = (4 × 10000) + (7 × 1000) + (5 × 100) + (6 × 10) + 1
= (4 × 10⁴) + (7 × 10³) + (5 × 10²) + (6 × 10¹) + (1 × 10⁰)
इस प्रकार प्रत्येक अंक को 10 की घात से गुणा करके लिखा जाता है।
47561 = (4 × 10000) + (7 × 1000) + (5 × 100) + (6 × 10) + 1
= (4 × 10⁴) + (7 × 10³) + (5 × 10²) + (6 × 10¹) + (1 × 10⁰)
इस प्रकार प्रत्येक अंक को 10 की घात से गुणा करके लिखा जाता है।
12
mᵃ × nᵃ = ? सूत्र लिखिए। 2⁵ × 5⁵ का मान ज्ञात कीजिए।
mᵃ × nᵃ = ? सूत्र लिखिए। 2⁵ × 5⁵ का मान ज्ञात कीजिए।
✅ उत्तर
सूत्र: mᵃ × nᵃ = (m × n)ᵃ
2⁵ × 5⁵ = (2 × 5)⁵ = 10⁵ = 1,00,000
समान घात में आधारों का गुणनफल आधार बनता है।
सूत्र: mᵃ × nᵃ = (m × n)ᵃ
2⁵ × 5⁵ = (2 × 5)⁵ = 10⁵ = 1,00,000
समान घात में आधारों का गुणनफल आधार बनता है।
13
5 अंकों वाले ताले में कितने गुप्त संकेत संभव हैं? कारण बताइए।
5 अंकों वाले ताले में कितने गुप्त संकेत संभव हैं? कारण बताइए।
✅ उत्तर
प्रत्येक अंक के लिए 0 से 9 तक 10 विकल्प हैं।
5 अंकों वाले ताले में कुल संकेत = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁵ = 1,00,000
यह 00000 से 99999 तक की सभी संख्याओं के समान है।
प्रत्येक अंक के लिए 0 से 9 तक 10 विकल्प हैं।
5 अंकों वाले ताले में कुल संकेत = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁵ = 1,00,000
यह 00000 से 99999 तक की सभी संख्याओं के समान है।
14
रैखिक वृद्धि और चरघातांकी वृद्धि में क्या अंतर है?
रैखिक वृद्धि और चरघातांकी वृद्धि में क्या अंतर है?
✅ उत्तर
रैखिक वृद्धि — योगात्मक होती है (जैसे 20 + 20 + 20 + …)। यह धीमे बढ़ती है।
चरघातांकी वृद्धि — गुणात्मक होती है (जैसे 0.001 × 2 × 2 × 2 …)। यह बहुत तेजी से बढ़ती है।
उदाहरण: चंद्रमा तक पहुँचने के लिए सीढ़ी से 1,92,20,00,000 पायदान चाहिए, पर कागज केवल 46 बार मोड़ने से वहाँ पहुँच जाता है।
रैखिक वृद्धि — योगात्मक होती है (जैसे 20 + 20 + 20 + …)। यह धीमे बढ़ती है।
चरघातांकी वृद्धि — गुणात्मक होती है (जैसे 0.001 × 2 × 2 × 2 …)। यह बहुत तेजी से बढ़ती है।
उदाहरण: चंद्रमा तक पहुँचने के लिए सीढ़ी से 1,92,20,00,000 पायदान चाहिए, पर कागज केवल 46 बार मोड़ने से वहाँ पहुँच जाता है।
15
2⁻⁴ का समतुल्य रूप लिखिए।
2⁻⁴ का समतुल्य रूप लिखिए।
✅ उत्तर
सूत्र: n⁻ᵃ = 1/nᵃ
2⁻⁴ = 1/2⁴ = 1/16
इसी प्रकार 10⁻³ = 1/10³ = 1/1000 और 7⁻² = 1/7² = 1/49 होता है।
सूत्र: n⁻ᵃ = 1/nᵃ
2⁻⁴ = 1/2⁴ = 1/16
इसी प्रकार 10⁻³ = 1/10³ = 1/1000 और 7⁻² = 1/7² = 1/49 होता है।
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Questions)
1
एक कागज की प्रारंभिक मोटाई 0.001 सेमी है। इसे 7 बार मोड़ने पर मोटाई क्या होगी? चरघातांकी संकेतन का प्रयोग करते हुए हल कीजिए।
एक कागज की प्रारंभिक मोटाई 0.001 सेमी है। इसे 7 बार मोड़ने पर मोटाई क्या होगी? चरघातांकी संकेतन का प्रयोग करते हुए हल कीजिए।
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है: प्रारंभिक मोटाई = 0.001 सेमी | प्रत्येक मोड़ पर मोटाई दोगुनी होती है
चरण 1: 1 बार मोड़ने पर: 0.001 × 2¹ = 0.002 सेमी
चरण 2: 2 बार मोड़ने पर: 0.001 × 2² = 0.004 सेमी
चरण 3: 3 बार मोड़ने पर: 0.001 × 2³ = 0.008 सेमी
चरण 4: 7 बार मोड़ने पर: 0.001 × 2⁷ सेमी
चरण 5: 2⁷ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128
∴ मोटाई = 0.001 × 128 = 0.128 सेमी
सामान्य सूत्र: n बार मोड़ने पर मोटाई = 0.001 × 2ⁿ सेमी। यह चरघातांकी वृद्धि का उदाहरण है।
2
निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए और मान लिखिए: (i) 6 × 6 × 6 × 6 (ii) 5 × 5 × 7 × 7 × 7 (iii) 2 × 103 (iv) 72 × 23
निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए और मान लिखिए: (i) 6 × 6 × 6 × 6 (ii) 5 × 5 × 7 × 7 × 7 (iii) 2 × 103 (iv) 72 × 23
✅ विस्तृत उत्तर
सूत्र: nᵃ = n को स्वयं से a बार गुणा करना
(i) 6 × 6 × 6 × 6 = 6⁴ = 1296
(ii) 5 × 5 × 7 × 7 × 7 = 5² × 7³
= 25 × 343 = 8575
= 25 × 343 = 8575
(iii) 2 × 10³ = 2 × 1000 = 2000
(iv) 7² × 2³ = 49 × 8 = 392
याद रखें: 4 + 4 + 4 = 3×4 = 12 जबकि 4 × 4 × 4 = 4³ = 64। योग और गुणनफल में अंतर होता है।
3
निम्नलिखित संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड कीजिए और चरघातांकी रूप में लिखिए: (i) 648 (ii) 540
निम्नलिखित संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड कीजिए और चरघातांकी रूप में लिखिए: (i) 648 (ii) 540
✅ विस्तृत उत्तर
विधि: संख्या को अभाज्य संख्याओं से क्रमशः भाग दीजिए
(i) 648:
648 ÷ 2 = 324
324 ÷ 2 = 162
162 ÷ 2 = 81
81 ÷ 3 = 27, 27 ÷ 3 = 9, 9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1
648 = 2³ × 3⁴
648 ÷ 2 = 324
324 ÷ 2 = 162
162 ÷ 2 = 81
81 ÷ 3 = 27, 27 ÷ 3 = 9, 9 ÷ 3 = 3, 3 ÷ 3 = 1
648 = 2³ × 3⁴
(ii) 540:
540 ÷ 2 = 270, 270 ÷ 2 = 135
135 ÷ 3 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1
540 = 2² × 3³ × 5¹
540 ÷ 2 = 270, 270 ÷ 2 = 135
135 ÷ 3 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1
540 = 2² × 3³ × 5¹
उत्तर: 648 = 2³ × 3⁴ | 540 = 2² × 3³ × 5
4
4⁶ को दो भिन्न-भिन्न विधियों से घात की घात के रूप में लिखिए और सिद्ध कीजिए कि दोनों बराबर हैं।
4⁶ को दो भिन्न-भिन्न विधियों से घात की घात के रूप में लिखिए और सिद्ध कीजिए कि दोनों बराबर हैं।
✅ विस्तृत उत्तर
सूत्र: (nᵃ)ᵇ = nᵃˣᵇ
विधि 1: 4⁶ = (4 × 4 × 4) × (4 × 4 × 4) = 4³ × 4³ = (4³)²
गणना: (4³)² = 64² = 4096
गणना: (4³)² = 64² = 4096
विधि 2: 4⁶ = (4 × 4) × (4 × 4) × (4 × 4) = 4² × 4² × 4² = (4²)³
गणना: (4²)³ = 16³ = 16 × 16 × 16 = 4096
गणना: (4²)³ = 16³ = 16 × 16 × 16 = 4096
∴ (4³)² = (4²)³ = 4⁶ = 4096 — दोनों बराबर हैं ✓
इससे सिद्ध होता है: (nᵃ)ᵇ = (nᵇ)ᵃ = nᵃˣᵇ
5
निम्नलिखित प्रश्नों को हल कीजिए और उत्तर चरघातांकी रूप में लिखिए: (i) 2⁻⁴ × 2⁷ (ii) 3² × 3⁻⁵ × 3⁶ (iii) p³ × p⁻¹⁰
निम्नलिखित प्रश्नों को हल कीजिए और उत्तर चरघातांकी रूप में लिखिए: (i) 2⁻⁴ × 2⁷ (ii) 3² × 3⁻⁵ × 3⁶ (iii) p³ × p⁻¹⁰
✅ विस्तृत उत्तर
सूत्र: nᵃ × nᵇ = nᵃ⁺ᵇ | n⁻ᵃ = 1/nᵃ
(i) 2⁻⁴ × 2⁷:
= 2⁻⁴⁺⁷ = 2³ = 8
= 2⁻⁴⁺⁷ = 2³ = 8
(ii) 3² × 3⁻⁵ × 3⁶:
= 3²⁺(⁻⁵)⁺⁶ = 3²⁻⁵⁺⁶ = 3³ = 27
= 3²⁺(⁻⁵)⁺⁶ = 3²⁻⁵⁺⁶ = 3³ = 27
(iii) p³ × p⁻¹⁰:
= p³⁺(⁻¹⁰) = p³⁻¹⁰ = p⁻⁷ = 1/p⁷
= p³⁺(⁻¹⁰) = p³⁻¹⁰ = p⁻⁷ = 1/p⁷
उत्तर: (i) 2³ | (ii) 3³ | (iii) p⁻⁷
6
“चमकते पत्थर” वाली पहेली में हीरों की संख्या ज्ञात कीजिए। (एक राजा की 3 पुत्रियाँ थीं, प्रत्येक को 3 टोकरियाँ, प्रत्येक टोकरी में 3 चाबियाँ, प्रत्येक चाबी 3 कक्ष खोलती है, प्रत्येक कक्ष में 3 मेज, प्रत्येक मेज पर 3 हार, प्रत्येक हार में 3 हीरे।)
“चमकते पत्थर” वाली पहेली में हीरों की संख्या ज्ञात कीजिए। (एक राजा की 3 पुत्रियाँ थीं, प्रत्येक को 3 टोकरियाँ, प्रत्येक टोकरी में 3 चाबियाँ, प्रत्येक चाबी 3 कक्ष खोलती है, प्रत्येक कक्ष में 3 मेज, प्रत्येक मेज पर 3 हार, प्रत्येक हार में 3 हीरे।)
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है: प्रत्येक स्तर पर संख्या 3 गुनी होती जाती है
चरण 1: पुत्रियाँ = 3
चरण 2: टोकरियाँ = 3 × 3 = 3²
चरण 3: चाबियाँ = 3² × 3 = 3³
चरण 4: कक्ष = 3³ × 3 = 3⁴ = 81
चरण 5: मेज = 3⁴ × 3 = 3⁵ (1 + 2 + 3 मेज प्रति कक्ष → 3 मेज = 3⁵)
चरण 6: हार = 3⁵ × 3 = 3⁶ | हीरे = 3⁶ × 3 = 3⁷ = 2187
∴ कुल हीरों की संख्या = 3⁷ = 2187
3⁷ = 3⁴ × 3³ = 81 × 27 = 2187
7
निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप (वैज्ञानिक संकेतन) में व्यक्त कीजिए: (i) 59,853 (ii) 34,30,000 (iii) 70,04,00,00,000
निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप (वैज्ञानिक संकेतन) में व्यक्त कीजिए: (i) 59,853 (ii) 34,30,000 (iii) 70,04,00,00,000
✅ विस्तृत उत्तर
मानक रूप: x × 10ʸ (जहाँ 1 ≤ x < 10 और y पूर्णांक है)
(i) 59,853:
59,853 को 5.9853 × 10? लिखना है
5.9853 × 10,000 = 59,853
∴ 59,853 = 5.9853 × 10⁴
59,853 को 5.9853 × 10? लिखना है
5.9853 × 10,000 = 59,853
∴ 59,853 = 5.9853 × 10⁴
(ii) 34,30,000:
3,430,000 = 3.43 × 10,00,000
∴ 34,30,000 = 3.43 × 10⁶
3,430,000 = 3.43 × 10,00,000
∴ 34,30,000 = 3.43 × 10⁶
(iii) 70,04,00,00,000:
= 7004 × 10⁷ = 7.004 × 10³ × 10⁷
∴ 70,04,00,00,000 = 7.004 × 10¹⁰
= 7004 × 10⁷ = 7.004 × 10³ × 10⁷
∴ 70,04,00,00,000 = 7.004 × 10¹⁰
वैज्ञानिक संकेतन से बड़ी संख्याओं को पढ़ना और समझना आसान हो जाता है।
8
निम्नलिखित को सरल कीजिए और घातांकीय रूप में लिखिए: (i) 10⁻² × 10⁻⁵ (ii) 5⁷ ÷ 5⁴ (iii) (13⁻²)⁻³ (iv) 9⁻⁷ ÷ 9⁴
निम्नलिखित को सरल कीजिए और घातांकीय रूप में लिखिए: (i) 10⁻² × 10⁻⁵ (ii) 5⁷ ÷ 5⁴ (iii) (13⁻²)⁻³ (iv) 9⁻⁷ ÷ 9⁴
✅ विस्तृत उत्तर
सूत्र: nᵃ × nᵇ = nᵃ⁺ᵇ | nᵃ ÷ nᵇ = nᵃ⁻ᵇ | (nᵃ)ᵇ = nᵃˣᵇ
(i) 10⁻² × 10⁻⁵:
= 10⁻²⁺(⁻⁵) = 10⁻⁷ = 1/10⁷
= 10⁻²⁺(⁻⁵) = 10⁻⁷ = 1/10⁷
(ii) 5⁷ ÷ 5⁴:
= 5⁷⁻⁴ = 5³ = 125
= 5⁷⁻⁴ = 5³ = 125
(iii) (13⁻²)⁻³:
= 13⁻²×(⁻³) = 13⁶
= 13⁶ = 4,826,809
= 13⁻²×(⁻³) = 13⁶
= 13⁶ = 4,826,809
(iv) 9⁻⁷ ÷ 9⁴:
= 9⁻⁷⁻⁴ = 9⁻¹¹ = 1/9¹¹
= 9⁻⁷⁻⁴ = 9⁻¹¹ = 1/9¹¹
उत्तर: (i) 10⁻⁷ | (ii) 5³ | (iii) 13⁶ | (iv) 9⁻¹¹
9
“जादुई तालाब” की पहेली: एक तालाब में प्रतिदिन कमल की संख्या दोगुनी होती है। 30 दिन में तालाब भर जाता है। (i) 30वें दिन कमल की संख्या चरघातांकी रूप में लिखिए। (ii) 29वें दिन तालाब का कितना भाग भरा था?
“जादुई तालाब” की पहेली: एक तालाब में प्रतिदिन कमल की संख्या दोगुनी होती है। 30 दिन में तालाब भर जाता है। (i) 30वें दिन कमल की संख्या चरघातांकी रूप में लिखिए। (ii) 29वें दिन तालाब का कितना भाग भरा था?
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है: प्रतिदिन संख्या दोगुनी होती है, 30वें दिन तालाब पूरा भरता है
चरण 1: 1 कमल से शुरुआत होती है। प्रतिदिन 2 से गुणा होती है।
चरण 2: n दिन बाद कमल = 2ⁿ (चरघातांकी वृद्धि)
(i) 30वें दिन: कमल की संख्या = 2³⁰ (पूर्ण तालाब)
(ii) 29वें दिन: चूँकि प्रतिदिन संख्या दोगुनी होती है,
29वें दिन की संख्या × 2 = 30वें दिन की संख्या
29वें दिन कमल = 2³⁰ ÷ 2 = 2²⁹
29वें दिन की संख्या × 2 = 30वें दिन की संख्या
29वें दिन कमल = 2³⁰ ÷ 2 = 2²⁹
∴ 29वें दिन तालाब आधा भरा था (2²⁹ कमल = 2³⁰ का आधा)
यह चरघातांकी वृद्धि का सुन्दर उदाहरण है — अंतिम दिन में पूरा आधा तालाब भरता है!
10
यदि 12² = 144 है, तो निम्न के मान ज्ञात कीजिए: (i) (1.2)² (ii) (0.12)² (iii) (0.012)² (iv) 120²
यदि 12² = 144 है, तो निम्न के मान ज्ञात कीजिए: (i) (1.2)² (ii) (0.12)² (iii) (0.012)² (iv) 120²
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है: 12² = 144 | सूत्र: (a/b)² = a²/b²
(i) (1.2)²:
1.2 = 12/10
(1.2)² = (12/10)² = 144/100 = 1.44
1.2 = 12/10
(1.2)² = (12/10)² = 144/100 = 1.44
(ii) (0.12)²:
0.12 = 12/100
(0.12)² = (12/100)² = 144/10000 = 0.0144
0.12 = 12/100
(0.12)² = (12/100)² = 144/10000 = 0.0144
(iii) (0.012)²:
0.012 = 12/1000
(0.012)² = 144/10,00,000 = 0.000144
0.012 = 12/1000
(0.012)² = 144/10,00,000 = 0.000144
(iv) 120²:
120 = 12 × 10
(120)² = (12)² × (10)² = 144 × 100 = 14400
120 = 12 × 10
(120)² = (12)² × (10)² = 144 × 100 = 14400
उत्तर: (i) 1.44 | (ii) 0.0144 | (iii) 0.000144 | (iv) 14400
💡 परीक्षा टिप्स (Exam Tips)
💡 घातांक के नियम याद रखें: nᵃ × nᵇ = nᵃ⁺ᵇ और nᵃ ÷ nᵇ = nᵃ⁻ᵇ — ये सबसे अधिक परीक्षा में पूछे जाते हैं।
💡 शून्य घात: n⁰ = 1 (n ≠ 0) — यह नियम अक्सर MCQ में आता है। ध्यान दें कि 0⁰ परिभाषित नहीं है।
💡 ऋणात्मक घात: n⁻ᵃ = 1/nᵃ — इसे उल्टा (reciprocal) करके धनात्मक बनाएं।
💡 वैज्ञानिक संकेतन: x × 10ʸ में x हमेशा 1 और 10 के बीच होना चाहिए। 59,853 = 5.9853 × 10⁴ (न कि 59.853 × 10³)।
💡 अभाज्य गुणनखंड: सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 से भाग देना शुरू करें, फिर 3, 5, 7…
⚠️ सामान्य गलती: 4 + 4 + 4 = 12 (तीन बार जोड़) और 4 × 4 × 4 = 4³ = 64 (तीन बार गुणा) — इन दोनों को गड्डमड्ड न करें।
📌 याद रखें (Key Points)
📌 कागज को n बार मोड़ने पर मोटाई = प्रारंभिक मोटाई × 2ⁿ (चरघातांकी वृद्धि)
📌 nᵃ में n = आधार (Base), a = घातांक (Exponent) है
📌 सभी घातांक नियम: nᵃ×nᵇ=nᵃ⁺ᵇ | (nᵃ)ᵇ=nᵃᵇ | nᵃ÷nᵇ=nᵃ⁻ᵇ | n⁰=1 | n⁻ᵃ=1/nᵃ | mᵃ×nᵃ=(mn)ᵃ
📌 वैज्ञानिक संकेतन में x × 10ʸ लिखते हैं जहाँ 1 ≤ x < 10
📌 रैखिक वृद्धि = योगात्मक (धीमी) | चरघातांकी वृद्धि = गुणात्मक (तीव्र)
📌 5 अंकीय ताले में कुल संकेत = 10⁵ = 1,00,000
📌 ऋणात्मक संख्या की विषम घात ऋणात्मक और सम घात धनात्मक होती है
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