📐 अध्याय 4 : चतुर्भुज
कक्षा 8 | NCERT गणित प्रकाश | महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर
📝 15 लघु उत्तरीय प्रश्न
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✏️लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Questions — 2–3 Mark)
⭐ प्रश्न 1
चतुर्भुज किसे कहते हैं? इसका नाम लैटिन भाषा से कैसे आया?
✅ उत्तर
चतुर्भुज (Quadrilateral) चार भुजाओं वाली बंद आकृति को कहते हैं। यह शब्द लैटिन के क्वाड्री (= चार) और लैटस (= भुजाएँ) से मिलकर बना है। जैसे — आयत, वर्ग, समलंब आदि।
⭐ प्रश्न 2
आयत की परिभाषा दीजिए।
✅ उत्तर
आयत वह चतुर्भुज है जिसमें — (i) सभी कोण समकोण (90°) होते हैं, और (ii) सम्मुख भुजाओं की लंबाई बराबर होती है।
⭐ प्रश्न 3
आयत के विकर्णों के बारे में क्या विशेष बात होती है?
✅ उत्तर
आयत के दोनों विकर्ण समान लंबाई के होते हैं और वे एक-दूसरे को उनके मध्यबिंदु पर समद्विभाजित करते हैं (अर्थात दोनों विकर्ण एक-दूसरे को बराबर दो भागों में काटते हैं)।
⭐ प्रश्न 4
वर्ग की परिभाषा दीजिए और बताइए कि प्रत्येक वर्ग आयत भी होता है — क्यों?
✅ उत्तर
वर्ग वह चतुर्भुज है जिसमें सभी चार भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं और प्रत्येक कोण 90° का होता है। चूँकि वर्ग में भी प्रत्येक कोण 90° है, इसलिए प्रत्येक वर्ग एक आयत भी होता है।
⭐ प्रश्न 5
किसी भी चतुर्भुज के सभी कोणों का योगफल कितना होता है?
✅ उत्तर
किसी भी चतुर्भुज के सभी चारों कोणों का योगफल 360° होता है। (चतुर्भुज में एक विकर्ण खींचने पर दो त्रिभुज बनते हैं, प्रत्येक के कोणों का योग 180°, इसलिए 180° + 180° = 360°।)
⭐ प्रश्न 6
समांतर चतुर्भुज किसे कहते हैं?
✅ उत्तर
वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख (आमने-सामने वाली) दोनों भुजाओं के जोड़े परस्पर समांतर हों, समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) कहलाता है। जैसे — आयत, वर्ग, समचतुर्भुज।
⭐ प्रश्न 7
समांतर चतुर्भुज में आसन्न (पास-पास) कोणों का योग कितना होता है?
✅ उत्तर
समांतर चतुर्भुज में दो आसन्न कोणों का योग सदैव 180° होता है। उदाहरण: यदि एक कोण 30° है तो उसका आसन्न कोण = 180° − 30° = 150°।
⭐ प्रश्न 8
समचतुर्भुज (Rhombus) किसे कहते हैं?
✅ उत्तर
वह चतुर्भुज जिसकी सभी चारों भुजाएँ बराबर लंबाई की हों, समचतुर्भुज (Rhombus) कहलाता है। यह एक विशेष प्रकार का समांतर चतुर्भुज होता है।
⭐ प्रश्न 9
समचतुर्भुज के विकर्ण किस कोण पर एक-दूसरे को काटते हैं?
✅ उत्तर
समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को 90° (समकोण) पर काटते हैं अर्थात दोनों विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं। इसके साथ ही वे एक-दूसरे को समद्विभाजित भी करते हैं।
⭐ प्रश्न 10
पतंग (Kite) चतुर्भुज की परिभाषा दीजिए।
✅ उत्तर
पतंग वह चतुर्भुज ABCD है जिसमें दो जोड़ी आसन्न (adjacent) भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं — अर्थात AB = BC और CD = DA। इसमें जोड़ियाँ अतिव्यापी (overlapping) नहीं होतीं।
⭐ प्रश्न 11
समलंब चतुर्भुज (Trapezium) किसे कहते हैं?
✅ उत्तर
समलंब चतुर्भुज वह चतुर्भुज होता है जिसमें कम से कम एक जोड़ी सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं। यदि असमांतर भुजाएँ भी बराबर हों तो उसे समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज कहते हैं।
⭐ प्रश्न 12
वर्ग के विकर्ण शीर्षकोणों को किस प्रकार विभाजित करते हैं?
✅ उत्तर
वर्ग के विकर्ण प्रत्येक शीर्षकोण को दो बराबर भागों में बाँटते हैं (समद्विभाजित करते हैं)। चूँकि वर्ग का प्रत्येक कोण 90° है, अतः विकर्ण प्रत्येक शीर्षकोण को दो 45°–45° के कोणों में बाँटते हैं।
⭐ प्रश्न 13
क्या प्रत्येक आयत एक वर्ग होता है? क्यों?
✅ उत्तर
नहीं, प्रत्येक आयत वर्ग नहीं होता। वर्ग में सभी भुजाएँ बराबर होनी चाहिए, जबकि एक साधारण आयत में केवल सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। हाँ, प्रत्येक वर्ग एक आयत जरूर होता है।
⭐ प्रश्न 14
समचतुर्भुज के विकर्ण कोणों को किस प्रकार विभाजित करते हैं?
✅ उत्तर
समचतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षकोणों को समद्विभाजित करते हैं। अर्थात एक विकर्ण के दोनों ओर बने कोण बराबर होते हैं।
⭐ प्रश्न 15
समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज में कोणों का क्या विशेष गुण होता है?
✅ उत्तर
समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज में समान भुजाओं के एक ही ओर बनने वाले सम्मुख कोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं। उदाहरण: यदि UV || XW है तो ∠U = ∠V।
📖दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Questions — 4–5 Mark)
⭐⭐⭐ प्रश्न 1
सिद्ध कीजिए कि आयत के विकर्ण समान लंबाई के होते हैं। (SAS सर्वांगसमता का प्रयोग करते हुए)
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है → ABCD एक आयत है।
सिद्ध करना है → AC = BD (दोनों विकर्ण बराबर हैं।)
चरण 1 → चूँकि ABCD आयत है, अतः AB = CD (सम्मुख भुजाएँ बराबर)।
चरण 2 → ∠BAD = ∠CDA = 90° (आयत के सभी कोण समकोण)।
चरण 3 → AD दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ (Common) भुजा है।
चरण 4 → SAS नियम से ∆ADC ≅ ∆DAB (भुजा-कोण-भुजा)
चरण 5 → चूँकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं, अतः AC = BD (संगत भुजाएँ)।
∴ आयत के विकर्ण समान लंबाई के होते हैं। ✓
⭐⭐⭐ प्रश्न 2
सिद्ध कीजिए कि आयत के विकर्ण एक-दूसरे को उनके मध्यबिंदु पर काटते हैं (समद्विभाजित करते हैं)। (AAS सर्वांगसमता)
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है → ABCD आयत है, विकर्ण AC और BD बिंदु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है → OA = OC और OB = OD
चरण 1 → ∠B = 90°, अतः ∠3 + ∠1 = 90°
चरण 2 → △BCD में: ∠3 + ∠2 + 90° = 180°, अतः ∠3 + ∠2 = 90°
चरण 3 → ऊपर से: ∠1 = ∠2 = (90° − ∠3)
चरण 4 → AAS नियम से: △AOB ≅ △COD
चरण 5 → संगत भागों से: OA = OC और OB = OD
∴ O, AC और BD दोनों का मध्यबिंदु है — विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। ✓
⭐⭐⭐ प्रश्न 3
सिद्ध कीजिए कि किसी भी चतुर्भुज के सभी कोणों का योगफल 360° होता है।
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है → चतुर्भुज SOME है।
चरण 1 → विकर्ण SM खींचिए। इससे दो त्रिभुज बनते हैं — △SEM और △SOM।
चरण 2 → △SEM में: ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
चरण 3 → △SOM में: ∠4 + ∠5 + ∠6 = 180°
चरण 4 → दोनों जोड़ने पर: ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 360°
चरण 5 → (∠1+∠4), (∠3+∠6), ∠2, ∠5 चतुर्भुज के चारों कोण हैं।
∴ किसी भी चतुर्भुज के सभी कोणों का योगफल = 360° ✓
⭐⭐⭐ प्रश्न 4
एक समांतर चतुर्भुज ABCD में ∠A = 30° है। शेष सभी कोणों का मान ज्ञात कीजिए।
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है → समांतर चतुर्भुज ABCD, ∠A = 30°
सूत्र → समांतर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग = 180°
चरण 1 → ∠A + ∠D = 180° ⟹ ∠D = 180° − 30° = 150°
चरण 2 → ∠A + ∠B = 180° ⟹ ∠B = 180° − 30° = 150°
चरण 3 → ∠C + ∠D = 180° ⟹ ∠C = 180° − 150° = 30°
सत्यापन → 30° + 150° + 30° + 150° = 360° ✓ (चतुर्भुज के कोणों का योग)
∴ ∠A = 30°, ∠B = 150°, ∠C = 30°, ∠D = 150°
⭐⭐⭐ प्रश्न 5
सिद्ध कीजिए कि समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं। (AAS सर्वांगसमता का प्रयोग)
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है → समांतर चतुर्भुज ABCD, जिसमें AB ∥ CD और AD ∥ BC।
सिद्ध करना है → AD = CB और AB = CD
चरण 1 → △ABD और △CDB लीजिए।
चरण 2 → AD ∥ BC → एकांतर कोण: ∠ADB = ∠CBD (BD तिर्यक रेखा)
चरण 3 → AB ∥ CD → एकांतर कोण: ∠ABD = ∠CDB (BD तिर्यक रेखा)
चरण 4 → BD उभयनिष्ठ भुजा है।
चरण 5 → AAS नियम से: △ABD ≅ △CDB ⟹ AD = CB और AB = CD
∴ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं। ✓
⭐⭐⭐ प्रश्न 6
एक समचतुर्भुज ABCD में ∠A = 50° है। ∠AOB (विकर्णों का प्रतिच्छेदी बिंदु) और शेष सभी कोणों का मान ज्ञात कीजिए।
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है → समचतुर्भुज ABCD, ∠A = ∠BAD = 50°
गुण (PDF से) → समचतुर्भुज के विकर्ण 90° पर काटते हैं।
चरण 1 → ∠AOB = 90° (समचतुर्भुज का विशेष गुण)
चरण 2 → △ADB में: विकर्ण चार समान कोण a बनाते हैं।
a + a + 50° = 180° ⟹ 2a = 130° ⟹ a = 65°
a + a + 50° = 180° ⟹ 2a = 130° ⟹ a = 65°
चरण 3 → ∠C = ∠A = 50° (सम्मुख कोण बराबर)
चरण 4 → ∠B = ∠D = 180° − 50° = 130° (आसन्न कोणों का योग 180°)
∴ ∠A = ∠C = 50°, ∠B = ∠D = 130°, ∠AOB = 90°, a = 65°
⭐⭐⭐ प्रश्न 7
सिद्ध कीजिए कि यदि किसी चतुर्भुज के सभी कोण 90° हों तो उसकी सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होंगी और वह आयत होगा। (निगमन 4)
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है → चतुर्भुज ABCD जिसमें ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
सिद्ध करना है → AD = CB और AB = DC (सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।)
चरण 1 → △BAD और △DCB लीजिए।
चरण 2 → ∠B = 90° और ∠D = 90°; ∠3 + ∠1 = 90°, ∠3 + ∠2 = 90° अतः ∠1 = ∠2।
चरण 3 → BD उभयनिष्ठ भुजा है।
चरण 4 → AAS नियम से △BAD ≅ △DCB ⟹ AD = CB और DC = BA
निष्कर्ष → सभी कोण 90° और सम्मुख भुजाएँ बराबर — अतः यह आयत है।
∴ आयत को परिभाषित करने का सरल रूप: “प्रत्येक कोण 90° वाला चतुर्भुज।” ✓
⭐⭐⭐ प्रश्न 8
वर्ग के विकर्णों के बारे में सभी गुण लिखिए और सिद्ध कीजिए कि वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को 90° पर समद्विभाजित करते हैं।
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है → वर्ग ABCD, विकर्ण AC और BD बिंदु O पर काटते हैं।
वर्ग के विकर्णों के गुण (PDF से) →
(i) विकर्ण समान लंबाई के होते हैं।
(ii) विकर्ण 90° पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
(iii) विकर्ण शीर्षकोणों को समद्विभाजित करते हैं (प्रत्येक 45°–45°)।
(i) विकर्ण समान लंबाई के होते हैं।
(ii) विकर्ण 90° पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
(iii) विकर्ण शीर्षकोणों को समद्विभाजित करते हैं (प्रत्येक 45°–45°)।
सिद्धि (90° का प्रमाण) → △BOA और △BOC लीजिए।
चरण 1 → OA = OC (विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।)
चरण 2 → OB उभयनिष्ठ, AB = CB (वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर।)
चरण 3 → SSS से △BOA ≅ △BOC ⟹ ∠BOA = ∠BOC; और ∠BOA + ∠BOC = 180°
∴ प्रत्येक कोण = 90° — वर्ग के विकर्ण परस्पर 90° पर काटते हैं। ✓
⭐⭐⭐ प्रश्न 9
एक समांतर चतुर्भुज ABCD में दो विकर्ण बिंदु O पर काटते हैं। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है → समांतर चतुर्भुज EASY, विकर्ण ES और AY बिंदु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है → OA = OY और OE = OS
चरण 1 → AE = YS (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर।)
चरण 2 → AE ∥ YS → एकांतर कोण: ∠EAO = ∠SYO और ∠AEO = ∠YSO
चरण 3 → ASA नियम से: △AOE ≅ △YOS
चरण 4 → संगत भागों से: OA = OY और OE = OS
∴ O दोनों विकर्णों का मध्यबिंदु है — समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। ✓
⭐⭐⭐ प्रश्न 10
पतंग ABCD के विकर्ण BD के गुण सिद्ध कीजिए — (i) BD, ∠ABC और ∠ADC को समद्विभाजित करता है। (ii) BD, विकर्ण AC को समद्विभाजित करता है और AC पर लंबवत है।
✅ विस्तृत उत्तर
दिया है → पतंग ABCD जिसमें AB = BC और CD = DA; विकर्ण AC और BD बिंदु O पर काटते हैं।
चरण 1 (∠ के समद्विभाजन का प्रमाण) →
△ABD और △CBD में: AB = CB, AD = CD, BD उभयनिष्ठ।
SSS नियम से: △ABD ≅ △CBD
△ABD और △CBD में: AB = CB, AD = CD, BD उभयनिष्ठ।
SSS नियम से: △ABD ≅ △CBD
चरण 2 → संगत कोणों से: ∠ABD = ∠CBD (BD, ∠ABC समद्विभाजित करता है।)
चरण 3 → ∠ADB = ∠CDB (BD, ∠ADC समद्विभाजित करता है।)
चरण 4 (AC के लंबद्विभाजन का प्रमाण) →
△AOB और △COB में: AB = CB, OB उभयनिष्ठ, ∠ABO = ∠CBO (ऊपर सिद्ध)।
SAS नियम से: △AOB ≅ △COB
△AOB और △COB में: AB = CB, OB उभयनिष्ठ, ∠ABO = ∠CBO (ऊपर सिद्ध)।
SAS नियम से: △AOB ≅ △COB
चरण 5 → OA = OC (BD, AC को समद्विभाजित करता है।) और ∠AOB = ∠COB = 90°।
∴ पतंग का विकर्ण BD: (i) ∠ABC और ∠ADC को समद्विभाजित करता है (ii) AC का लंब-समद्विभाजक है। ✓
💡 परीक्षा टिप्स — अध्याय 4: चतुर्भुज
💡 याद रखें: किसी भी चतुर्भुज के कोणों का योग सदैव 360° होता है।
💡 आयत vs वर्ग: हर वर्ग एक आयत है, लेकिन हर आयत वर्ग नहीं होती — यह गलती अक्सर होती है।
💡 समांतर चतुर्भुज: सम्मुख कोण बराबर; आसन्न कोणों का योग = 180°।
💡 समचतुर्भुज: विकर्ण 90° पर काटते हैं — यह आयत में नहीं होता (जब तक वर्ग न हो)।
💡 सर्वांगसमता नियम: SAS, AAS, ASA, SSS — इन्हें सही क्रम में लिखना जरूरी है।
💡 विकर्ण का प्रयोग: चतुर्भुज में एक विकर्ण खींचने से दो त्रिभुज बनते हैं — इस ट्रिक का प्रयोग कोण-योग प्रमाण में होता है।
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