कक्षा 8 | NCERT गणित प्रकाश

अध्याय 6 — जितना बाँटेंगे उतना बढ़ेगा

महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर | परीक्षा-केंद्रित प्रश्न बैंक

📝 लघु उत्तरीय: 15 प्रश्न

📖 दीर्घ उत्तरीय: 10 प्रश्न

🔢 कुल: 25 प्रश्न

📐 मुख्य सर्वसमिकाएँ (Important Identities)

सर्वसमिका 1
(a + m)(b + n) = ab + mb + an + mn

सर्वसमिका 1A
(a + b)² = a² + 2ab + b²

सर्वसमिका 1B
(a − b)² = a² − 2ab + b²

सर्वसमिका 1C
(a + b)(a − b) = a² − b²

वितरण गुणधर्म
a(b + c) = ab + ac

योग पहचान
2(a² + b²) = (a + b)² + (a − b)²

✍

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Questions)

लघु प्र. 1

वितरण गुणधर्म (Distributive Property) क्या है? सूत्र लिखिए।

उत्तर

यदि a, b, c तीन संख्याएँ हों तो गुणन का वितरण गुणधर्म यह कहता है—

a(b + c) = ab + ac

इसे योग पर गुणन का वितरण गुणधर्म कहते हैं। उदाहरण: 23(27 + 1) = 23 × 27 + 23

लघु प्र. 2

यदि संख्या b में 1 की वृद्धि की जाए तो गुणनफल ab में कितनी वृद्धि होगी?

उत्तर

वितरण गुणधर्म से:

a(b + 1) = ab + a

अतः गुणनफल ab में a की वृद्धि होगी।

लघु प्र. 3

यदि a और b दोनों में 1 की वृद्धि की जाए तो गुणनफल ab में कितनी वृद्धि होगी?

उत्तर

(a + 1)(b + 1) = ab + (b + a + 1)

अतः गुणनफल ab में a + b + 1 की वृद्धि होती है।
उदाहरण: (23 + 1)(27 + 1) = 23 × 27 + (27 + 23 + 1)

लघु प्र. 4

सर्वसमिका किसे कहते हैं? एक उदाहरण दीजिए।

उत्तर

दो गणितीय व्यंजकों की समानता व्यक्त करने वाले गणितीय कथनों को सर्वसमिकाएँ कहते हैं।
उदाहरण: a(b + 8) = ab + 8a तथा (a + 1)(b − 1) = ab + b − a − 1

लघु प्र. 5

सर्वसमिका 1 क्या है? लिखिए।

उत्तर

सर्वसमिका 1: (a + m)(b + n) = ab + mb + an + mn

जब a और b में क्रमशः m और n की वृद्धि की जाए तो गुणनफल में an + bm + mn की वृद्धि होती है।

लघु प्र. 6

सर्वसमिका 1A क्या है? इसका उपयोग कब किया जाता है?

उत्तर

सर्वसमिका 1A: (a + b)² = a² + 2ab + b²

इसका उपयोग दो संख्याओं के योग का वर्ग ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
उदाहरण: 65² = (60 + 5)² = 3600 + 25 + 600 = 4225

लघु प्र. 7

सर्वसमिका 1B लिखिए।

उत्तर

सर्वसमिका 1B: (a − b)² = a² − 2ab + b²

वितरण गुणधर्म से: (a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ba − ab + b² = a² − 2ab + b²

लघु प्र. 8

सर्वसमिका 1C क्या है? एक संख्यात्मक उदाहरण दीजिए।

उत्तर

सर्वसमिका 1C: (a + b)(a − b) = a² − b²

उदाहरण: 98 × 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996

लघु प्र. 9

(a + b)² और a² + b² में क्या संबंध है?

उत्तर

सर्वसमिका 1A से: (a + b)² = a² + 2ab + b²
यदि a और b दोनों धनात्मक हों तो (a + b)² का मान a² + b² से सदैव बड़ा होता है क्योंकि उसमें 2ab अधिक जुड़ता है।

लघु प्र. 10

किसी संख्या को 11 से गुणा करने की शीघ्र विधि क्या है?

उत्तर

वितरण गुणधर्म से: dcba × 11 = dcba × (10 + 1) = dcba × 10 + dcba
परिणाम: d (c+d) (b+c) (a+b) a — अर्थात पड़ोसी अंकों को जोड़कर लिखते हैं।
उदाहरण: 3874 × 11 = 42614

लघु प्र. 11

समान पद (Like Terms) किसे कहते हैं?

उत्तर

समान चर संख्या वाले पदों को समान पद कहते हैं।
उदाहरण: ab और 2ab समान पद हैं, इसलिए ab + 2ab = 3ab किया जा सकता है।
a² और 3a समान पद नहीं हैं क्योंकि चर संख्याएँ अलग हैं।

लघु प्र. 12

सूत्र 2(a² + b²) = (a + b)² + (a − b)² को सिद्ध कीजिए।

उत्तर

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

दोनों जोड़ने पर: (a + b)² + (a − b)² = 2a² + 2b²

∴ 2(a² + b²) = (a + b)² + (a − b)² ✓

लघु प्र. 13

(a + b)(a + b) का विस्तार कीजिए।

उत्तर

(a + b)(a + b) = (a + b)·a + (a + b)·b

= a² + ba + ab + b²

= a² + 2ab + b² (∵ ba = ab)

∴ (a + b)² = a² + 2ab + b²

लघु प्र. 14

किसी संख्या को 101 से गुणा करने की शीघ्र विधि लिखिए।

उत्तर

dcba × 101 = dcba × (100 + 1) = dcba × 100 + dcba

परिणाम: d c (b+d) (a+c) b a
उदाहरण: 89 × 101 = 8989

लघु प्र. 15

सर्वसमिका a² = (a + b)(a − b) + b² का उपयोग करके 31² ज्ञात कीजिए।

उत्तर

a = 31, b = 1 लें

31² = (31 + 1)(31 − 1) + 1²

= 32 × 30 + 1

= 960 + 1

∴ 31² = 961

📖

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Questions)

दीर्घ प्र. 1

वितरण गुणधर्म का उपयोग करके 3874 × 11 का गुणनफल चरण-दर-चरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर

दिया है: 3874 × 11

सूत्र: किसी संख्या × 11 = संख्या × (10 + 1) = संख्या × 10 + संख्या

3874 × 11 = 3874 × (10 + 1) = 38740 + 3874

4 अंकीय संख्या dcba के लिए परिणाम: d (c+d) (b+c) (a+b) a

3874 के लिए: d=3, c=8, b=7, a=4

चरण 1: इकाई = 4

चरण 2: दहाई = 7+4 = 11 → 1 लिखें, 1 आगे ले जाएँ

चरण 3: सैकड़ा = 8+7+1 = 16 → 6 लिखें, 1 आगे ले जाएँ

चरण 4: हजार = 3+8+1 = 12 → 2 लिखें, 1 आगे ले जाएँ

चरण 5: दस हजार = 3+1 = 4

∴ 3874 × 11 = 42614

दीर्घ प्र. 2

सर्वसमिका 1A का उपयोग करके 65² का मान ज्ञात कीजिए। ज्यामितीय व्याख्या भी दीजिए।

उत्तर

दिया है: 65²

विघटन: 65 = 60 + 5, अतः a = 60, b = 5

सूत्र (1A): (a + b)² = a² + 2ab + b²

65² = (60 + 5)² = 60² + 2×(60×5) + 5²

= 3600 + 600 + 25

∴ 65² = 4225 वर्ग इकाई

ज्यामितीय व्याख्या: 65 इकाई भुजा वाले वर्ग को 4 भागों में बाँटते हैं — 60² का वर्ग, 5² का वर्ग, और 60×5 के दो आयत। इन सबके क्षेत्रफलों का योग 65² देता है।

दीर्घ प्र. 3

(a + b)(a² + 2ab + b²) का विस्तार कीजिए और परिणाम लिखिए।

उत्तर

(a + b)(a² + 2ab + b²) = (a + b)a² + (a + b)×2ab + (a + b)b²

= a³ + ba² + 2a²b + 2ab² + ab² + b³

समान पद: a²b और 2a²b → a²b + 2a²b = 3a²b

समान पद: ab² और 2ab² → ab² + 2ab² = 3ab²

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

∴ (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

दीर्घ प्र. 4

सर्वसमिका 1B का उपयोग करके 55² का मान ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए।

उत्तर

दिया है: 55² = (60 − 5)²

a = 60, b = 5

सूत्र (1B): (a − b)² = a² − 2ab + b²

(60 − 5)² = 60² − 2×60×5 + 5²

= 3600 − 600 + 25

= 3025

∴ 55² = 3025

वितरण विधि से सत्यापन: (60−5)² = 60²−60×5−5×60+5² = 3600−300−300+25 = 3025 ✓

दीर्घ प्र. 5

निम्नलिखित गुणनफलों का विस्तार कीजिए: (i) (3 + u)(v − 3) (ii) (10a + b)(10c + d)

उत्तर

(i) (3 + u)(v − 3)

= (3 + u)·v − (3 + u)·3

= 3v + uv − 9 − 3u

= uv + 3v − 3u − 9

(ii) (10a + b)(10c + d) — सर्वसमिका 1 से: a₁ = 10a, m = b, b₁ = 10c, n = d

= (10a)(10c) + b(10c) + (10a)(d) + bd

= 100ac + 10bc + 10ad + bd

दीर्घ प्र. 6

सर्वसमिका 1C का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि (a + b)(a − b) = a² − b² और 98 × 102 का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

सिद्धि:

(a + b)(a − b) = a·a − a·b + b·a − b·b

= a² − ab + ab − b²

= a² − b² (∵ −ab + ab = 0)

सर्वसमिका 1C: (a + b)(a − b) = a² − b² ✓

98 × 102 का मान:

98 × 102 = (100 − 2)(100 + 2)

= 100² − 2² = 10000 − 4

∴ 98 × 102 = 9996

दीर्घ प्र. 7

3a/2 × (a − b + 1/5) को विस्तारित रूप में लिखिए और सभी पदों की गणना कीजिए।

उत्तर

दिया है: (3a/2) × (a − b + 1/5)

= (3a/2 × a) − (3a/2 × b) + (3a/2 × 1/5)

3a/2 × a = 3/2 × (a × a) = 3/2 · a²

3a/2 × b = 3/2 · ab

3a/2 × 1/5 = (3/2 × 1/5)·a = 3/10 · a

∴ 3a/2 · (a − b + 1/5) = 3a²/2 − 3ab/2 + 3a/10

ध्यान: 3a²/2 और 3a/10 समान पद नहीं हैं (चर संख्याएँ अलग), अतः इनका योग संभव नहीं।

दीर्घ प्र. 8

सर्वसमिका 1 से उपयुक्त मान रखकर (a + 1)(b − 1) का विस्तार कीजिए और उदाहरण दीजिए।

उत्तर

सर्वसमिका 1: (a + m)(b + n) = ab + mb + an + mn

(a + 1)(b − 1) को (a + 1)(b + (−1)) के रूप में लिखें

यहाँ m = 1, n = −1

= ab + (1)×b + a×(−1) + (1)×(−1)

= ab + b − a − 1

∴ (a + 1)(b − 1) = ab + b − a − 1

उदाहरण: a = 23, b = 27 लें

(23+1)(27−1) = 23×27 + 27 − 23 − 1 = 23×27 + 3

गुणनफल में b − a − 1 = 27 − 23 − 1 = 3 की वृद्धि होती है।

दीर्घ प्र. 9

सिद्ध कीजिए कि (m + n)² − 4mn = (n − m)²।

उत्तर

बायाँ पक्ष (LHS):

(m + n)² − 4mn

= m² + 2mn + n² − 4mn (सर्वसमिका 1A से)

= m² − 2mn + n²

दायाँ पक्ष (RHS):

(n − m)²

= n² − 2mn + m² (सर्वसमिका 1B से)

= m² − 2mn + n²

∴ LHS = RHS, अतः (m + n)² − 4mn = (n − m)² सिद्ध ✓

यह परिणाम उस स्थिति में उपयोगी है जब हम किसी वर्ग के अन्तर्गत छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।

दीर्घ प्र. 10

सर्वसमिका 1A का उपयोग करके 104² और 37² का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर

(i) 104² का मान:

104 = 100 + 4, अतः a = 100, b = 4

(100 + 4)² = 100² + 2×100×4 + 4²

= 10000 + 800 + 16

∴ 104² = 10816

(ii) 37² का मान:

37 = 40 − 3, अतः a = 40, b = 3

सर्वसमिका 1B: (40 − 3)² = 40² − 2×40×3 + 3²

= 1600 − 240 + 9

∴ 37² = 1369

💡 परीक्षा में याद रखने योग्य बातें

📌 वितरण गुणधर्म: a(b + c) = ab + ac — यह सभी प्रश्नों का आधार है।

📌 (a + b)² में 2ab का पद नहीं भूलें — सामान्य गलती: (a + b)² ≠ a² + b²

📌 (a + b)(a − b) = a² − b² — इससे संख्याओं का गुणा तेज़ी से होता है।

📌 11 से गुणा: पड़ोसी अंकों को जोड़ें, carry का ध्यान रखें।

📌 समान पद ही जोड़े जा सकते हैं — a²b और ab² अलग-अलग पद हैं।

अध्याय 6 — जितना बाँटेंगे उतना बढ़ेगा

📐 मुख्य सर्वसमिकाएँ (Important Identities)

💡 परीक्षा में याद रखने योग्य बातें

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