📐 NCERT गणित प्रकाश | कक्षा 8

अध्याय 7: समानुपातिक तर्कण-1

महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर | परीक्षा के लिए तैयार

📝 15 लघु उत्तरीय प्रश्न

📖 10 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

🎯 परीक्षा केंद्रित

📌

याद रखें — मुख्य सूत्र एवं अवधारणाएँ

📌 अनुपात (Ratio): a : b का अर्थ है — पहली राशि की प्रत्येक ‘a’ इकाई के लिए दूसरी राशि की ‘b’ इकाई होती है।
📌 समानुपात (Proportion): जब दो अनुपात सरलतम रूप में समान हों — a : b :: c : d
📌 वज्र गुणन (Cross Multiplication): यदि a : b :: c : d, तो ad = bc
📌 विभाजन सूत्र: x को m : n में बाँटने पर — पहला भाग = m × x/(m+n), दूसरा भाग = n × x/(m+n)
📌 म.स.प. से सरलतम रूप: अनुपात के दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) से भाग देने पर सरलतम रूप मिलता है।
📌 इकाई का ध्यान रखें: समानुपात बनाते समय दोनों अनुपातों में एक ही इकाई का उपयोग करें।

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लघु उत्तरीय प्रश्न ⭐ Easy–Medium

प्रश्न 1

अनुपात किसे कहते हैं? a : b अनुपात का क्या अर्थ है?

✅ उत्तर

गणित में समानुपातिक संबंधों को दर्शाने के लिए अनुपात की धारणा का उपयोग करते हैं।
a : b का अर्थ है — पहली राशि की प्रत्येक ‘a’ इकाई के लिए दूसरी राशि की ‘b’ इकाई होती है। ‘a’ और ‘b’ अनुपात के पद कहलाते हैं।

प्रश्न 2

अनुपात को सरलतम रूप में कैसे परिवर्तित करते हैं?

✅ उत्तर

अनुपात के दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) से भाग देकर सरलतम रूप प्राप्त करते हैं।
उदाहरण: 60 : 40 → म.स.प. = 20 → सरलतम रूप = 3 : 2

प्रश्न 3

समानुपात (Proportion) कब कहते हैं? समानुपात दर्शाने का चिह्न क्या है?

✅ उत्तर

जब दो अनुपात उनके सरलतम रूप में समान होते हैं, तब उन्हें समानुपातिक कहते हैं।
समानुपात दर्शाने के लिए (::) चिह्न का उपयोग होता है। जैसे — a : b :: c : d

प्रश्न 4

क्या अनुपात 3 : 4 और 72 : 96 समानुपातिक हैं? सिद्ध कीजिए।

✅ उत्तर

72 और 96 का म.स.प. = 24
72 : 96 को 24 से भाग देने पर → 3 : 4
चूँकि दोनों अनुपात सरलतम रूप में 3 : 4 हैं, अत: ये समानुपातिक हैं।

प्रश्न 5

वज्र गुणन (Cross Multiplication) क्या है? इसका सूत्र लिखिए।

✅ उत्तर

जब a : b :: c : d हो, तो ad = bc — यह वज्र गुणन कहलाता है।
इस विधि से चौथी अज्ञात राशि ज्ञात की जा सकती है: d = bc/a

प्रश्न 6

चित्र ‘क’ की चौड़ाई 60 मिमी और ऊँचाई 40 मिमी है। इसका अनुपात सरलतम रूप में लिखिए।

✅ उत्तर

चौड़ाई : ऊँचाई = 60 : 40
म.स.प. (60, 40) = 20
सरलतम रूप = 3 : 2

प्रश्न 7

केसांग 6 गिलास नींबू पानी के लिए 10 चम्मच चीनी डालती है। 18 गिलास के लिए कितनी चीनी चाहिए?

✅ उत्तर

समानुपात: 6 : 10 :: 18 : ?
परिवर्तन गणक = 18 ÷ 6 = 3
चीनी = 10 × 3 = 30 चम्मच

प्रश्न 8

14 : 21 के समानुपाती अनुपात में ___ : 42 में लुप्त संख्या क्या होगी?

✅ उत्तर

42, 21 का 2 गुना है → प्रथम पद भी 14 का 2 गुना होना चाहिए
14 × 2 = 28
अत: अनुपात = 28 : 42

प्रश्न 9

₹4500 को 2 : 3 के अनुपात में दो भागों में विभाजित कीजिए।

✅ उत्तर

m + n = 2 + 3 = 5 → प्रत्येक भाग का मान = 4500 ÷ 5 = 900
पहला भाग = 2 × 900 = ₹1800 | दूसरा भाग = 3 × 900 = ₹2700

प्रश्न 10

नितिन ने 60 फुट दीवार में 3 थैले सीमेंट और हरी ने 40 फुट दीवार में 2 थैले सीमेंट का उपयोग किया। क्या दोनों दीवारें समान रूप से सुदृढ़ हैं?

✅ उत्तर

नितिन का अनुपात 60 : 3 = 20 : 1 (सरलतम रूप में)
हरी का अनुपात 40 : 2 = 20 : 1 (सरलतम रूप में)
दोनों अनुपात समानुपातिक हैं → दोनों दीवारें समान रूप से सुदृढ़ हैं।

प्रश्न 11

4 : 9 के समानुपाती कोई दो अनुपात लिखिए।

✅ उत्तर

दोनों पदों को 2 से गुणा करने पर → 8 : 18
दोनों पदों को 3 से गुणा करने पर → 12 : 27

प्रश्न 12

क्या अनुपात 4 : 7 :: 12 : 21 सही है? जाँच कीजिए।

✅ उत्तर

वज्र गुणन: 4 × 21 = 84 और 7 × 12 = 84
चूँकि ad = bc → हाँ, यह समानुपात सही है।

प्रश्न 13

प्रशांति ने ₹75000 और भुवन ने ₹25000 का निवेश किया। उनके निवेश का अनुपात सरलतम रूप में लिखिए।

✅ उत्तर

75000 : 25000 → दोनों को 25000 से भाग देने पर
सरलतम रूप = 3 : 1

प्रश्न 14

संतरे के रस 600 मिली और सेब के रस 900 मिली का अनुपात सरलतम रूप में लिखिए।

✅ उत्तर

600 : 900 → म.स.प. (600, 900) = 300
सरलतम रूप = 2 : 3

प्रश्न 15

जब किसी अनुपात के पदों में समान संख्या जोड़ी या घटाई जाए तो क्या होता है?

✅ उत्तर

जब किसी अनुपात के पदों में समान संख्या जोड़ते या घटाते हैं, तो अनुपात परिवर्तित हो जाता है और यह आवश्यक नहीं कि वह मूल अनुपात के समानुपाती हो।
(उदाहरण: नीलिमा की आयु वाला प्रश्न — 3 : 30 बाद में 12 : 39 हो जाता है जो समानुपाती नहीं है।)

📖

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न ⭐⭐ Medium–Hard

प्रश्न 1

120 विद्यार्थियों वाले एक विद्यालय में मध्याह्न भोजन के लिए 15 किलोग्राम चावल बनाया जाता है। एक दिन वर्षा के कारण मात्र 80 विद्यार्थी उपस्थित रहे। रसोइए को उस दिन कितने किलोग्राम चावल बनाने चाहिए?

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है → 120 विद्यार्थी → 15 kg चावल | 80 विद्यार्थी → ? kg चावल

📐 सूत्र: विद्यार्थियों की संख्या और चावल की मात्रा का अनुपात समानुपाती होना चाहिए।

समानुपात → 120 : 15 :: 80 : ?

चरण 1 → परिवर्तन गणक = 80 ÷ 120 = 2/3

चरण 2 → चावल = 15 × 2/3 = 10 किलोग्राम

∴ उत्तर: रसोइए को उस दिन 10 किलोग्राम चावल बनाने चाहिए।

प्रश्न 2

एक कार 150 मिनट में 90 किलोमीटर दूरी तय करती है। यदि वह इसी गति से चलती रहे तो 4 घंटे में वह कितनी दूरी तय करेगी?

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है → 150 मिनट → 90 km | 4 घंटे → ? km

ध्यान → इकाई एक समान रखनी होगी। 4 घंटे = 4 × 60 = 240 मिनट

📐 समानुपात: 150 : 90 :: 240 : x

वज्र गुणन → 150 × x = 240 × 90

चरण → x = (240 × 90) ÷ 150 = 21600 ÷ 150 = 144

∴ उत्तर: कार 4 घंटे में 144 किलोमीटर दूरी तय करेगी।

प्रश्न 3

प्रशांति ने ₹75000 और भुवन ने ₹25000 का निवेश किया। पहले महीने के अंत में ₹4000 का लाभ हुआ। निवेश के अनुपात में लाभ का वितरण कीजिए।

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है → प्रशांति = ₹75000, भुवन = ₹25000, कुल लाभ = ₹4000

चरण 1 → निवेश का अनुपात = 75000 : 25000 = 3 : 1 (सरलतम रूप)

📐 सूत्र: x को m : n में बाँटने पर → प्रत्येक भाग = x ÷ (m + n)

चरण 2 → m + n = 3 + 1 = 4 | प्रत्येक भाग = 4000 ÷ 4 = ₹1000

चरण 3 → प्रशांति का भाग = 3 × 1000 = ₹3000

चरण 4 → भुवन का भाग = 1 × 1000 = ₹1000

∴ उत्तर: प्रशांति को ₹3000 और भुवन को ₹1000 लाभांश मिला।

प्रश्न 4

एक 40 किलोग्राम मिश्रण में रेत और सीमेंट का अनुपात 3 : 1 है। रेत और सीमेंट का अनुपात 5 : 2 करने के लिए मिश्रण में सीमेंट की कितनी और मात्रा का उपयोग करना चाहिए?

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है → कुल मिश्रण = 40 kg, रेत : सीमेंट = 3 : 1

चरण 1 → रेत = 3/(3+1) × 40 = 30 kg | सीमेंट = 1/(3+1) × 40 = 10 kg

चरण 2 → नए मिश्रण में रेत = 30 kg (अपरिवर्तित) | नया अनुपात = 5 : 2

📐 5 : 2 :: 30 : ? → दूसरा पद = 30 × (2/5)

चरण 3 → नई सीमेंट की मात्रा = 30 × 2/5 = 12 kg

चरण 4 → अतिरिक्त सीमेंट = 12 − 10 = 2 kg

∴ उत्तर: मिश्रण में 2 किलोग्राम और सीमेंट मिलाना चाहिए।

प्रश्न 5

हिमाचल प्रदेश में एक किसान 200 ग्राम चाय पैकेट को ₹200 में बेचता है। मेघालय में एक किसान 1 किलोग्राम चाय को ₹800 में बेचता है। बताइए कौन-सी चाय अपेक्षाकृत मूल्यवान (महंगी) है?

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है → हिमाचल: 200 ग्राम = ₹200 | मेघालय: 1 किलोग्राम (=1000 ग्राम) = ₹800

चरण 1 → हिमाचल के लिए 1 किलोग्राम चाय का मूल्य → 1/5 × x = 200 → x = ₹1000

चरण 2 → मेघालय में 1 किलोग्राम चाय = ₹800

चरण 3 → हिमाचल में 1 किलोग्राम चाय = ₹1000

चरण 4 → हिमाचल: भार : मूल्य = 1 : 1 (सरलतम) | मेघालय: 5 : 4 (सरलतम)

∴ उत्तर: हिमाचल की चाय अधिक मूल्यवान है क्योंकि 1 kg का मूल्य ₹1000 है जबकि मेघालय में ₹800 है।

प्रश्न 6

हरा रंग बनाने के लिए नीले और पीले रंग का 3 : 5 के अनुपात में मिश्रण तैयार किया गया है। 40 मिलीलीटर हरा रंग बनाने के लिए दोनों रंगों की कितनी मात्रा की आवश्यकता होगी?

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है → नीला : पीला = 3 : 5 | कुल मिश्रण = 40 मिलीलीटर

📐 सूत्र: x को m : n में बाँटना → प्रत्येक भाग = x ÷ (m + n)

चरण 1 → m + n = 3 + 5 = 8 | प्रत्येक भाग = 40 ÷ 8 = 5 मिलीलीटर

चरण 2 → नीले रंग की मात्रा = 3 × 5 = 15 मिलीलीटर

चरण 3 → पीले रंग की मात्रा = 5 × 5 = 25 मिलीलीटर

∴ उत्तर: 40 मिलीलीटर हरा रंग बनाने के लिए नीला = 15 मिली और पीला = 25 मिली चाहिए।

प्रश्न 7

42 गणकों को दो व्यक्तियों में 4 : 3 के अनुपात में बाँटिए। दोनों को क्रमशः कितने-कितने गणक प्राप्त होंगे?

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है → कुल गणक = 42, अनुपात = 4 : 3

📐 सूत्र: प्रत्येक समूह का आकार = x ÷ (m + n)

चरण 1 → m + n = 4 + 3 = 7 | प्रत्येक समूह = 42 ÷ 7 = 6

चरण 2 → पहले व्यक्ति को = 4 × 6 = 24 गणक

चरण 3 → दूसरे व्यक्ति को = 3 × 6 = 18 गणक

जाँच → 24 + 18 = 42 ✅

∴ उत्तर: पहले व्यक्ति को 24 और दूसरे को 18 गणक प्राप्त होंगे।

प्रश्न 8

विज्ञान की प्रयोगशाला में अम्ल और जल को 1 : 5 की मात्रा में मिलाकर एक विलयन तैयार किया जाता है। 240 मिलीलीटर विलयन वाले एक पात्र में अम्ल और जल की कितनी मात्रा होगी?

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है → अम्ल : जल = 1 : 5 | कुल विलयन = 240 मिलीलीटर

📐 सूत्र: भाग = (अनुपात पद) × x ÷ (m + n)

चरण 1 → m + n = 1 + 5 = 6 | प्रत्येक भाग = 240 ÷ 6 = 40 मिलीलीटर

चरण 2 → अम्ल की मात्रा = 1 × 40 = 40 मिलीलीटर

चरण 3 → जल की मात्रा = 5 × 40 = 200 मिलीलीटर

जाँच → 40 + 200 = 240 ✅

∴ उत्तर: अम्ल = 40 मिलीलीटर और जल = 200 मिलीलीटर

प्रश्न 9

वज्र गुणन की विधि का उपयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि जब a : b :: c : d हो, तो ad = bc। इसके उपयोग की एक उदाहरण से व्याख्या कीजिए।

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है → a : b :: c : d (दोनों अनुपात समानुपातिक हैं)

चरण 1 → समानुपाती होने के लिए पद c, पद a का एक गणक f द्वारा गुणज होना चाहिए।
अत: c = fa और d = fb

चरण 2 → f = c/a और f = d/b → इसलिए c/a = d/b

चरण 3 → दोनों ओर ab से गुणा करने पर → bc = ad अर्थात् ad = bc

📐 वज्र गुणन: ad = bc | d = bc/a

उदाहरण → 6 : 10 :: 18 : x → 6x = 10 × 18 = 180 → x = 30 ✅

∴ इस विधि से चौथी अज्ञात राशि सरलता से प्राप्त की जा सकती है।

प्रश्न 10

एक नल एक मग पानी भरने में 15 सेकंड का समय लेता है। मग का आयतन 500 मिलीलीटर है। यदि बाल्टी की क्षमता 10 लीटर है तो वही नल एक बाल्टी पानी भरने में कितना समय लेगा?

✅ विस्तृत उत्तर

दिया है → मग = 500 मिलीलीटर → 15 सेकंड | बाल्टी = 10 लीटर = 10,000 मिलीलीटर → ?

इकाई समान करें → 10 लीटर = 10 × 1000 = 10,000 मिलीलीटर

📐 समानुपात: 500 : 15 :: 10000 : x

चरण 1 → परिवर्तन गणक = 10000 ÷ 500 = 20

चरण 2 → x = 15 × 20 = 300 सेकंड

मिनट में → 300 ÷ 60 = 5 मिनट

∴ उत्तर: नल एक बाल्टी भरने में 300 सेकंड (5 मिनट) का समय लेगा।

💡परीक्षा टिप्स — ध्यान दीजिए!

💡 इकाई मिलाएँ: समानुपात बनाते समय हमेशा दोनों अनुपातों में एक ही इकाई का उपयोग करें (जैसे मिनट या घंटे — दोनों एक ही हों)।
💡 वज्र गुणन याद रखें: a : b :: c : d → ad = bc — यह सबसे महत्वपूर्ण सूत्र है।
💡 सरलतम रूप: दो अनुपातों की तुलना हमेशा उनके सरलतम रूप में करें।
💡 विभाजन सूत्र: x को m : n में बाँटने पर — m × x/(m+n) और n × x/(m+n) — इसे अच्छी तरह याद करें।
💡 सामान्य गलती: अनुपात के पदों में संख्या जोड़ने या घटाने से अनुपात बदल जाता है — यह जरूर याद रखें।
💡 जाँच जरूर करें: अंत में विभाजन के दोनों भागों का योग मूल राशि के बराबर होना चाहिए।

अध्याय 7: समानुपातिक तर्कण-1

महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर | परीक्षा के लिए तैयार

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