घातों का खेल
कक्षा 8 | NCERT गणित प्रकाश | हिंदी माध्यम
परिचय (Introduction)
इस अध्याय में हम घातों (Exponents) की अद्भुत दुनिया का अनुभव करेंगे। एक कागज़ को बार-बार मोड़ने से समझ आता है कि कैसे एक छोटी-सी संख्या बहुत तेज़ी से बड़ी हो जाती है। इसे चरघातांकी वृद्धि (Exponential Growth) कहते हैं।
जब किसी संख्या को बार-बार स्वयं से गुणा किया जाता है, तो उसे घातांकीय रूप (Exponential Form) में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए — 2 × 2 × 2 × 2 = 24। इस अध्याय में हम घात के नियम, शून्य और ऋणात्मक घात, तथा वैज्ञानिक संकेतन सीखेंगे।
यह अध्याय इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि बहुत बड़ी और बहुत छोटी संख्याओं को सरल रूप में लिखने के लिए घातांकीय संकेतन का उपयोग विज्ञान, तकनीक और दैनिक जीवन में होता है।
मुख्य अवधारणाएँ (Key Concepts)
घात और आधार की परिभाषा (Base & Exponent)
घातांकीय संकेतन (Exponential Notation)
घातों का गुणन नियम (na × nb = na+b)
घात की घात का नियम ((na)b = nab)
घातों का भाग नियम (na ÷ nb = na-b)
शून्य घात (n0 = 1)
ऋणात्मक घात (n-a = 1/na)
वैज्ञानिक संकेतन (Scientific Notation)
10 की घात और विस्तारित रूप
रैखिक बनाम चरघातांकी वृद्धि
विस्तृत नोट्स (Detailed Notes)
2.1 घात के खेल का अनुभव
प्रत्येक मोड़ के साथ कागज़ की मोटाई दोगुनी हो जाती है। यह चरघातांकी वृद्धि (Exponential Growth) का सबसे सरल उदाहरण है।
कागज़ की मोटाई में चरघातांकी वृद्धि
कागज़ मोड़ने की तालिका
| मोड़ | मोटाई | मोड़ | मोटाई | मोड़ | मोटाई |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.001 cm | 6 | 0.064 cm | 12 | 4.096 cm |
| 1 | 0.002 cm | 7 | 0.128 cm | 13 | 8.192 cm |
| 2 | 0.004 cm | 8 | 0.256 cm | 17 | ≈ 131 cm |
| 3 | 0.008 cm | 9 | 0.512 cm | 26 | ≈ 670 m |
| 4 | 0.016 cm | 10 | 1.024 cm | 30 | ≈ 10.7 km |
| 5 | 0.032 cm | 11 | 2.048 cm | 46 | >7,00,000 km! |
2.2 चरघातांकी संकेतन और संक्रियाएँ
जब किसी संख्या n को स्वयं से a बार गुणा किया जाता है, तो इसे na लिखते हैं।
यहाँ n = आधार (Base) और a = घात (Exponent) कहलाता है।
आधार (Base) और घात (Exponent) की पहचान
घातांकीय रूप के उदाहरण
- n × n = n² (n का वर्ग, n की घात 2)
- n × n × n = n³ (n का घन, n की घात 3)
- n × n × n × n = n⁴ (n की चौथी घात)
- n × n × n × n × n × n × n = n⁷ (n की सातवीं घात)
🧮 महत्वपूर्ण नियम 1: गुणन नियम
|
उदाहरण: 34 × 33 = 37 = 2187
🧮 महत्वपूर्ण नियम 2: घात की घात
|
उदाहरण: (43)2 = 46 = 4096
🧮 महत्वपूर्ण नियम 3: भिन्न आधार, समान घात
|
ma ÷ na = (m÷n)a
2.3 घातों का दूसरा पक्ष
📌 भाग नियम (Division Rule)
शून्य घात क्यों 1 होती है?
📌 ऋणात्मक घात (Negative Exponent)
उदाहरण:
- 2–1 = 1/2 = 0.5
- 2–6 = 1/26 = 1/64
- 10–3 = 1/10³ = 1/1000 = 0.001
- 7–2 = 1/7² = 1/49
2 की घातों की संख्या रेखा
2.4 वैज्ञानिक संकेतन (Scientific Notation)
वैज्ञानिक संकेतन (मानक रूप): किसी भी संख्या को x × 10y के रूप में लिखना, जहाँ 1 ≤ x < 10 और y एक पूर्णांक है।
उदाहरण:
| साधारण संख्या | वैज्ञानिक संकेतन | व्याख्या |
|---|---|---|
| 5900 | 5.9 × 10³ | 5.9 को 1000 से गुणा |
| 20800 | 2.08 × 10⁴ | 2.08 को 10000 से गुणा |
| 80,00,000 | 8 × 10⁶ | 8 को दस लाख से गुणा |
| 0.0034 | 3.4 × 10⁻³ | 3.4 को 0.001 से गुणा |
| 5,96,00,00,00,000 | 5.96 × 10¹¹ | पृथ्वी-सूर्य की दूरी |
10 की घात और विस्तारित रूप
उदाहरण: 47561 को 10 की घातों में लिखें:
47561 = (4 × 10⁴) + (7 × 10³) + (5 × 10²) + (6 × 10¹) + (1 × 10⁰)
वैज्ञानिक संकेतन की संरचना
रैखिक बनाम चरघातांकी वृद्धि
रैखिक वृद्धि धीमी होती है, चरघातांकी वृद्धि अत्यंत तीव्र!
उदाहरण (Solved Examples)
⭐ याद रखें — Key Points
- na का अर्थ है — n को स्वयं से a बार गुणा करना
- na × nb = na+b (गुणन में घातांक जुड़ते हैं)
- na ÷ nb = na-b (भाग में घातांक घटते हैं, n ≠ 0)
- (na)b = na×b (घात की घात में गुणा होता है)
- ma × na = (mn)a (समान घात, भिन्न आधार)
- n⁰ = 1 (शून्य घात हमेशा 1, जहाँ n ≠ 0)
- n–a = 1/na (ऋणात्मक घात = व्युत्क्रम)
- वैज्ञानिक संकेतन: x × 10y जहाँ 1 ≤ x < 10
- चरघातांकी वृद्धि गुणात्मक होती है, रैखिक वृद्धि योगात्मक
सूत्र सूची (Formula List)
| भारतीय संख्या | घात रूप | अंतर्राष्ट्रीय नाम |
|---|---|---|
| एक लाख | 10⁵ | Hundred Thousand |
| एक करोड़ | 10⁷ | Ten Million |
| एक अरब | 10⁹ | Billion |
| एक खरब | 10¹¹ | Hundred Billion |
| एक नील | 10¹³ | Ten Trillion |
| मिलियन | 10⁶ | Million |
| ट्रिलियन | 10¹² | Trillion |
| गूगोल | 10¹⁰⁰ | Googol |
अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)
⭐ = सरल ⭐⭐ = मध्यम ⭐⭐⭐ = कठिन
🔘 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ)
2⁰ का मान क्या होगा?
(अ) 0 (ब) 1 (स) 2 (द) 20
3⁻² बराबर है:
(अ) –9 (ब) 9 (स) 1/9 (द) –1/9
4³ या 3⁴ में से बड़ा कौन है?
(अ) 4³ = 64 (ब) 3⁴ = 81 (स) दोनों समान (द) ज्ञात नहीं
✏️ रिक्त स्थान भरिए (Fill in the Blanks)
5⁴ = 5 × 5 × 5 × 5 = ______
n⁷ ÷ n⁴ = ______ (n ≠ 0)
(–1)⁵ = ______ और (–1)⁵⁶ = ______
📝 लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer)
3² × 3–⁵ × 3⁶ को सरल कीजिए।
648 को अभाज्य गुणनखंडों के चरघातांकी रूप में व्यक्त कीजिए।
59,853 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
यदि 12² = 144 है, तो (1.2)², (0.12)² और (120)² के मान ज्ञात कीजिए।
परीक्षा उपयोगी प्रश्न (Exam-Oriented Questions)
na × nb = na+b नियम का उपयोग करके 2224 ÷ 432 के इकाई अंक को ज्ञात कीजिए। [संकेत: 4 = 2²]
एक डेयरी एक वर्ष में दूध के 8.5 अरब पैकेट का उत्पादन करती है। प्रत्येक पैकेट पर 0–9 अंकों से विशिष्ट कोड लगाना है। कोड कितने अंकों का होना चाहिए?
निम्नलिखित को सरल कीजिए और घातांकीय रूप में लिखिए: (i) 10⁻² × 10⁻⁵ (ii) 9⁻⁷ ÷ 9⁴ (iii) (13⁻²)⁻³
64 एक वर्ग संख्या (8²) और घन संख्या (4³) दोनों है। क्या ऐसी और भी संख्याएँ हैं जो वर्ग और घन दोनों हों? ऐसी संख्याओं को ज्ञात करने की सामान्य विधि बताइए।
वर्ष 2024 में विश्व में भेड़ों की संख्या लगभग 10⁹ थी और बकरियों की भी लगभग इतनी ही। भेड़ और बकरियों की कुल संख्या वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
शब्द संग्रह (Glossary)
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