अध्याय 4 | Chapter 4
📐 चतुर्भुज
कक्षा 8 | NCERT गणित प्रकाश | हिंदी माध्यम
📜 परिचय
इस अध्याय में हम चार भुजाओं वाली बंद आकृतियों का अध्ययन करेंगे जिन्हें चतुर्भुज (Quadrilateral) कहते हैं। ‘चतुर्भुज’ शब्द दो शब्दों से बना है — चतुर् (चार) और भुज (भुजाएँ)। इस अध्याय में हम आयत, वर्ग, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, पतंग और समलंब चतुर्भुज जैसे विशेष प्रकार के चतुर्भुजों के गुणों, परिभाषाओं और उनके बीच के संबंधों को ज्यामितीय तर्क एवं सर्वांगसमता के माध्यम से समझेंगे। यह अध्याय परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण है।
🗂️ मुख्य अवधारणाएँ
- चतुर्भुज की परिभाषा और पहचान
- आयत (Rectangle) — परिभाषा, गुण, विकर्णों की विशेषता
- वर्ग (Square) — परिभाषा, गुण, आयत से संबंध
- चतुर्भुज के कोणों का योग — 360°
- समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) — परिभाषा, गुण
- समचतुर्भुज (Rhombus) — परिभाषा, गुण
- पतंग (Kite) — परिभाषा और विकर्णों की विशेषता
- समलंब चतुर्भुज (Trapezium) — परिभाषा और प्रकार
- विभिन्न चतुर्भुजों के बीच वेन आरेख संबंध
📝 विस्तृत नोट्स
4.1 आयत (Rectangle)
आयत — आयत वह चतुर्भुज है जिसमें (i) समस्त कोण समकोण (90°) होते हैं, और (ii) सम्मुख भुजाओं की लंबाई एक समान होती है।
वैकल्पिक परिभाषा: आयत वह चतुर्भुज है जिसके विकर्ण समान लंबाई के होते हैं और एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
- गुण 1 — आयत के प्रत्येक कोण का माप 90° होता है।
- गुण 2 — आयत की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
- गुण 3 — आयत की सम्मुख भुजाएँ एक-दूसरे के समांतर होती हैं।
- गुण 4 — आयत के विकर्णों की लंबाई सदैव समान होती है और वे एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
📌 महत्वपूर्ण तथ्य: SAS सर्वांगसमता से सिद्ध होता है कि △ADC ≅ △DAB, अतः AC = BD — यानी आयत के दोनों विकर्ण समान लंबाई के होते हैं।
वर्ग (Square) — एक विशेष आयत
वर्ग — वर्ग एक चतुर्भुज है जिसके प्रत्येक कोण का माप 90° होता है और सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।
- गुण 1 — वर्ग की सभी भुजाएँ परस्पर समान होती हैं।
- गुण 2 — वर्ग की सभी सम्मुख भुजाएँ परस्पर समांतर होती हैं।
- गुण 3 — वर्ग के प्रत्येक कोण का माप 90° होता है।
- गुण 4 — वर्ग के विकर्ण समान होते हैं और 90° पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
- गुण 5 — वर्ग के विकर्ण उसके शीर्षकोणों को 45°-45° में समद्विभाजित करते हैं।
🔑 याद रखें: प्रत्येक वर्ग एक आयत है, परंतु प्रत्येक आयत एक वर्ग नहीं है।
4.2 चतुर्भुज के कोण का योग
नियम: किसी भी चतुर्भुज के सभी कोणों का योगफल 360° होता है।
🧠 सिद्धि (Proof)
चतुर्भुज SOME में एक विकर्ण SM खींचने पर दो त्रिभुज बनते हैं — △SEM और △SOM।
चरण 1: △SEM में ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
चरण 2: △SOM में ∠4 + ∠5 + ∠6 = 180°
चरण 3: दोनों जोड़ने पर → (∠1+∠4) + (∠3+∠6) + ∠2 + ∠5 = 360°
निष्कर्ष: चतुर्भुज SOME के चारों कोणों का योग = 360°
⚠️ महत्वपूर्ण: किसी चतुर्भुज में तीन कोण 90° हों तो चौथा कोण भी 90° ही होगा (क्योंकि 90°×3 = 270°, और 360° – 270° = 90°)।
4.3 समांतर चतुर्भुज (Parallelogram)
समांतर चतुर्भुज — समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं।
- गुण 1 — समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
- गुण 2 — समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं।
- गुण 3 — समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण समान होते हैं और आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
- गुण 4 — समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
4.4 समचतुर्भुज (Rhombus)
समचतुर्भुज — एक चतुर्भुज जिसमें सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं, समचतुर्भुज कहलाता है।
- गुण 1 — समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ एक-दूसरे के समान होती हैं।
- गुण 2 — समचतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ एक-दूसरे के समांतर होती हैं।
- गुण 3 — समचतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° और सम्मुख कोण समान होते हैं।
- गुण 4 — समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
- गुण 5 — समचतुर्भुज के विकर्ण इसके कोणों को समद्विभाजित करते हैं।
- गुण 6 — समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को 90° के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
📌 ध्यान दें: प्रत्येक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, परंतु प्रत्येक समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज नहीं होता।
4.5 पतंग (Kite) और समलंब चतुर्भुज (Trapezium)
पतंग (Kite)
पतंग — पतंग एक चतुर्भुज है जिसे ABCD से नामांकित किया जाता है जिसमें AB = BC और CD = DA होता है (दो जोड़ी आसन्न समान भुजाएँ)।
- गुण 1(i) — विकर्ण BD, कोण ∠ABC और ∠ADC को समद्विभाजित करता है।
- गुण 1(ii) — विकर्ण BD, विकर्ण AC को समद्विभाजित करता है (AO = OC) और AC पर लंबवत भी है।
समलंब चतुर्भुज (Trapezium)
समलंब चतुर्भुज — एक ऐसा चतुर्भुज जिसमें कम से कम एक युग्म की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं।
- यदि PQ ∥ SR हो तो: ∠S + ∠P = 180° और ∠R + ∠Q = 180°
- समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज — जब असमांतर भुजाएँ समान लंबाई की हों। इसमें समान भुजाओं की एक ही ओर के सम्मुख कोण समान होते हैं।
🗺️ चतुर्भुजों के बीच संबंध — वेन आरेख
विभिन्न चतुर्भुजों के बीच संबंध को वेन आरेख से समझें:
समलंब चतुर्भुज
सबसे बड़ा समूह
≥1 जोड़ी समांतर भुजाएँ
≥1 जोड़ी समांतर भुजाएँ
समांतर चतुर्भुज
दोनों जोड़ी
सम्मुख भुजाएँ समांतर
सम्मुख भुजाएँ समांतर
आयत / समचतुर्भुज
विशेष समांतर चतुर्भुज
(अलग-अलग विशेषता)
(अलग-अलग विशेषता)
वर्ग
सबसे विशेष
आयत + समचतुर्भुज दोनों
आयत + समचतुर्भुज दोनों
पतंग
अलग समूह
2 जोड़ी आसन्न समान भुजाएँ
2 जोड़ी आसन्न समान भुजाएँ
📌 क्रम: वर्ग ⊂ आयत ⊂ समांतर चतुर्भुज ⊂ समलंब चतुर्भुज | वर्ग ⊂ समचतुर्भुज ⊂ समांतर चतुर्भुज
💡 हल किए गए उदाहरण
🔢 उदाहरण 1 — आयत के विकर्ण की लंबाई
प्रश्न: आयत ABCD में AC = 8 सेंटीमीटर। विकर्ण BD की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल: आयत में दोनों विकर्ण समान लंबाई के होते हैं।
△ADC ≅ △DAB (SAS सर्वांगसमता से)
∴ AC = BD → BD = 8 सेंटीमीटर ✅
🔢 उदाहरण 2 — चतुर्भुज के कोण
प्रश्न: किसी चतुर्भुज के तीन कोण 75°, 90°, 110° हैं। चौथा कोण ज्ञात कीजिए।
हल: चतुर्भुज के सभी कोणों का योग = 360°
75° + 90° + 110° + x = 360°
275° + x = 360°
x = 360° – 275° = 85° ✅
🔢 उदाहरण 3 — समांतर चतुर्भुज के कोण
प्रश्न: समांतर चतुर्भुज ABCD में ∠A = 70°। शेष कोण ज्ञात कीजिए।
हल: आसन्न कोणों का योग = 180°
∠B = 180° – 70° = 110°
सम्मुख कोण समान होते हैं:
∠C = ∠A = 70° और ∠D = ∠B = 110° ✅
🔢 उदाहरण 4 — समचतुर्भुज के कोण
प्रश्न: समचतुर्भुज ABCD में ∠A = 50°। शेष सभी कोण ज्ञात कीजिए।
हल: समचतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग = 180°
∠B = 180° – 50° = 130°
सम्मुख कोण समान: ∠C = 50°, ∠D = 130°
∠A = ∠C = 50°, ∠B = ∠D = 130° ✅
🔢 उदाहरण 5 — समलंब चतुर्भुज का कोण
प्रश्न: समलंब चतुर्भुज PQSR में PQ ∥ SR और ∠P = 65°, ∠Q = 75°। ∠S और ∠R ज्ञात कीजिए।
हल: ∠S + ∠P = 180° → ∠S = 180° – 65° = 115°
∠R + ∠Q = 180° → ∠R = 180° – 75° = 105° ✅
🔢 उदाहरण 6 — वर्ग का विकर्ण
प्रश्न: वर्ग के विकर्ण आपस में किस कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं?
हल: वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
△BOA ≅ △BOC (SSS सर्वांगसमता से)
∴ ∠BOA = ∠BOC और ∠BOA + ∠BOC = 180°
∴ प्रत्येक कोण = 90° — विकर्ण लंबवत हैं ✅
🔢 उदाहरण 7 — ABCD में x का मान
प्रश्न: एक चतुर्भुज ABCD में ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x, ∠D = 4x। सभी कोण ज्ञात कीजिए।
हल: x + 2x + 3x + 4x = 360°
10x = 360° → x = 36°
∠A = 36°, ∠B = 72°, ∠C = 108°, ∠D = 144° ✅
🔢 उदाहरण 8 — आयत के विकर्ण प्रतिच्छेद बिंदु
प्रश्न: आयत ABCD में विकर्ण AC और BD, O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AC = 10 cm, तो OB की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल: आयत में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
∴ OA = OC = 5 cm, OB = OD = AC/2 = 5 cm
(क्योंकि AC = BD = 10 cm)
∴ OB = 5 cm ✅
⭐ याद रखें — Key Points
🔸किसी भी चतुर्भुज के सभी कोणों का योग = 360°
🔸आयत: सभी कोण 90°; विकर्ण समान एवं परस्पर समद्विभाजक
🔸वर्ग: सभी भुजाएँ समान + सभी कोण 90°; विकर्ण 90° पर समद्विभाजक एवं कोण को 45°-45° में बाँटते हैं
🔸समांतर चतुर्भुज: सम्मुख भुजाएँ ∥ व समान; सम्मुख कोण समान; आसन्न कोणों का योग 180°
🔸समचतुर्भुज: सभी भुजाएँ समान; विकर्ण 90° पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
🔸पतंग: AB=BC, CD=DA; विकर्ण BD, विकर्ण AC को लंबवत समद्विभाजित करता है
🔸समलंब चतुर्भुज: ≥1 जोड़ी सम्मुख भुजाएँ ∥; ∠S + ∠P = 180°
🔸वर्ग ⊂ आयत ⊂ समांतर चतुर्भुज; वर्ग ⊂ समचतुर्भुज ⊂ समांतर चतुर्भुज
🔢 सूत्र सूची
| आकृति | कोणों का गुण | भुजाओं का गुण | विकर्णों का गुण |
|---|---|---|---|
| चतुर्भुज (कोई भी) | ∠A+∠B+∠C+∠D = 360° | — | — |
| आयत | सभी = 90° | AB=CD, BC=AD | AC=BD; OA=OC, OB=OD |
| वर्ग | सभी = 90° | सभी भुजाएँ समान | AC=BD; 90° पर; कोण 45°-45° में |
| समांतर चतुर्भुज | ∠A=∠C; ∠B=∠D; ∠A+∠B=180° | AB=CD; BC=AD | OA=OC; OB=OD (समद्विभाजक) |
| समचतुर्भुज | ∠A=∠C; ∠B=∠D; ∠A+∠B=180° | सभी भुजाएँ समान | 90° पर; कोण समद्विभाजित |
| पतंग | ∠B = ∠D | AB=BC; CD=DA | BD ⊥ AC; AO=OC |
| समलंब चतुर्भुज | ∠S+∠P=180°; ∠R+∠Q=180° | एक जोड़ी ∥ | — |
✏️ अभ्यास प्रश्न
📚 Practice Questions
1. एक समांतर चतुर्भुज ABCD में ∠A = 120° है। ∠B, ∠C और ∠D के मान ज्ञात कीजिए।
लघु उत्तर
लघु उत्तर
2. किसी चतुर्भुज के कोणों का अनुपात 1 : 2 : 3 : 4 है। सभी कोण ज्ञात कीजिए।
लघु उत्तर
लघु उत्तर
3. एक आयत की लंबाई 12 cm और चौड़ाई 5 cm है। उसके विकर्ण की लंबाई क्या होगी?
लघु उत्तर
लघु उत्तर
4. वर्ग के विकर्ण आपस में किस कोण पर मिलते हैं?
(a) 45° (b) 90° (c) 60° (d) 180°
MCQ
(a) 45° (b) 90° (c) 60° (d) 180°
MCQ
5. समचतुर्भुज _______ चतुर्भुज का विशेष प्रकार है।
रिक्त स्थान
रिक्त स्थान
6. यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण समान लंबाई के हों, तो वह किस प्रकार का चतुर्भुज होगा?
लघु उत्तर
लघु उत्तर
7. पतंग ABCD में AB = BC = 5 cm और CD = DA = 9 cm है। यदि ∠ABC = 70°, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए।
लघु उत्तर
लघु उत्तर
8. क्या एक समचतुर्भुज हमेशा एक समांतर चतुर्भुज होता है?
(a) हाँ (b) नहीं (c) कभी-कभी (d) इनमें से कोई नहीं
MCQ
(a) हाँ (b) नहीं (c) कभी-कभी (d) इनमें से कोई नहीं
MCQ
9. एक समलंब चतुर्भुज PQRS में PQ ∥ SR और ∠R = 115°। ∠Q ज्ञात कीजिए।
लघु उत्तर
लघु उत्तर
10. वर्ग के विकर्ण उसके कोणों को कितने-कितने डिग्री में बाँटते हैं? _______ और _______
रिक्त स्थान
रिक्त स्थान
🎯 परीक्षा उपयोगी प्रश्न
🏆 Exam-Oriented Questions
1. सिद्ध कीजिए कि आयत के विकर्ण समान लंबाई के होते हैं। (SAS सर्वांगसमता का प्रयोग करें)
⭐⭐ मध्यम
2. एक चतुर्भुज ABCD में ∠A = 2x+10, ∠B = 3x, ∠C = x+20, ∠D = 4x–10 है। x का मान और सभी कोण ज्ञात कीजिए।
⭐⭐ मध्यम
3. समझाइए कि एक समचतुर्भुज सदैव एक समांतर चतुर्भुज क्यों होता है, परंतु एक समांतर चतुर्भुज सदैव समचतुर्भुज क्यों नहीं होता।
⭐⭐⭐ कठिन
4. यदि एक चतुर्भुज की चारों भुजाएँ समान हों और एक कोण 90° हो, तो सिद्ध कीजिए कि यह एक वर्ग है।
⭐⭐⭐ कठिन
5. वेन आरेख की सहायता से वर्ग, आयत, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, पतंग और समलंब चतुर्भुज के बीच संबंध दर्शाइए।
⭐ सरल
📖 शब्द संग्रह (Glossary)
🔤 महत्वपूर्ण गणितीय शब्द
चतुर्भुज (Quadrilateral)
चार भुजाओं वाली बंद आकृति
आयत (Rectangle)
सभी कोण 90° वाला चतुर्भुज; सम्मुख भुजाएँ समान
वर्ग (Square)
सभी भुजाएँ समान + सभी कोण 90°
विकर्ण (Diagonal)
चतुर्भुज के दो विपरीत शीर्षों को मिलाने वाला रेखाखंड
समांतर (Parallel)
वे रेखाएँ जो कभी नहीं मिलतीं
समद्विभाजन (Bisect)
किसी रेखा को दो समान भागों में बाँटना
सर्वांगसम (Congruent)
आकार और आकृति में पूर्णतः समान
समचतुर्भुज (Rhombus)
सभी चारों भुजाएँ समान लंबाई की
पतंग (Kite)
दो जोड़ी आसन्न समान भुजाओं वाला चतुर्भुज
समलंब (Trapezium)
एक जोड़ी सम्मुख समांतर भुजाओं वाला चतुर्भुज
शीर्षाभिमुख कोण (Vertically Opposite Angles)
दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बने आमने-सामने के कोण
एकांतर कोण (Alternate Angles)
तिर्यक रेखा द्वारा बने भिन्न पक्षों के अंतः कोण
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