📘 अध्याय 7

समानुपातिक तर्कण-1

कक्षा 8 | NCERT गणित प्रकाश | हिंदी माध्यम

📐 अनुपात
🔢 समानुपात
⚖️ वज्र गुणन
📊 तीन का नियम

📖

परिचय

इस अध्याय में हम समानुपातिक तर्कण सीखेंगे — यानी यह समझेंगे कि दो राशियाँ किस प्रकार एक-दूसरे के अनुपात में बदलती हैं।

जब हम किसी चित्र का आकार बड़ा या छोटा करते हैं, रेसिपी की मात्रा बढ़ाते हैं, या यात्रा की दूरी और समय की तुलना करते हैं — तब हम अनुपात और समानुपात का उपयोग करते हैं।

इस अध्याय में हम सीखेंगे: अनुपात क्या है, समानुपात कैसे पहचानें, वज्र गुणन, तीन का नियम और राशि को दिए गए अनुपात में बाँटना।

यह विषय हमारे दैनिक जीवन में बहुत उपयोगी है — जैसे खाना बनाना, व्यापार में लाभ-हानि बाँटना और नक्शे पढ़ना।

🗝️

मुख्य अवधारणाएँ

परिवर्तन में समानता का अवलोकन (चित्रों द्वारा)
अनुपात (Ratio) — परिभाषा और पद
अनुपात का सरलतम रूप (म.स.प. से)
समानुपात (Proportion) — पहचान और चिह्न (::)
समानुपातिक तर्क से समस्या समाधान
वज्र गुणन (Cross Multiplication) — ad = bc
त्रैरासिका — तीन का नियम (आर्यभट्ट विधि)
राशि को दिए गए अनुपात में विभाजित करना
इकाई रूपांतरण (Unit Conversion)

📝

विस्तृत नोट्स

7.1 परिवर्तन में समानता का अवलोकन

जब हम किसी चित्र का आकार बदलते हैं, तो कभी-कभी चित्र एक जैसा दिखता है और कभी-कभी विकृत हो जाता है।

नीचे दिए गए उदाहरण में पाँच बाघ के चित्रों (क, ख, ग, घ, ङ) की चौड़ाई और ऊँचाई देखें:

चित्र	चौड़ाई (मि.मी.)	ऊँचाई (मि.मी.)	अनुपात
क	60	40	3 : 2
ख	40	20	2 : 1
ग	30	20	3 : 2
घ	90	60	3 : 2
ङ	60	60	1 : 1

💡 निष्कर्ष

चित्र क, ग और घ एक समान दिखते हैं क्योंकि उनकी चौड़ाई और ऊँचाई में समान गणक से परिवर्तन हुआ है। जब दोनों माप में समान गणक से परिवर्तन होता है, तो उन्हें समानुपातिक परिवर्तन कहते हैं।

चित्रों का तुलनात्मक अनुपात आरेख

7.2 अनुपात (Ratio)

गणित में समानुपातिक संबंधों को दर्शाने के लिए अनुपात की धारणा का उपयोग करते हैं।

📖 परिभाषा — अनुपात (Ratio)

यदि अनुपात a : b के रूप में हो, तो इसका अर्थ है — पहली मात्रा की प्रत्येक ‘a’ इकाई के लिए दूसरी मात्रा की ‘b’ इकाई होती है। ‘a’ और ‘b’ को अनुपात के पद कहते हैं।

⚙️ महत्वपूर्ण नियम

जब दो अनुपातों के पदों में समान गणक से परिवर्तन होता है, तो वे अनुपात समानुपातीय कहलाते हैं।

60 : 40 :: 30 : 20 :: 90 : 60

7.3 अनुपात का सरलतम रूप

अनुपात के पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) से भाग देकर सरलतम रूप प्राप्त किया जाता है।

📖 विधि

चरण 1: अनुपात के दोनों पद लिखें।
चरण 2: दोनों पदों का म.स.प. निकालें।
चरण 3: दोनों पदों को म.स.प. से भाग दें।

🔢 उदाहरण

अनुपात	म.स.प.	सरलतम रूप
60 : 40	20	3 : 2
90 : 60	30	3 : 2
40 : 20	20	2 : 1
60 : 60	60	1 : 1
72 : 96	24	3 : 4

✅ समानुपात की पहचान

जब दो अनुपात अपने सरलतम रूप में समान हों, तो वे समानुपात में हैं। इसे :: चिह्न से दर्शाते हैं।

उदाहरण: 60 : 40 :: 90 : 60 (क्योंकि दोनों का सरलतम रूप 3:2 है)

7.4 वज्र गुणन (Cross Multiplication)

जब a : b :: c : d हो, तो एक महत्वपूर्ण गुण होता है जिसे वज्र गुणन कहते हैं।

वज्र गुणन — a × d = b × c

⚙️ वज्र गुणन नियम

यदि a : b :: c : d है, तब —

ad = bc तथा d = bc/a

वज्र गुणन से हम चौथी अज्ञात राशि ज्ञात कर सकते हैं।

🏛️ ऐतिहासिक तथ्य — त्रैरासिका (तीन का नियम)

प्राचीन भारत में आर्यभट्ट (199 सामान्य संवत्) ने इसे “तीन का नियम” कहा था।
उनका सूत्र था:

इच्छाफल = (फल \times इच्छा) \div प्रमाण

अर्थात: प्रमाण : फल :: इच्छा : इच्छाफल

7.5 राशि को अनुपात में विभाजित करना

यदि हम किसी राशि x को m : n के अनुपात में बाँटना चाहते हैं:

📐 सूत्र

पहला भाग = m \times x/(m+n) दूसरा भाग = n \times x/(m+n)

विधि:
1. अनुपात के पदों का योग करें: m + n
2. राशि को (m+n) से भाग दें → प्रत्येक समूह का आकार
3. पहले भाग के लिए m गुणा करें, दूसरे के लिए n गुणा करें।

7.6 इकाई रूपांतरण (Unit Conversion)

समानुपात की समस्याओं में इकाइयाँ एक जैसी होनी चाहिए।

माप	रूपांतरण
लंबाई	1 मीटर = 3.281 फुट
क्षेत्रफल	1 वर्ग मीटर = 10.764 वर्गफुट
क्षेत्रफल	1 हेक्टेयर = 10,000 वर्गमीटर = 2.471 एकड़
आयतन	1 लीटर = 1000 मिलीलीटर
तापमान	फारेनहाइट = (9/5 × सेल्सियस) + 32

⚠️ सावधानी

दो अनुपातों की तुलना करते समय दोनों राशियों की इकाइयाँ समान होनी चाहिए। जैसे — ग्राम को किलोग्राम में बदलना, मिनट को घंटे में बदलना, आदि।

💡

हल किए गए उदाहरण

📝 उदाहरण 1 — अनुपात की जाँच

क्या अनुपात 3 : 4 और 72 : 96 समानुपातिक हैं?

चरण 1: 3 : 4 पहले से ही सरलतम रूप में है।

चरण 2: 72 और 96 का म.स.प. = 24। अतः 72 : 96 ÷ 24 = 3 : 4

निष्कर्ष: दोनों अनुपात सरलतम रूप में समान (3:4) हैं। ∴ ये समानुपातिक हैं ✅

📝 उदाहरण 2 — नींबू पानी (केसांग)

6 गिलास नींबू पानी में 10 चम्मच चीनी। 18 गिलास बनाने के लिए कितनी चीनी?

चरण 1: 6 : 10 :: 18 : ?

चरण 2: परिवर्तन गणक = 18 ÷ 6 = 3

चरण 3: दूसरा पद = 10 × 3 = 30 चम्मच

उत्तर: 18 गिलास के लिए 30 चम्मच चीनी चाहिए। ✅

📝 उदाहरण 3 — दीवार और सीमेंट

नितिन (60 फुट, 3 थैले) | हरी (40 फुट, 2 थैले) — क्या दीवारें समान मजबूत हैं?

नितिन: 60 : 3 → सरलतम = 20 : 1

हरी: 40 : 2 → सरलतम = 20 : 1

निष्कर्ष: दोनों अनुपात समानुपातिक हैं। दोनों दीवारें समान रूप से मजबूत हैं ✅

📝 उदाहरण 4 — लुप्त संख्याएँ (14:21 के समानुपाती)

___ : 42, 6 : ___, 2 : ___

___ : 42: 42 = 21 × 2 → गणक 2 → 14 × 2 = 28 ∴ 28 : 42

6 : ___: 14y = 6 → y = 3/7 → 21 × 3/7 = 9 ∴ 6 : 9

2 : ___: 14 ÷ 7 = 2, 21 ÷ 7 = 3 ∴ 2 : 3

📝 उदाहरण 5 — कार की दूरी (वज्र गुणन)

कार 150 मिनट में 90 किमी जाती है। 4 घंटे में कितनी दूरी?

चरण 1: 4 घंटे = 240 मिनट (समान इकाई)

चरण 2: 150 : 90 :: 240 : x

चरण 3 (वज्र गुणन): 150 × x = 240 × 90

चरण 4: x = (240 × 90) ÷ 150 = 144 किमी ✅

📝 उदाहरण 6 — लाभ का वितरण (प्रशांति और भुवन)

प्रशांति: ₹75,000 | भुवन: ₹25,000 निवेश। लाभ ₹4000 को अनुपात में बाँटें।

चरण 1: निवेश अनुपात = 75000 : 25000 = 3 : 1

चरण 2: कुल भाग = 3 + 1 = 4 | प्रत्येक भाग = 4000 ÷ 4 = ₹1000

प्रशांति: 3 × 1000 = ₹3000 | भुवन: 1 × 1000 = ₹1000 ✅

📝 उदाहरण 7 — रेत और सीमेंट मिश्रण

40 किग्रा मिश्रण में रेत : सीमेंट = 3:1। नया अनुपात 5:2 करने के लिए अतिरिक्त सीमेंट?

मूल: रेत = 3/4 × 40 = 30 किग्रा | सीमेंट = 10 किग्रा

नया अनुपात 5:2 → यदि रेत 30 किग्रा, तो सीमेंट = 2/5 × 30 = 12 किग्रा

अतिरिक्त सीमेंट: 12 − 10 = 2 किग्रा ✅

📝 उदाहरण 8 — मध्याह्न भोजन (रसोइया)

120 विद्यार्थियों के लिए 15 किग्रा चावल। 80 विद्यार्थी उपस्थित हों तो कितना चावल?

चरण 1: 120 : 15 :: 80 : ?

चरण 2: परिवर्तन गणक = 80/120 = 2/3

चरण 3: चावल = 15 × 2/3 = 10 किग्रा ✅

🧠 याद रखें — महत्वपूर्ण सूत्र और बिंदु

अनुपात: a : b — पहली राशि की प्रत्येक ‘a’ इकाई के लिए दूसरी ‘b’ इकाई।
सरलतम रूप: दोनों पदों को म.स.प. से भाग दें।
समानुपात: a : b :: c : d — जब ad = bc
वज्र गुणन: d = bc/a (चौथी राशि निकालने के लिए)
राशि विभाजन: x को m:n में → mx/(m+n) और nx/(m+n)
इकाई समान रखें — तुलना करते समय दोनों राशियों की इकाई एक जैसी होनी चाहिए।
जोड़ने/घटाने से अनुपात बदल जाता है — केवल गुणन/भाग से अनुपात समान रहता है।

📐

सूत्र सूची

विषय	सूत्र / नियम
अनुपात	a : b (पदों को म.स.प. से भाग दें)
समानुपात पहचान	a : b :: c : d → ad = bc
चौथी राशि	d = (b × c) / a
राशि विभाजन (m:n में x)	पहला = mx/(m+n), दूसरा = nx/(m+n)
तापमान (°C से °F)	F = 9/5 × C + 32
तापमान (°F से °C)	C = 5/9 × (F − 32)
त्रैरासिका	इच्छाफल = (फल × इच्छा) ÷ प्रमाण

✏️

अभ्यास प्रश्न

4 : 7 और 12 : 21 — क्या ये समानुपातिक हैं?

MCQ

अनुपात 18 : 24 के समानुपाती लुप्त संख्याएँ लिखिए: 3 : ___, 12 : ___, 20 : ___, 27 : ___

रिक्त स्थान

₹4,500 को 2 : 3 के अनुपात में दो भागों में विभाजित कीजिए।

लघु उत्तर

एक विज्ञान प्रयोगशाला में अम्ल और जल 1 : 5 में मिलाए जाते हैं। 240 मिली विलयन में प्रत्येक की मात्रा ज्ञात करें।

लघु उत्तर

4 : 9 के समानुपाती 3 अनुपात लिखिए।

लघु उत्तर

अनुपात 21 : 6 और 35 : 10 — क्या समानुपातिक हैं? वज्र गुणन से जाँचें।

लघु उत्तर

पृथ्वी 1 वर्ष में सूर्य के चारों ओर 940 मिलियन किमी दूरी तय करती है। एक सप्ताह में कितनी दूरी?

लघु उत्तर

हरा रंग बनाने के लिए नीले और पीले रंग का 3 : 5 का मिश्रण बनाया गया। 40 मिली हरे रंग के लिए दोनों की मात्रा निकालें।

लघु उत्तर

एक नल 1 मग (500 मिली) पानी 15 सेकंड में भरता है। 10 लीटर बाल्टी भरने में कितना समय?

लघु उत्तर

₹10 के सिक्के में ताँबा और निकल 3:1 में है। सिक्के का द्रव्यमान 7.74 ग्राम है। ताँबे का मूल्य ₹906/किग्रा, निकल ₹1341/किग्रा। सिक्के में धातुओं का मूल्य क्या होगा?

उच्च स्तर

🎯

परीक्षा उपयोगी प्रश्न

यदि a : b :: c : d हो, तो सिद्ध करें कि ad = bc।

⭐ Easy | परिभाषा आधारित

एक कार 4 घंटे में 240 किमी दूरी तय करती है। उसी गति से 7 घंटे में कितनी दूरी?

⭐⭐ Medium | वज्र गुणन

₹12,600 को 3 व्यक्तियों में 2 : 3 : 4 के अनुपात में बाँटिए।

⭐⭐ Medium | राशि विभाजन

सोने और पानी के समान आयतन का द्रव्यमान 37:2 है। यदि 1 लीटर पानी = 1 किग्रा हो, तो 1 लीटर सोने का द्रव्यमान?

⭐⭐⭐ Hard | इकाई रूपांतरण

हिमाचल में 200 ग्राम चाय ₹200 में। मेघालय में 1 किग्रा चाय ₹800 में। कौन सी महंगी है और क्यों?

⭐⭐ Medium | तुलनात्मक अनुपात

📚

शब्द संग्रह

अनुपात (Ratio)

दो राशियों की तुलना a : b के रूप में। उदा: 3 : 2

पद (Terms)

अनुपात a : b में ‘a’ और ‘b’ को पद कहते हैं।

म.स.प. (HCF)

महत्तम समापवर्तक — दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड।

समानुपात (Proportion)

जब दो अनुपात सरलतम रूप में बराबर हों। a:b :: c:d

वज्र गुणन (Cross Multiplication)

a:b :: c:d में a×d = b×c। चौथी राशि निकालने की विधि।

त्रैरासिका (Rule of Three)

तीन ज्ञात राशियों से चौथी अज्ञात राशि ज्ञात करने का नियम।

गणक (Factor/Multiplier)

वह संख्या जिससे गुणा या भाग करने पर अनुपात बनता है।

सरलतम रूप (Simplest Form)

वह अनुपात जहाँ पदों का म.स.प. = 1 हो।

समानुपातिक (Proportional)

जो राशियाँ समान अनुपात में बदलती हों।

इकाई रूपांतरण (Unit Conversion)

एक माप-इकाई को दूसरी में बदलना। जैसे मीटर → फुट

परिचय

मुख्य अवधारणाएँ

विस्तृत नोट्स

7.1 परिवर्तन में समानता का अवलोकन

7.2 अनुपात (Ratio)

7.3 अनुपात का सरलतम रूप

🔢 उदाहरण

7.4 वज्र गुणन (Cross Multiplication)

7.5 राशि को अनुपात में विभाजित करना

7.6 इकाई रूपांतरण (Unit Conversion)

हल किए गए उदाहरण

सूत्र सूची

अभ्यास प्रश्न

परीक्षा उपयोगी प्रश्न

शब्द संग्रह

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