Imp Questions For All Chapters – गणित प्रकाश Class 6th
गणित में पैटर्न
1. गणित क्या है?
उत्तर: गणित मुख्यतः पैटर्नों (patterns) की खोज और उनके पीछे छिपे कारणों की व्याख्या है। यह एक कला और विज्ञान दोनों माना जाता है।
2. गणित हमारे जीवन में कैसे उपयोगी है? कोई दो उदाहरण दीजिए।
उत्तर: ग्रहों और उपग्रहों की गति के पैटर्न समझकर मनुष्य ने रॉकेट और उपग्रह बनाए।
जिनोम (genome) में पैटर्नों को समझकर कई बीमारियों की पहचान और इलाज संभव हुआ।
3. विषम संख्याओं को जोड़ने से कौन-सा पैटर्न बनता है?
उत्तर: विषम संख्याओं को जोड़ने से वर्ग संख्याएँ (square numbers) बनती हैं।
उदाहरण:
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
यह क्रम अनंत तक चलता है।
4: त्रिभुज संख्याएँ (Triangular numbers) क्या होती हैं? एक उदाहरण दीजिए।
उत्तर: वे संख्याएँ जिनसे बिंदुओं को त्रिभुज के रूप में सजाया जा सकता है, त्रिभुज संख्याएँ कहलाती हैं।
उदाहरण: 1, 3, 6, 10, 15,…
5: वर्ग संख्याएँ और त्रिभुज संख्याओं के बीच क्या संबंध है?
उत्तर: कुछ संख्याएँ जैसे 36 दोनों ही हैं — वर्ग संख्याएँ भी और त्रिभुज संख्याएँ भी। यह दर्शाता है कि एक ही संख्या को अलग-अलग ढंग से चित्रित किया जा सकता है।
6: 1 + 2 + 3 + … + 100 + 99 + … + 2 + 1 का योगफल क्या होगा?
उत्तर: यह एक प्रकार का वर्ग संख्याओं का पैटर्न है।
इसमें कुल 199 संख्याएँ हैं और इनका योगफल होगा:
\(100^2\) = 10,000
7. पंक्तियों में त्रिभुज सजाकर यदि बिंदु लगाए जाएँ तो कौन-सा क्रम बनता है?
उत्तर: ऐसा करने से त्रिभुज संख्याओं का क्रम बनता है — जैसे: 1, 3, 6, 10, 15, …
8. कोच हिमकण (Koch snowflake) में क्या पैटर्न होता है?
उत्तर: हर रेखा खंड को ‘स्पीड बम्प’ से बदल दिया जाता है, जिससे रेखाएँ छोटी-छोटी होती जाती हैं। इसके कुल रेखा खंडों की संख्या होती है:
3, 12, 48, … (यह क्रम 3 × 4 की घातों का है)।
9. संख्याओं को ऊपर और नीचे जोड़ने पर कौन-सा पैटर्न बनता है?
उत्तर: जब हम संख्याओं को ऊपर और नीचे जोड़ते हैं, जैसे:
1,
1 + 2 + 1 = 4,
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9,
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16,
तो यह भी वर्ग संख्याएँ (square numbers) देता है।
10. नियमित बहुभुज (Regular Polygon) का क्रम कौन-सी संख्या श्रेणी को दर्शाता है?
उत्तर: नियमित बहुभुजों में भुजाओं की संख्या 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,… होती है, जो गणना संख्याओं (counting numbers) का क्रम है।
11. चित्रों के माध्यम से संख्यात्मक पैटर्न को समझने का क्या लाभ है?
उत्तर: चित्रों से संख्याओं के बीच संबंध को समझना आसान होता है और यह हमें यह दिखाने में मदद करता है कि कोई पैटर्न क्यों और कैसे काम करता है।
12. सम संख्याओं का अनुक्रम क्या है? इसका अगला पद क्या होगा?
उत्तर: सम संख्याओं का अनुक्रम है: 2, 4, 6, 8, 10, …
इसका अगला पद होगा: 12
13. यदि त्रिभुज संख्याओं को 6 से गुणा करके 1 जोड़ें तो कौन-सा नया पैटर्न बनता है?
उत्तर: इससे एक नया अनुक्रम बनता है:
1 × 6 + 1 = 7
3 × 6 + 1 = 19
6 × 6 + 1 = 37
10 × 6 + 1 = 61
यह एक विशेष पैटर्न का निर्माण करता है, जिसकी व्याख्या चित्र द्वारा की जा सकती है।
14. 1, 7, 19, 37 यह कौन-सी संख्या श्रेणी है? इसका अगला पद क्या होगा?
उत्तर: यह षट्भुज संख्याएँ (Hexagonal Numbers) हैं।
इसका अगला पद होगा:
37 + 61 = 61
15. सभी 1 की संख्याओं को जोड़ने पर कौन-सा पैटर्न बनता है?
उत्तर: जब हम 1, 1, 1, 1, … को क्रमशः जोड़ते हैं, तो हमें गणना संख्याएँ (Counting Numbers) मिलती हैं:
1,
1 + 1 = 2,
1 + 1 + 1 = 3,
1 + 1 + 1 + 1 = 4,
…अर्थात्,
1 + 1 + 1 + … (n बार) = n
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