Question Answer अभाज्य समय Chapter 5 Class 6 गणित प्रकाश CBSE

Question Answer For All Chapters – गणित प्रकाश Class 6th

अभाज्य समय

आइए, पता लगाएँ (Page 108)

1. किस संख्या पर दसवीं बार ‘इडली-वड़ा’ कहा जाएगा?

उत्तर: संख्या 15 × 10 = 150 पर इडली – वड़ा’ दसवीं बार कहा जाएगा।

यदि खेल 1 से 90 तक की संख्याओ के लिए खेला जा रहा हो तो ज्ञात कीजिए-
(a) बच्चा कितनी बार ‘इडली’ कहेगा (इसमें ‘इडली- वड़ा’ कही जाने वाली बारी भी सम्मिलित होगी)?
(b) बच्चा कितनी बार ‘वड़ा’ कहेगा (इसमें ‘इडली- वड़ा’ कही जाने वाली बारी भी सम्मिलित होगी)?
(c) बच्चा कितनी बार ‘इडली वड़ा’ कहेगा?

उत्तर: (a) \(\frac{90}{3}\) = 30 बार, (b) \(\frac{90}{5}\) = 18 बार, (c) \(\frac{90}{15}\) = 6 बार

3. क्या होगा यदि खेल 900 तक खेला जाएगा? इसके आधार पर आपके उत्तर में क्या परिवर्तन होंगे?

उत्तर: 1 से 900 के बीच 3 के 300 गुणज हैं और 5 के 180 गुणज हैं।
1 से 900 के बीच 15 के 60 गुणज हैं।

4. क्या यह आकृति ‘इडली-बड़ा’ खेल से किसी रूप में संबंधित हैं?
[संकेत: कल्पना कीजिए कि आप यह खेल 30 तक खेलते हैं। अगर आप 60 तक खेल खेलते हैं, तो ऐसी ही आकृति बनाइए।]

उत्तर: यह आकृति ‘इडली-वडा’ खेल से संबंधित है।

Page 108, 109

1. आइए, अब ‘इडली-वड़ा’ खेल कुछ अलग संख्या युग्मों के साथ खेलें-
(a) 2 और 5
(b) 3 और 7
(c) 4 और 6
हम ‘इडली’ छोटी संख्या के गुणज के लिए, ‘बड़ा’ बड़ी संख्या के गुणज के लिए और ‘इडली – वड़ा’ सार्व गुणज के लिए कहेंगे। यदि खेल संख्या 60 तक खेला जा रहा हो, तो आकृति 5.1 के समान आकृति बनाइए।

उत्तर: a. 2 और 5

b. 3 और 7

c. 4 और 6

2. निम्नलिखित संख्या में से कौन-सी अन्य संख्या हो सकती है: 2, 3, 5, 8, 10?

उत्तर: 8 एक अन्य संख्या हो सकती है।

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1. कौन-सा छलाँग का आकार 15 और 30 दोनों तक पहुँच सकता है? यहाँ बहुत सारे छलाँग के आकार संभव हैं। उन सभी को ढूँढ़ने का प्रयास कीजिए।

उत्तर: कोई भी छलाँग का आकार जो 15 और 30 दोनों का गुणज हो — यानी जो संख्या 15 और 30 दोनों को विभाजित कर सके — वही छलाँग का आकार दोनों तक पहुँच सकता है।
अर्थात्, हमें 15 और 30 के सामान्य गुणनखंड (common factors) खोजने हैं।

15 के गुणनखंड: 1, 3, 5, 15
30 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

सामान्य गुणनखंड: 1, 3, 5, 15

2. नीचे दी गई तालिका का अवलोकन कीजिए। इस तालिका से आपने क्या समझा?

तालिका में-
1. क्या छायांकित बॉक्स संख्याओं के मध्य कुछ समानता है?
2. क्या वृत्त में अंकित संख्याओं के बीच कुछ समानता है?
3. ऐसी कौन सी संख्याएँ हैं, जो छायांकित बॉक्स और वृत्त, दोनों में हैं। इन संख्याओं को क्या कहते हैं?

उत्तर: 1. हाँ, छायांकित संख्याएँ ऐसी हैं जो 3 से पूरी तरह विभाजित होती हैं, यानी ये सभी 3 के गुणज हैं।
2. हाँ, वृत्त में लिखी गई संख्याएँ 4 से विभाज्य हैं, अर्थात वे 4 के गुणज हैं।
3. जिन संख्याओं पर छायांकन भी है और जो वृत्त में भी हैं, वे हैं: 36, 48 और 60।
ये संख्याएँ 3 और 4 दोनों की समान गुणज (common multiples) हैं, यानी ये 12 के गुणज भी हैं।

आइए, पता लगाएँ (Page 110, 111)

1. 310 और 410 के बीच आने वाले 40 के सभी गुणज ज्ञात कीजिए।

उत्तर: सबसे पहला 40 का गुणज जो 310 से बड़ा है:
320 (क्योंकि 40 × 8 = 320)
फिर क्रम से:
40 × 9 = 360
40 × 10 = 400

अब 40 × 11 = 440 → यह 410 से बड़ा है, इसलिए नहीं लेंगे।

320, 360, 400 – ये 310 और 410 के बीच आने वाले 40 के सभी गुणज हैं।

2. मैं कौन हूँ?
(a) मैं 40 से कम एक संख्या हूँ, मेरा एक गुणनखंड 7 है। मेरे अंकों का जोड़ 8 है।
(b) मैं 100 से छोटी एक संख्या हूँ। मेरे दो गुणनखंड 3 और 5 हैं। मेरा एक अंक, दूसरे से 1 अधिक है।

उत्तर: (a) 40 से कम और एक गुणनखंड 7 वाली संख्याएँ 7, 14, 21, 28 और 35 हैं। इन संख्याओं में, 35 के अंकों का योग 3 + 5 = 8 है।
(b) गुणनखंड 3 और 5 वाली (अर्थात् 15 की गुणज) तथा 100 से छोटी संख्याएँ 15, 30, 45, 60, 75 और 90 हैं।
45 में, अंक 5 अंक 4 से 1 अधिक है।

3. एक संख्या जिसके सभी गुणनखंडों का योग उस संख्या से दुगुना हो, संपूर्ण संख्या (Perfect Number) कहलाती है। संख्या 28 एक संपूर्ण संख्या है। इसके गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14 और 28 हैं, इनका योग 56 है जो कि 28 का दुगुना है। 2 से 10 तक के बीच एक संपूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 6 के सभी गुणनखंड 1, 2, 3 और 6 हैं। इनका योग 1 + 2 + 3 + 6 = 12 होता है, जो कि 6 का दुगुना है। इसलिए, 1 से 10 के बीच की वांछित संपूर्ण संख्या 6 है।

4. उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए-
(a) 20 और 28
(b) 35 और 50
(c) 4, 8, और 12
(d) 5, 1,5 और 25

उत्तर: (a) 20 और 28
गुणनखंड:
20 → 1, 2, 4, 5, 10, 20
28 → 1, 2, 4, 7, 14, 28
सामान्य (उभयनिष्ठ) गुणनखंड: 1, 2, 4

(b) 35 और 50
गुणनखंड:
35 → 1, 5, 7, 35
50 → 1, 2, 5, 10, 25, 50
सामान्य गुणनखंड: 1, 5

(d) 5, 15 और 25
गुणनखंड:
5 → 1, 5
15 → 1, 3, 5, 15
25 → 1, 5, 25
सामान्य गुणनखंड: 1, 5

5. तीन ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जो 25 की गुणज हैं लेकिन 50 की नहीं।

उत्तर: 25 के गुणज:- 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, …
अब इनमें से 50 के गुणज हटा दें:- 50, 100, 150, …
बची हुई संख्याएँ जो केवल 25 के गुणज हैं:
25, 75, 125

6. अंशु और उसके मित्र दो संख्याएँ लेकर ‘इडली – वड़ा’ खेल खेल रहे हैं। दोनों संख्याएँ 10 से छोटी हैं। पहली बार यदि कोई ‘इडली-वड़ा’ कहता है, तो वह संख्या 50 के पश्चात् आती है। वे दोनों संख्याएँ क्या होंगी, जिन्हें ‘इडली’ और ‘बड़ा’ कहा गया है।

उत्तर: ‘इडली-वड़ा’ पहली बार तब बोला जाता है जब दोनों संख्याओं का LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) आता है।
हमें ऐसा युग्म चाहिए जिसका LCM > 50 हो।
7 और 8 का LCM = 56
56, 50 के बाद पहली ‘इडली-वड़ा’ संख्या है।

7. खजाने की खोज खेल में ग्रम्पी ने खजाने को 28 और 70 पर रखा है। दोनों संख्याओं पर पहुँचने के लिए छलाँग का आकार क्या होना चाहिए?

उत्तर: छलाँग का आकार = 28 और 70 के सामान्य गुणनखंड (Common Factors)

28 के गुणनखंड: 1, 2, 4, 7, 14, 28
70 के गुणनखंड: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
सामान्य गुणनखंड: 1, 2, 7, 14

8. पाठ्यपुस्तक में दिए गए चित्र से गुणा ने उभयनिष्ठ गुणज को छोड़कर सभी संख्याओं को मिटा दिया है। पता लगाइए कि वे संख्याएँ कौन-सी हो सकती हैं? और उन लुप्त संख्याओं को खाली स्थान में लिखिए।

उत्तर:

24, 48 और 72 जैसे सामान्य गुणजों के साथ, इस प्रश्न का उत्तर 12 के गुणज और 8 के गुणज के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
इस स्थिति में, पहले वृत्त में आने वाली संख्याएँ होंगी: 12, 36, 60, 84।

9. एक सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 7 को छोड़कर 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज हो।

उत्तर: 1 से 10 तक की सभी संख्याओं (केवल 7 को छोड़कर) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए हमें इन संख्याओं -1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 और 10 – का LCM निकालना होता है।

इन सभी संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 360 होता है।

10. एक सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज हो।

उत्तर: इसका अर्थ है: 1 से 10 तक की सभी संख्याएँ —
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 — इन सभी से पूरी तरह विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या चाहिए।
इसे हम लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) कहते हैं।

इन संख्याओं का LCM = 2520

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1. 21 से 30 के बीच कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं? 21 से 30 के बीच कितनी भाज्य संख्याएँ हैं?

उत्तर: अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers):
(जिनके केवल दो ही भाजक होते हैं: 1 और वह स्वयं)

23, 29

भाज्य (संयोज्य) संख्याएँ (Composite Numbers):
(जिनके 2 से अधिक भाजक होते हैं)

21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30 – कुल भाज्य संख्याएँ: 8

आइए, पता लगाएँ (Page 114, 115)

1. हम देखते हैं कि 2 एक अभाज्य संख्या है और यह सम संख्या भी है। क्या कोई अन्य सम अभाज्य संख्या है?

उत्तर: नहीं कोई अन्य अभाज्य सम संख्या नहीं है।

2. 100 तक की अभाज्य संख्याओं की सूची देखिए। दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं में न्यूनतम एवं अधिकतम अंतर क्या है?

उत्तर: 100 तक की अभाज्य संख्याएँ हैं:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

क्रमागत अभाज्य संख्याओं के अंतर (Differences):

3 – 2 = 1 (यह न्यूनतम अंतर है)
97 – 89 = 8 (यह अधिकतम अंतर है)

3. क्या प्रत्येक पंक्ति में एक समान संख्या में अभाज्य संख्याएँ थीं? किन दहाइयों (दशकों) में न्यूनतम अभाज्य संख्याएँ हैं? यह भी बताइए कि पिछले पृष्ठ पर दी गई सारणी में किनमें अधिकतम अभाज्य संख्याएँ हैं?

उत्तर: नहीं, दसवें (अंतिम) दशक में अभाज्य संख्याओं की संख्या सबसे कम है (केवल 97)।
पहले और दूसरे दशकों में अभाज्य संख्याओं की संख्या सबसे अधिक है — प्रत्येक में 4 अभाज्य संख्याएँ हैं।

4. इनमें से कौन-सी संख्याएँ अभाज्य हैं 23, 51, 37, 26?

उत्तर: 23 और 37 अभाज्य संख्याएँ हैं।

5. अभाज्य संख्याओं के तीन युग्म लिखिए, जो 20 से कम हों और उनका योग 5 का गुणज हो।

उत्तर: 20 से कम अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

संभावित युग्म जिनका योग 5 का गुणज है:
2 + 3 = 5 ✅
7 + 13 = 20 ✅
11 + 4 = 15 ❌ (4 अभाज्य नहीं)
5 + 10 = 15 ❌ (10 अभाज्य नहीं)
3 + 7 = 10 ✅

6. संख्या 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं में अंक 1 और 3 समान हैं। 100 तक की संख्याओं में से ऐसे अन्य सभी अभाज्य संख्याओं के युग्म ज्ञात कीजिए।

उत्तर: संभावित युग्म जिनमें अंक समान हैं और दोनों संख्याएँ अभाज्य हैं:
17, 71
37, 73
79, 97

7. 1 से 100 के बीच 7 क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए।

उत्तर: 1 और 100 के बीच 90, 91, 92, 93, 94, 95 और 96 सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ हैं।

8. अभाज्य संख्याओं के युग्म जिनका अंतर 2 हो (जुड़वाँ) अभाज्य युग्म (Twin Primes) कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, 3 और 5 (जुड़वाँ) अभाज्य युग्म हैं, इसी प्रकार 17 और 19 हैं। 1 से 100 के बीच अन्य (जुड़वाँ) अभाज्य युग्म ज्ञात कीजिए?

उत्तर: 1 से 100 के बीच निम्नलिखित 8 जुड़वाँ अभाज्य युग्म हैं:
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73)

9. प्रत्येक कथन को सही या गलत के रूप में पहचानिए एवं स्पष्ट कीजिए-
(a) ऐसी कोई अभाज्य संख्या नहीं है जिसका इकाई का अंक 4 हो ।
(b) अभाज्य संख्याओं का गुणनफल भी अभाज्य हो सकता है।
(c) अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखंड नहीं होते हैं।
(d) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ होती है।
(e) संख्याएँ 2 तथा 3 अभाज्य हैं। अन्य प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए अगली संख्या भाज्य है।

उत्तर:

(a) ऐसी कोई अभाज्य संख्या नहीं है जिसका इकाई का अंक 4 हो।
सही
कारण:
किसी भी संख्या का इकाई अंक 4 हो तो वह सम संख्या होगी और 2 से विभाजित हो सकेगी।
कोई भी सम संख्या (2 को छोड़कर) अभाज्य नहीं हो सकती।
इसलिए, कोई अभाज्य संख्या 4 पर समाप्त नहीं होती।

(b) अभाज्य संख्याओं का गुणनफल भी अभाज्य हो सकता है।
गलत
कारण:
दो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल कभी भी अभाज्य नहीं हो सकता क्योंकि वह संख्या 2 से अधिक गुणनखंडों वाली होगी।
उदाहरण: 2 × 3 = 6 → यह भाज्य संख्या है।

(c) अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखंड नहीं होते हैं।
गलत
कारण:
प्रत्येक अभाज्य संख्या के दो गुणनखंड होते हैं — 1 और वह स्वयं।
उदाहरण: 7 के गुणनखंड = 1, 7

(d) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ होती हैं।
गलत
कारण:
2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
बाकी सभी सम संख्याएँ (4, 6, 8…) भाज्य होती हैं।
इसलिए, यह कथन आंशिक रूप से सही, पर पूरी तरह से गलत माना जाएगा।

(e) संख्याएँ 2 तथा 3 अभाज्य हैं। अन्य प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए अगली संख्या भाज्य है।
सही
कारण:
2 और 3 के बाद सभी अभाज्य संख्याओं के ठीक बाद वाली संख्याएँ सम या संयोज्य (composite) होती हैं।
उदाहरण:

5 → अगली = 6 → भाज्य
7 → 8 → भाज्य
11 → 12 → भाज्य

10. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या को तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त कर सकते हैं 45, 60, 91, 105, 330?

उत्तर: आइए एक-एक करके सभी संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड (prime factorisation) करते हैं:
45 = 3 × 3 × 5 → ❌ (2 अभाज्य संख्या, 3 दो बार)
60 = 2 × 2 × 3 × 5 → ❌ (तीन अभाज्य संख्या तो हैं, पर 2 दो बार आया)
91 = 7 × 13 → ❌ (सिर्फ दो अभाज्य संख्याएँ)
105 = 3 × 5 × 7 → ✅ (तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ)
330 = 2 × 3 × 5 × 11 → ❌ (चार अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ)

105 को ही तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं (3 × 5 × 7) के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।

11. अंक 2, 4 और 5 का एक बार प्रयोग करके आप तीन अंकों की कितनी अभाज्य संख्याएँ बना सकते हैं?

उत्तर: ऐसी कोई भी संख्या बनाना संभव नहीं है, क्योंकि बनाई गई प्रत्येक तीन अंकों की संख्या का इकाई अंक या तो 2, 4 या 5 होगा।
यदि इकाई अंक 2 या 4 है, तो संख्या 2 से विभाज्य होगी।
यदि इकाई अंक 5 है, तो संख्या 5 से विभाज्य होगी।
इस प्रकार, हर संख्या का कोई न कोई भाज्य गुणनखंड होगा, इसलिए वे अभाज्य नहीं हो सकतीं।

12. ध्यान दीजिए कि 3 एक अभाज्य संख्या है और 2 × 3 + 1 = 7 भी एक अभाज्य संख्या है। क्या और भी ऐसी अभाज्य संख्याएँ हैं, जिन्हें 2 से गुणन करके एक जोड़ने पर अन्य अभाज्य संख्या प्राप्त होती है? ऐसे कम से कम पाँच उदाहरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: वे पाँच अभाज्य संख्याएँ जिनके लिए संख्या को दुगुना करके 1 जोड़ने पर फिर से एक अभाज्य संख्या प्राप्त होती है, वे हैं:

2 → 2×2 + 1 = 5
3 → 2×3 + 1 = 7
5 → 2×5 + 1 = 11
11 → 2×11 + 1 = 23
23 → 2×23 + 1 = 47

Page – 116

1. निम्नलिखित में से कौन-सा संख्या युग्म सह अभाज्य है?
(a) 18 और 35
(b) 15 और 37
(c) 30 और 415
(d) 17 और 69
(e) 81 और 18

उत्तर: (a) 18 और 35
18 = 2 × 3 × 3
35 = 5 × 7
कोई सामान्य गुणनखंड नहीं → सह-अभाज्य ✅

(b) 15 और 37
15 = 3 × 5
37 = अभाज्य
कोई सामान्य गुणनखंड नहीं → सह-अभाज्य ✅

(c) 30 और 415
30 = 2 × 3 × 5
415 = 5 × 83
सामान्य गुणनखंड = 5 → सह-अभाज्य नहीं ❌

(d) 17 और 69
17 = अभाज्य
69 = 3 × 23
कोई सामान्य गुणनखंड नहीं → सह-अभाज्य ✅

(e) 81 और 18
81 = 3⁴
18 = 2 × 3²
सामान्य गुणनखंड = 3 → सह-अभाज्य नहीं ❌

2. भिन्न संख्या युग्म लेकर ‘इडली-बड़ा’ खेल खेलते हुए, अंशु ने एक रोचक बात देखी।
1. कभी-कभी, प्रथम सार्व गुणज, दोनों संख्याओं के गुणनफल के समान था।
2. अन्य स्थितियों में प्रथम सार्व गुणज, दोनों संख्याओं के गुणनफल से छोटा था।
उपरोक्त प्रत्येक कथन के लिए उदाहरण खोजिए। यह संख्या युग्म के सह-अभाज्य होने से किस प्रकार संबंधित है?

उत्तर: अगर दो संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं, तो उनका पहला सार्व गुणज (LCM) उनके गुणनफल के बराबर होता है।
उदाहरण: 2 और 5, 3 और 7, 5 और 9 आदि।

अगर दो संख्याएँ सह-अभाज्य नहीं होतीं, तो उनका LCM उनके गुणनफल से कम होता है।
उदाहरण: 4 और 6, 10 और 15, 7 और 14 आदि।

आइए, पता लगाएँ (Page 120)

1. निम्नलिखित संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए-
64, 104, 105, 243, 320, 141, 1728, 729, 1024, 1331, 1000

उत्तर: अभाज्य गुणनखंडन:
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶
104 = 2 × 2 × 2 × 13 = 2³ × 13
105 = 3 × 5 × 7 = 3 × 5 × 7
243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁵
320 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 = 2⁶ × 5
141 = 3 × 47 = 3 × 47
1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2⁶ × 3³
729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁶
1024 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2¹⁰
1331 = 11 × 11 × 11 = 11³
1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 2³ × 5³

2. किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में एक बार 2, दो बार 3 और एक बार 11 हो, तो वह संख्या क्या होगी?

उत्तर: संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इन अभाज्य गुणनखंडों को आपस में गुणा करते हैं:
2 × 3 × 3 × 11 = 198
अतः, वह संख्या 198 है।

3. 30 से छोटी ऐसी तीन अभाज्य संख्याएँ बताइए, जिनका गुणनफल 1955 हो?

उत्तर: 1955 = 5 × 17 × 23 है।
इस प्रकार, ये संख्याएँ 5, 17 और 23 हैं।

4. बिना गुणा किए निम्न संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए:
(a) 56 × 25
(b) 108 × 75
(c) 1000 × 81

उत्तर: (a) 56 × 25
56 = 2 × 2 × 2 × 7 = 2³ × 7
25 = 5 × 5 = 5²
अभाज्य गुणनखंडन:
2 × 2 × 2 × 7 × 5 × 5 = 2³ × 5² × 7

(b) 108 × 75
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 2² × 3³
75 = 3 × 5 × 5 = 3 × 5²
अभाज्य गुणनखंडन:
2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 2² × 3⁴ × 5²

(c) 1000 × 81
1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 2³ × 5³
81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴
अभाज्य गुणनखंडन:
2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 3 ×3 × 3 × 3 = 2³ × 3⁴ × 5³

5. वह छोटी-से-छोटी संख्या क्या होगी जिसके अभाज्य गुणनखण्डन में:
(a) तीन अलग अभाज्य संख्याएँ हों।
(b) चार अलग अभाज्य संख्याएँ हों।

उत्तर: (a) यह संख्या 2 × 3 × 5 = 30 है।
(b) यह संख्या 2 × 3 × 5 × 7 = 210 है।

आइए, पता लगाएँ (Page 122)

1. क्या निम्नलिखित संख्या युग्म सह अभाज्य संख्याएँ हैं? पहले अनुमान लगाइए फिर अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करके अपने उत्तर की जाँच कीजिए।
(a) 30 और 45
(b) 57 और 85
(c) 121 और 1331
(d) 343 और 216

उत्तर: (a) 30 = 2 × 3 × 5 और 45 = 3 × 3 × 5
इन दोनों में 3 और 5 समान अभाज्य गुणनखंड हैं।
इसलिए ये संख्याएँ सह-अभाज्य नहीं हैं।

(b) 57 = 3 × 19 और 85 = 5 × 17
इन दोनों में कोई भी समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है।
इसलिए ये संख्याएँ सह-अभाज्य हैं।

(c) 121 = 11 × 11 और 1331 = 11 × 11 × 11
इन दोनों में 11 सामान्य अभाज्य गुणनखंड है।
इसलिए ये संख्याएँ सह-अभाज्य नहीं हैं।

(d) 343 = 7 × 7 × 7 और 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
इन दोनों में कोई भी सामान्य अभाज्य गुणनखंड नहीं है।
इसलिए ये संख्याएँ सह-अभाज्य हैं।

2. क्या पहली संख्या दूसरी संख्या से विभाजित होती है? अभाज्य गुणनखंडन का प्रयोग कीजिए।
(a) 225 और 27
(c) 343 और 17
(b) 96 और 24
(d) 999 और 99

उत्तर: (a) 225 = 3 × 3 × 5 × 5
27 = 3 × 3 × 3
27 में 3 तीन बार है, लेकिन 225 में केवल दो बार।
इसलिए 225, 27 से विभाज्य नहीं है।

(b) 96 = 2⁵ × 3
24 = 2³ × 3
24 के सभी अभाज्य गुणनखंड 96 में मौजूद हैं।
इसलिए 96, 24 से पूरी तरह विभाजित होता है।

(d) 999 = 3³ × 37
99 = 3² × 11
99 में 11 एक अभाज्य गुणनखंड है, लेकिन 999 में 11 नहीं आता।
इसलिए 999, 99 से विभाज्य नहीं है।

3. पहली संख्या का अभाज्य गुणनखंडन 2 × 3 × 7 है और दूसरी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन 3 × 7× 11 है। क्या ये दोनों सह अभाज्य संख्याएँ हैं? क्या इनमें से एक संख्या दूसरी संख्या को विभाजित करती है?

उत्तर: इन दोनों संख्याओं में 3 और 7 दो समान अभाज्य गुणनखंड हैं, इसलिए ये संख्याएँ सह-अभाज्य नहीं हैं।
चूंकि एक संख्या के सभी अभाज्य गुणनखंड दूसरी संख्या में नहीं हैं, इसलिए कोई भी संख्या दूसरी को पूरी तरह विभाजित नहीं करती है।

4. गुणा कहता है, “कोई भी दो अभाज्य संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं।” क्या वह सही है?

उत्तर: हाँ, गुणा का कथन सही है।
कारण:
दो अभाज्य संख्याएँ (prime numbers) का कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता, सिवाय 1 के। इसलिए, वे हमेशा सह-अभाज्य (co-prime) होती हैं।

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1. 330 और 340 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 4 से विभाज्य हों। साथ ही, 1730 और 1740 तथा 2030 और 2040 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 4 से विभाज्य हों। आप क्या देखते हैं?

उत्तर: (1) 330 से 340 के बीच 4 से विभाज्य संख्याएँ: 332 (4 × 83), 336 (4 × 84)
332, 336

(2) 1730 से 1740 के बीच 4 से विभाज्य संख्याएँ: 1732 (4 × 433), 1736 (4 × 434), 1740 (4 × 435)
1732, 1736

(3) 2030 से 2040 के बीच 4 से विभाज्य संख्याएँ: 2032 (4 × 508), 2036 (4 × 509), 2040 (4 × 510)
2032, 2036

हम देखते हैं कि इन संख्याओं में अंतिम दो अंकों से बनी संख्याएँ. अर्थात् 32 और 36 संख्या 4 से विभाज्य हैं।

2. क्या 8536 संख्या 4 से विभाज्य है?

उत्तर: कोई भी संख्या 4 से तभी विभाज्य होती है,
जब उसके अंतिम दो अंक (एकक और दहाई) से बनी दो-अंकीय संख्या 4 से विभाज्य हो।

8536 के अंतिम दो अंक = 36
अब देखें:
36 ÷ 4 = 9 → पूरा विभाजित होता है।

3. कथन पर विचार कीजिए-
1. किसी संख्या की 4 से विभाज्यता का निर्धारण करते समय उस संख्या के केवल अंतिम दो अंक महत्व रखते हैं।
2. यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाजित हो जाती है तो वह मूल संख्या भी 4 से विभाजित होती है।
3. यदि कोई संख्या 4 से विभाजित होती है तो उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या भी 4 से विभाजित होती है।
क्या आप इससे सहमत हैं? क्यों या क्यों नहीं?

उत्तर: कथन 1:
सही है, क्योंकि 100, 1000, 10000 आदि सभी 4 से पूर्णतः विभाज्य होते हैं।
इसलिए कोई भी बड़ी संख्या यदि अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या भी 4 से विभाज्य होगी।

कथन 2:
सही है।
उदाहरण:
8536 → अंतिम दो अंक = 36 → 36 ÷ 4 = 9
⇒ पूरी संख्या 8536 भी 4 से विभाज्य है।

कथन 3:
यह भी सही है, क्योंकि यदि कोई संख्या 4 से विभाज्य है, तो उसके अंतिम दो अंक ही उस पर निर्णय करते हैं।
यदि पूरी संख्या 4 से विभाज्य है, तो इसका मतलब अंतिम दो अंक से बनी संख्या भी 4 से विभाज्य है।

निष्कर्ष:
मैं इन तीनों कथनों से सहमत हूँ, क्योंकि ये सभी 4 से विभाज्यता के नियमों पर आधारित हैं और सही तार्किक रूप से सिद्ध होते हैं।

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1. 120 और 140 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 8 से विभाज्य हों। साथ ही 1120 और 1140 तथा 3120 और 3140 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 8 से विभाज्य हों। आप क्या देखते हैं?

उत्तर: 120 और 140 के बीच 8 से विभाज्य संख्याएँ 128 और 136 हैं।
1120 और 1140 के बीच 8 से विभाज्य संख्याएँ 1128 और 1136 हैं।
3120 और 3140 के बीच 8 से विभाज्य संख्याएँ 3128 और 3136 हैं।
हम देखते हैं कि ये सभी संख्याएँ 8 से पूरी तरह विभाज्य हैं।

2. 8560 के अंतिम दो अंक इस प्रकार बदलिए ताकि परिणामी संख्या 8 का गुणज हो।

उत्तर: 8560 पहले से ही 8 से पूरी तरह विभाज्य है, इसलिए इसके अंकों को बदलने की कोई आवश्यकता नहीं है।
यदि हम इसके अंतिम दो अंक बदलकर 8506 बना दें, तो वह 8 से विभाज्य नहीं होगी।
लेकिन यदि हम अंतिम दो अंकों को बदलकर 04, 12, 20, 36, 44, 52, 76, 84, या 92 कर दें,
तो बनी हुई नई संख्या (जैसे 8504, 8512, 8520 आदि) अब भी 8 से विभाज्य होगी,
क्योंकि इन संख्याओं के अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होते हैं।

आइए पता लगाएँ (Page 125-126)

1. 2024 एक अधि वर्ष है (अर्थात फरवरी में 29 दिन होते हैं)। अधि वर्ष हर उस वर्ष में होता है जो 4 के गुणज होते हैं, सिवाय उन वर्षों के जो 100 से तो विभाजित हैं लेकिन 400 से नहीं।
(a) आपके जन्म के वर्ष से लेकर अब तक कौन-से वर्ष अधि वर्ष थे?
(b) वर्ष 2024 से 2099 तक कितने अधि वर्ष होंगे?

उत्तर: (a) जन्म का वर्ष 2011 मानते हुए, अधिवर्ष इस प्रकार हैं:
2012, 2016, 2020 और 2024

(b) वर्ष 2024 से 2099 तक अधिवर्ष होंगे:
2024, 2028, 2032, 2036, 2040, 2044, 2048, 2052, 2056, 2060, 2064, 2068, 2072, 2076, 2080, 2084, 2088, 2092 और 2096
अधिवर्षों की कुल संख्या = 19 है।

2. सबसे बड़ी और सबसे छोटी 4 अंकों की संख्याओं का पता लगाइए, जो 4 से विभाज्य हों और पैलिंड्रोम भी हों?

उत्तर: 4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या जो 4 से विभाज्य है और पैलिंड्रोम भी है: 8888
4 अंकों की सबसे छोटी संख्या जो 4 से विभाज्य है और पैलिंड्रोम भी है: 2112

3. खोजिए और ज्ञात कीजिए कि क्या प्रत्येक कथन सदैव सत्य है, कभी-कभी सत्य है या कभी भी सत्य नहीं हैं। आप अपने तर्क के समर्थन में उदाहरण दे सकते हैं।
(a) दो सम संख्याओं का योगफल, 4 का गुणज होता है।
(b) दो विषम संख्याओं का योगफल 4 का गुणज होता है।

उत्तर: दो सम संख्याओं का योग हमेशा 4 से विभाज्य नहीं होता।
उदाहरण के लिए:
6 + 4 = 10, जो 4 से विभाज्य नहीं है,
जबकि 2 + 2 = 4, जो 4 का गुणज है।

(b)कभी-कभी सत्य।
दो विषम संख्याओं का योग वास्तव में सम संख्या हो सकता है, लेकिन वह आवश्यक नहीं कि 4 का गुणज ही हो।
उदाहरण के लिए:
1 + 5 = 6, जो 4 का गुणज नहीं है,
जबकि 1 + 3 = 4, जो 4 का गुणज है।
इसी तरह 7 + 5 = 12, जो 4 का गुणज है।

4. निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को (a) 10, (b) 5, (c) 2 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए।
78, 99, 173, 572, 980, 1111, 2345

उत्तर: संख्या: 78
(a) 78 ÷ 10 → भाग = 7, शेषफल = 8, (b) 78 ÷ 5 → भाग = 15, शेषफल = 3, (c) 78 ÷ 2 → भाग = 39, शेषफल = 0
संख्या: 99
(a) 99 ÷ 10 → शेषफल = 9, (b) 99 ÷ 5 → शेषफल = 4, (c) 99 ÷ 2 → शेषफल = 1
संख्या: 173
(a) 173 ÷ 10 → शेषफल = 3, (b) 173 ÷ 5 → शेषफल = 3, (c) 173 ÷ 2 → शेषफल = 1
संख्या: 572
(a) 572 ÷ 10 → शेषफल = 2, (b) 572 ÷ 5 → शेषफल = 2, (c) 572 ÷ 2 → शेषफल = 0
संख्या: 980
(a) 980 ÷ 10 → शेषफल = 0, (b) 980 ÷ 5 → शेषफल = 0, (c) 980 ÷ 2 → शेषफल = 0
संख्या: 1111
(a) 1111 ÷ 10 → शेषफल = 1, (b) 1111 ÷ 5 → शेषफल = 1, (c) 1111 ÷ 2 → शेषफल = 1
संख्या: 2345
(a) 2345 ÷ 10 → शेषफल = 5, (b) 2345 ÷ 5 → शेषफल = 0, (c) 2345 ÷ 2 → शेषफल = 1

5. शिक्षक ने पूछा कि क्या 14560, संख्याओं 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से विभाज्य है। गुणा ने इनमें से केवल दो संख्याओं से 14560 की विभाज्यता की जाँच की और कहा कि 14560 उन सभी संख्याओं से भी विभाज्य है। वे दो संख्याएँ क्या हो सकती हैं?

उत्तर: यदि कोई संख्या 8 से विभाज्य है, तो वह अपने आप 4 से भी विभाज्य होती है।
इसी प्रकार, यदि कोई संख्या 10 से विभाज्य है, तो वह 2 और 5 से भी विभाज्य होती है।

इसलिए, यदि किसी संख्या की 8 और 10 से विभाज्यता की जाँच कर ली जाए, तो यह तय हो जाता है कि वह संख्या
2, 4, 5, 8 और 10 — इन सभी संख्याओं से भी विभाज्य है।
अतः, गुणा द्वारा जांची गई वे दो संख्याएँ हो सकती हैं: 8 और 10।

6. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से विभाज्य हैं:
572, 2352, 5600, 6000, 77622160?

उत्तर: 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से विभाज्य संख्याएँ हैं: 5600, 6000, 77622160.

7. दो संख्याएँ लिखिए जिनका गुणनफल 10000 हो। दोनों संख्याओं का इकाई का अंक शून्य नहीं होना चाहिए।

उत्तर: हमें 10000 के गुणनखंड लिखने हैं।

10000 = 10 × 10 × 10 × 10
= 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5 × 2 × 5 = (2 × 2 × 2 × 2) × (5 × 5 × 5 × 5)
= 16 × 625
इसलिए, 16 और 625 दो ऐसी संख्याएँ हैं जिनका गुणनफल 10000 होता है।