अध्याय 1 : स्वयं को प्रवृत्त करना — निर्देशांकों का उपयोग

कक्षा 9 | गणित मंजरी | महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

📘 भाग 1 — लघु उत्तरीय प्रश्न (15 प्रश्न)

प्र.1. कार्तीय तल किसे कहते हैं?

तल जिसमें दोनों अक्ष (x-अक्ष और y-अक्ष) स्थित हैं, उसे कार्तीय तल, निर्देशांक तल अथवा xy-तल कहते हैं।

प्र.2. x-अक्ष और y-अक्ष किसे कहते हैं?

जिस रेखा को हम क्षैतिज मानते हैं, उसे x-अक्ष कहते हैं। दूसरी रेखा जो ऊर्ध्व होती है, उसे y-अक्ष कहते हैं।

प्र.3. मूलबिंदु किसे कहते हैं और इसके निर्देशांक क्या हैं?

जिस बिंदु पर x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं, वह बिंदु मूलबिंदु O कहलाता है; इसके निर्देशांक (0, 0) होते हैं।

प्र.4. चतुर्थांश किसे कहते हैं? तल को कितने चतुर्थांशों में बाँटा जाता है?

अक्ष, तल को चार भागों में विभाजित करते हैं, जिन्हें चतुर्थांश कहा जाता है।

प्र.5. प्रथम चतुर्थांश में स्थित बिंदुओं के निर्देशांकों के चिह्न क्या होते हैं?

प्रथम चतुर्थांश में स्थित बिंदुओं के x और y दोनों निर्देशांक धनात्मक (+, +) होते हैं।

प्र.6. द्वितीय चतुर्थांश में स्थित बिंदुओं के निर्देशांकों के चिह्न क्या होते हैं?

द्वितीय चतुर्थांश में स्थित बिंदुओं के x-निर्देशांक ऋणात्मक और y-निर्देशांक धनात्मक (–, +) होते हैं।

प्र.7. तृतीय चतुर्थांश में स्थित बिंदुओं के निर्देशांकों के चिह्न क्या होते हैं?

तृतीय चतुर्थांश में स्थित बिंदुओं के x और y दोनों निर्देशांक ऋणात्मक (–, –) होते हैं।

प्र.8. चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित बिंदुओं के निर्देशांकों के चिह्न क्या होते हैं?

चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित बिंदुओं के x-निर्देशांक धनात्मक और y-निर्देशांक ऋणात्मक (+, –) होते हैं।

प्र.9. x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक किस रूप में होते हैं?

x-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (x, 0) के रूप में होते हैं।

प्र.10. y-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक किस रूप में होते हैं?

y-अक्ष पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक (0, y) के रूप में होते हैं।

प्र.11. द्वि-विमीय तल में दो बिंदुओं के मध्य दूरी ज्ञात करने के लिए किस प्रमेय का उपयोग किया जाता है?

बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जाता है, यदि बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड किसी अक्ष के समानांतर न हो।

प्र.12. बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के मध्य की दूरी का सूत्र लिखिए।

बिंदुओं के मध्य की दूरी = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) होती है।

प्र.13. बिंदु B(4.5, 0) कहाँ स्थित है?

बिंदु B, x-अक्ष पर स्थित है और मूलबिंदु O के दाईं ओर 4.5 इकाई की दूरी पर है।

प्र.14. यदि x = y हो तो (x, y) और (y, x) में क्या संबंध होगा?

यदि x = y हो तो (x, y) = (y, x) होगा। यदि x ≠ y हो तो (x, y) ≠ (y, x) होगा।

प्र.15. ब्रह्मगुप्त ने निर्देशांक पद्धति में क्या योगदान दिया?

ब्रह्मगुप्त ने शून्य और ऋणात्मक संख्याओं की संकल्पना तथा उनके उपयोग को बीजगणितीय इकाइयों के रूप में प्रस्तुत किया, जिससे मूलबिंदु और ऋणात्मक अक्ष की अवधारणा संभव हुई।

📗 भाग 2 — दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (10 प्रश्न)

प्र.1. बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके बिंदु A(3, 4) और D(7, 1) के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।

दिया है → A(3, 4) और D(7, 1)

सूत्र → बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय

चरण 1 → CD (x-अक्ष के अनुदिश दूरी) = D का x-निर्देशांक − A का x-निर्देशांक = 7 − 3 = 4

चरण 2 → AC (y-अक्ष के अनुदिश दूरी) = A का y-निर्देशांक − D का y-निर्देशांक = 4 − 1 = 3

चरण 3 → AD = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25

∴ AD = 5 इकाई

प्र.2. त्रिभुज ADM में A(3, 4), D(7, 1) और M(9, 6) दिए हैं। DM और MA की दूरियाँ ज्ञात कीजिए।

दिया है → D(7, 1), M(9, 6), A(3, 4)

सूत्र → दूरी = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

चरण 1 → DM = √((9−7)² + (6−1)²) = √(2² + 5²) = √29 इकाई

चरण 2 → MA = √((9−3)² + (6−4)²) = √(6² + 2²) = √40 इकाई

∴ DM = √29 इकाई और MA = √40 इकाई

प्र.3. द्वि-विमीय कार्तीय निर्देशांक पद्धति को समझाइए।

दिया है → द्वि-विमीय (2-D) समष्टि में बिंदुओं को चिह्नित करने की आवश्यकता

चरण 1 → इसमें दो लंबवत रेखाओं का उपयोग किया जाता है — एक क्षैतिज रेखा जिसे x-अक्ष कहते हैं और एक ऊर्ध्व रेखा जिसे y-अक्ष कहते हैं

चरण 2 → जिस बिंदु पर दोनों अक्ष प्रतिच्छेद करते हैं, वह मूलबिंदु O(0, 0) कहलाता है

चरण 3 → O के दाहिनी ओर तथा ऊपर की ओर दूरियाँ धनात्मक मानी जाती हैं, और O के बाईं ओर तथा नीचे की ओर दूरियाँ ऋणात्मक मानी जाती हैं

∴ इस पद्धति से द्वि-विमीय तल में किसी भी बिंदु की स्थिति (x, y) के रूप में सरलता से ज्ञात की जा सकती है

प्र.4. चतुर्थांशों के नियम को उदाहरण सहित समझाइए — बिंदु S(3, −5) और Q(−5, 3) किस चतुर्थांश में स्थित हैं?

दिया है → S(3, −5) और Q(−5, 3)

नियम → प्रथम चतुर्थांश (+, +), द्वितीय चतुर्थांश (−, +), तृतीय चतुर्थांश (−, −), चतुर्थ चतुर्थांश (+, −)

चरण 1 → बिंदु S(3, −5) में x-निर्देशांक धनात्मक (3) और y-निर्देशांक ऋणात्मक (−5) है

चरण 2 → अतः S चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है

चरण 3 → बिंदु Q(−5, 3) में x-निर्देशांक ऋणात्मक (−5) और y-निर्देशांक धनात्मक (3) है, अतः Q द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है

∴ S चतुर्थ चतुर्थांश में और Q द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है

प्र.5. निर्देशांक ज्यामिति के विकास में सिंधु-सरस्वती सभ्यता के योगदान का वर्णन कीजिए।

दिया है → निर्देशांक (जाल आधारित चिंतन) की अवधारणा का ऐतिहासिक विकास

चरण 1 → जाल का प्रथम सुव्यवस्थित उपयोग हजारों वर्ष पूर्व सिंधु-सरस्वती सभ्यता में हुआ था

चरण 2 → उस समय नगर की गलियाँ समान रूप से लगभग 10 मीटर की दूरी पर उत्तर-दक्षिण और पूर्व-पश्चिम दिशा में अद्भुत सटीकता के साथ निर्मित थीं

चरण 3 → यह एक व्यावहारिक निर्देशांक पद्धति थी, जिससे व्यापारी नगर के केंद्र से दूरी की इकाइयों की गणना करके किसी दुकान या गोदाम की स्थिति पता लगा सकता था

∴ इस प्रकार निर्देशांक ज्यामिति की आधारशिला भारत में सिंधु-सरस्वती सभ्यता के समय ही रखी गई

प्र.6. ब्रह्मगुप्त और आर्यभट्ट के योगदान का वर्णन कीजिए।

दिया है → निर्देशांक ज्यामिति के इतिहास में योगदान

चरण 1 → आर्यभट्ट (लगभग 499 सामान्य संवत) ने ग्रीक ‘कॉर्ड्स’ के स्थान पर ज्या (sines) का उपयोग किया, जिससे किसी नगर या तारे के निर्देशांकों की गणना अपेक्षाकृत सरल हो गई

चरण 2 → आर्यभट्ट ने खगोलीय निर्देशांकों का उपयोग करके आकाश के मानचित्र की रूपरेखा खींची, जिसमें निर्देशांकीय दूरियाँ क्रांतिवृत्त (सूर्यपथ) से मापीं

चरण 3 → ब्रह्मगुप्त (लगभग 628 सामान्य संवत) ने शून्य और ऋणात्मक संख्याओं की संकल्पना तथा उनके उपयोग को बीजगणितीय इकाइयों के रूप में प्रस्तुत किया

∴ ब्रह्मगुप्त के इन योगदानों के बिना चार-चतुर्थांशी कार्तीय तल का अध्ययन असंभव होता

प्र.7. रेने देकार्त के योगदान के बारे में लिखिए।

दिया है → निर्देशांक ज्यामिति के यूरोप में विकास की कहानी

चरण 1 → ये संकल्पनाएँ बारहवीं शताब्दी में यूरोप पहुँचीं

चरण 2 → फर्मेट (1636 सामान्य संवत) के कार्यों का अनुसरण करते हुए रेने देकार्त (1637 सामान्य संवत) ने व्यापक प्रगति की

चरण 3 → देकार्त ने यह तथ्य विधिवत रूप से प्रस्तुत किया कि द्वि-विमीय तल में किसी बिंदु को दो संख्याओं के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, जो दो लंबवत अक्षों से बिंदु की दूरियों को प्रदर्शित करती हैं

∴ इस प्रकार ज्यामिति और बीजगणित के क्षेत्र को और भी अधिक निकट लाया गया

प्र.8. त्रिभुज ADM का y-अक्ष में परावर्तन होने पर D’M’ और M’A’ की दूरियाँ ज्ञात कीजिए, जहाँ D(7,1), M(9,6), A(3,4) के प्रतिबिंब क्रमशः D'(−7,1), M'(−9,6), A'(−3,4) हैं।

दिया है → D'(−7, 1), M'(−9, 6), A'(−3, 4)

चरण 1 → C’D’ = A’ का x-निर्देशांक − D’ का x-निर्देशांक = −3 − (−7) = 4

चरण 2 → A’C’ = A’ का y-निर्देशांक − D’ का y-निर्देशांक = 4 − 1 = 3

चरण 3 → बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से AD = √(4² + 3²) = 5 इकाई

चरण 4 → D’M’ = √((−2)² + 5²) = √29 इकाई, तथा M’A’ = √((−6)² + 2²) = √40 इकाई

∴ परावर्तन के बाद भी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ संरक्षित रहती हैं (D’M’ = √29 इकाई, M’A’ = √40 इकाई)

प्र.9. अल-बिरुनी और उमर खय्याम के योगदान के बारे में लिखिए।

दिया है → अरब जगत में निर्देशांक ज्यामिति का विकास

चरण 1 → अल-बिरुनी (लगभग 1000 सामान्य संवत) ने भारत की यात्रा की, सिद्धांतों का अध्ययन किया और भारतीय त्रिकोणमितीय विधियों का उपयोग कर विभिन्न नगरों की निर्देशांकीय स्थितियों की गणना की

चरण 2 → अल-बिरुनी ने ‘तारा स्थिति दर्शक’ (ऐस्ट्रोलेब) नामक हस्त संचालित उपकरण के विकास में भी योगदान दिया, जिससे नाविक तारों के माध्यम से अपनी स्थिति पता लगाते थे

चरण 3 → उमर खय्याम (लगभग 1100 सामान्य संवत) भारतीय दशमलव प्रणाली और बीजगणितीय पद्धति के विशेषज्ञ थे और उन्होंने बीजगणितीय समस्याओं के समाधान के लिए ज्यामिति का उपयोग किया

∴ उमर खय्याम ने समस्याओं की व्याख्या समतल पर निर्देशांकों के पदों में की, जो निर्देशांक ज्यामिति के विकास में महत्वपूर्ण कदम था

प्र.10. सामान्य रूप से बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के मध्य की दूरी का सूत्र चित्र 1.8 के आधार पर स्थापित कीजिए।

दिया है → बिंदु A(x₁, y₁) और D(x₂, y₂)

सूत्र → बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय

चरण 1 → x-अक्ष के अनुदिश तय की गई दूरी = x₂ − x₁

चरण 2 → y-अक्ष के अनुदिश तय की गई दूरी = y₂ − y₁

चरण 3 → (x₂ − x₁) और (y₂ − y₁) धनात्मक हैं या ऋणात्मक, इससे कोई अंतर नहीं पड़ता क्योंकि हम दोनों अक्षों के अनुदिश होने वाले परिवर्तनों को माप रहे हैं

∴ व्यापक रूप से बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के मध्य की दूरी = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) होती है

अध्याय 1 : स्वयं को प्रवृत्त करना — निर्देशांकों का उपयोग

📘 भाग 1 — लघु उत्तरीय प्रश्न (15 प्रश्न)

📗 भाग 2 — दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (10 प्रश्न)

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