अध्याय 2 : रैखिक बहुपदों का परिचय

कक्षा 9 | गणित मंजरी | महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर

📘 भाग 1 — लघु उत्तरीय प्रश्न (15 प्रश्न)

प्र.1. बीजीय व्यंजक में पद, चर, गुणांक और अचर किसे कहते हैं? उदाहरण दीजिए।

बीजीय व्यंजक 4x + 5y + 3 में 4x, 5y और 3 व्यंजक के पद हैं, x और y चर (अक्षर-संख्याएँ) हैं, 4 व 5 क्रमशः x और y के गुणांक हैं तथा 3 एक अचर है।

प्र.2. बहुपद में चर की घात किसे कहते हैं?

किसी बहुपद में चर का अधिकतम घातांक, उसकी घात कहलाती है।

प्र.3. रैखिक बहुपद किसे कहते हैं?

घात 1 वाले बहुपद रैखिक बहुपद कहलाते हैं; जैसे — 3z + 7।

प्र.4. त्रिघाती बहुपद किसे कहते हैं?

घात 3 के बहुपद त्रिघाती बहुपद कहलाते हैं; जैसे — 5y³ + y² + 2y − 1।

प्र.5. द्विघाती बहुपद किसे कहते हैं?

घात 2 के बहुपद द्विघाती बहुपद कहलाते हैं; जैसे — x² + 5x + 1।

प्र.6. अचर बहुपद किसे कहते हैं?

अचर बहुपद घात 0 का बहुपद होता है; जैसे — अचर 8 को 8x⁰ के रूप में लिखा जा सकता है जिसमें चर की घात 0 है।

प्र.7. एकचरीय (एक चर) व्यंजक किसे कहते हैं?

ऐसे बीजीय व्यंजक जिनमें केवल एक चर (x, y या z) होता है, एकचरीय व्यंजक कहलाते हैं; जैसे — 4x, x² + 1, 2y − 5।

प्र.8. रैखिक समीकरण कब प्राप्त होता है?

जब हम एक चर में किसी रैखिक बहुपद को एक अचर के समीकृत करते हैं तो रैखिक समीकरण प्राप्त होता है।

प्र.9. फलन (फंक्शन) किसे कहते हैं?

आगत-निर्गत (इनपुट-आउटपुट) विधि में जहाँ व्यंजक 2x + 3, चर x का एक फलन है, उसे फलन कहा जा सकता है।

प्र.10. रैखिक प्रतिरूप किसे कहते हैं?

रैखिक प्रतिरूप संख्याओं का एक अनुक्रम है जहाँ दो क्रमागत पदों के मध्य अंतर अचर है।

प्र.11. रैखिक वृद्धि किसे कहते हैं?

रैखिक वृद्धि उस रैखिक प्रतिरूप को दर्शाती है जिसमें कोई राशि समान अंतरालों के साथ अचर मान से बढ़ती है।

प्र.12. रैखिक ह्रास किसे कहते हैं?

रैखिक ह्रास उस रैखिक प्रतिरूप को दर्शाता है जिसमें कोई राशि समान अंतरालों के साथ अचर मान से घटती है।

प्र.13. रैखिक संबंध y = ax + b में a और b रेखा के किन गुणों को दर्शाते हैं?

समीकरण y = ax + b में a रेखा की ढलान को प्रदर्शित करता है और b रेखा के y-अंतःखंड को प्रदर्शित करता है।

प्र.14. y-अंतःखंड किसे कहते हैं?

रेखा y = ax + b, y-अक्ष को बिंदु (0, b) पर प्रतिच्छेद करती है। लंबाई b को रेखा का y-अंतःखंड कहा जाता है।

प्र.15. समान ढलान परंतु भिन्न y-अंतःखंड वाली रेखाओं में क्या संबंध होता है?

वे रेखाएँ जिनके ढलान समान हों किंतु y-अंतःखंड भिन्न हों, वे परस्पर समानांतर होती हैं।

📗 भाग 2 — दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (10 प्रश्न)

प्र.1. दो संख्याओं का योगफल 64 है। उनमें से एक संख्या दूसरी संख्या से 10 अधिक है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

दिया है → योगफल = 64, एक संख्या दूसरी से 10 अधिक

चरण 1 → मान लीजिए छोटी संख्या x है, तब बड़ी संख्या x + 10 होगी

चरण 2 → रैखिक समीकरण: x + (x + 10) = 64, अर्थात 2x + 10 = 64

चरण 3 → 2x + 10 = 64 को हल करने पर 2x = 54, अर्थात x = 27

∴ दोनों संख्याएँ 27 और 37 हैं

प्र.2. l मीटर लंबाई और w मीटर चौड़ाई वाले आयताकार उद्यान की बाड़ और बीज बोने की कुल लागत का बीजीय व्यंजक ज्ञात कीजिए।

दिया है → लंबाई के अनुदिश तार की बाड़ ₹100/मीटर, चौड़ाई के अनुदिश लकड़ी की बाड़ ₹80/मीटर, बीज ₹50/वर्ग मीटर

चरण 1 → लंबाई के अनुदिश तार की बाड़ की लागत = 2l × 100 = ₹200l

चरण 2 → चौड़ाई के अनुदिश लकड़ी की बाड़ की लागत = 2w × 80 = ₹160w

चरण 3 → बीज बोने की लागत (क्षेत्रफल पर आधारित) = 50 × l × w = ₹50lw

∴ कुल लागत का बीजीय व्यंजक = 200l + 160w + 50lw है

प्र.3. 20 सेंटीमीटर लंबे तार को मोड़कर आयत बनाया गया है। यदि आयत की लंबाई x सेंटीमीटर है तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए व्यंजक लिखिए।

दिया है → तार की कुल लंबाई = 20 सेंटीमीटर, आयत की लंबाई = x सेंटीमीटर

चरण 1 → आयत का परिमाप 20 सेंटीमीटर है, अतः चौड़ाई = (10 − x) सेंटीमीटर

चरण 2 → क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = x(10 − x)

∴ क्षेत्रफल का व्यंजक x(10 − x) अथवा 10x − x² है

प्र.4. बेला के पास जेब खर्च के लिए ₹100 हैं। वह प्रतिदिन ₹5 खर्च करती है। कितने दिनों के पश्चात उसके पास ₹40 शेष बचेंगे?

दिया है → प्रारंभिक राशि = ₹100, प्रतिदिन खर्च = ₹5, शेष राशि = ₹40

सूत्र → n वें दिन शेष राशि = ₹(100 − 5n)

चरण 1 → 100 − 5n = 40

चरण 2 → 5n = 60, अर्थात n = 12

∴ 12वें दिन के पश्चात उसके पास ₹40 शेष बचेंगे [जाँच: 100 − 12 × 5 = ₹40]

प्र.5. एक ऑटो-रिक्शा का किराया ₹25 से प्रारंभ होता है और प्रारंभिक दो किलोमीटर के लिए यही किराया रहता है। उसके पश्चात प्रति किलोमीटर ₹15 की वृद्धि होती है। 10 किलोमीटर की यात्रा के लिए कितना किराया होगा?

दिया है → प्रारंभिक 2 किमी के लिए किराया ₹25, उसके बाद प्रति किमी ₹15 वृद्धि

सूत्र → n किलोमीटर की यात्रा के लिए किराया = 25 + 15 × (n − 2) = 15n − 5, जब n ≥ 2

चरण 1 → n = 10 रखने पर, किराया = 25 + 15 × (10 − 2)

चरण 2 → किराया = 25 + 15 × 8 = 25 + 120

∴ 10 किलोमीटर की यात्रा के लिए किराया ₹145 होगा

प्र.6. किसी यात्रा का व्यय रैखिक फलन C(d) = 100 + 60d द्वारा दर्शाया गया है, जहाँ d किलोमीटर में तय की गई दूरी है। यह रैखिक वृद्धि को क्यों दर्शाता है, समझाइए।

दिया है → C(d) = 100 + 60d

तालिका → d = 0,1,2,3,4,5 के लिए C = 100, 160, 220, 280, 340, 400 रुपये

चरण 1 → d के मान में एक किलोमीटर की वृद्धि होने पर व्यय फलन C के मान में एक निश्चित धनराशि ₹60 की वृद्धि होती है

∴ चूँकि समान अंतरालों में व्यय अचर मान (₹60) से बढ़ता है, यह रैखिक वृद्धि का उदाहरण है

प्र.7. ग्रीष्म ऋतु के प्रारंभ में एक बेलनाकार टंकी में पानी की ऊँचाई 3 मीटर है। t महीनों के अंत में पानी की ऊँचाई h मीटर को रैखिक फलन h(t) = 3 − 0.5t द्वारा दर्शाया जाता है। यह रैखिक ह्रास को क्यों दर्शाता है?

दिया है → h(t) = 3 − 0.5t

तालिका → t = 0,1,2,3,4 महीनों के लिए h = 3, 2.5, 2, 1.5, 1 मीटर

चरण 1 → t के मान में एक निश्चित संख्या (एक महीना) की वृद्धि होने पर, ऊँचाई h के मान में एक निश्चित संख्या (0.5) का ह्रास होता है

∴ चूँकि समान अंतरालों में ऊँचाई अचर मान (0.5) से घटती है, यह रैखिक ह्रास को दर्शाता है

प्र.8. एक टेलीकॉम कंपनी निश्चित मासिक शुल्क लेती है और प्रति जी.बी. डेटा के लिए अतिरिक्त शुल्क लेती है। 10 जी.बी. पर बिल ₹350 और 20 जी.बी. पर बिल ₹550 है। यदि y = ax + b संबंध हो तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।

दिया है → जब x = 10 तो y = 350; जब x = 20 तो y = 550

चरण 1 → समीकरण बनाएँ: 350 = 10a + b …(i) और 550 = 20a + b …(ii)

चरण 2 → समीकरण (i) से, b = 350 − 10a; इसे समीकरण (ii) में रखने पर: 550 = 20a + (350 − 10a)

चरण 3 → 550 = 10a + 350, अर्थात 10a = 200, इसलिए a = 20

चरण 4 → b = 350 − 10a = 350 − 200 = 150

∴ a = 20 और b = 150, अर्थात संबंध y = 20x + 150 है

प्र.9. वर्गाकार टाइलों के बढ़ते हुए प्रतिरूप में प्रत्येक चरण, पिछले चरण में दो टाइलें जोड़कर बनता है (चरण 1 में 1, चरण 2 में 3, चरण 3 में 5 …)। nवें चरण में वर्गों की संख्या के लिए व्यंजक ज्ञात कीजिए और बताइए यह रैखिक बहुपद क्यों है।

दिया है → चरण 1,2,3,4,5,6,7 में टाइलों की संख्या क्रमशः 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13

चरण 1 → प्रत्येक चरण में वर्गों की संख्या, चरण की संख्या के दोगुनी से एक कम है; उदाहरणतः चरण 2 में 2×2−1=3, चरण 5 में 2×5−1=9

चरण 2 → अतः n वें चरण में वर्गों की संख्या = 2n − 1

चरण 3 → बहुपद 2n − 1 की घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद का उदाहरण है

∴ n वें चरण में वर्गाकार टाइलों की संख्या = 2n − 1 (यह रैखिक संबंध y = 2x − 1 के रूप में भी दर्शाया जाता है)

प्र.10. चित्र 2.14 में रेखाओं y = x + 3, y = 2x + 5 और y = 3x − 2 के आधार पर समझाइए कि रेखा y = ax + b का ढलान और y-अंतःखंड क्या दर्शाते हैं।

दिया है → y = 2x + 5, y = x + 3, y = 3x − 2

चरण 1 → y = 2x + 5, y-अक्ष को A(0, 5) पर प्रतिच्छेद करती है

चरण 2 → y = x + 3, y-अक्ष को B(0, 3) पर प्रतिच्छेद करती है

चरण 3 → y = 3x − 2, y-अक्ष को C(0, −2) पर प्रतिच्छेद करती है

चरण 4 → यदि b का मान नियत रखकर a बदला जाए तो रेखा का ढलान बदलता है पर y-अंतःखंड नियत रहता है; यदि a नियत रखकर b बदला जाए तो रेखाएँ समानांतर रहती हैं

∴ समीकरण y = ax + b में a रेखा की ढलान और b रेखा का y-अंतःखंड (मूलबिंदु से जिस बिंदु पर रेखा y-अक्ष को काटती है, उसकी दूरी) दर्शाता है

अध्याय 2 : रैखिक बहुपदों का परिचय

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