📘 अध्याय 4: बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण
कक्षा 9 | गणित मंजरी (Ganit Manjari) | महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर
🔢 सूत्र त्वरित संदर्भ
| सर्वसमिका | सूत्र |
|---|---|
| वर्ग योग | (x + y)² = x² + 2xy + y² |
| वर्ग अंतर | (x − y)² = x² − 2xy + y² |
| त्रि-पद वर्ग | (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx |
| वर्गों का अंतर | (x + y)(x − y) = x² − y² |
| द्विपद गुणन | (x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab |
| सामान्य द्विपद | (ax+b)(cx+d) = acx² + (ad+bc)x + bd |
| घनों का अंतर | x³ − y³ = (x−y)(x²+xy+y²) |
| घनों का योग | x³ + y³ = (x+y)(x²−xy+y²) |
| त्रि-पद घन (योग) | (x+y)³ = x³+3x²y+3xy²+y³ |
| त्रि-पद घन (अंतर) | (x−y)³ = x³−3x²y+3xy²−y³ |
| तीन घनों का योग | x³+y³+z³−3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²−xy−xz−yz) |
| श्रीधराचार्य सर्वसमिका | a² = (a+b)(a−b) + b² |
🔹 भाग 1: लघु उत्तरीय प्रश्न (15 प्रश्न)
प्रश्न 1: सर्वसमिका (a+b)² का सूत्र लिखिए।⭐
उत्तर: (a + b)² = a² + 2ab + b²
प्रश्न 2: सर्वसमिका (a−b)² का सूत्र लिखिए।⭐
उत्तर: (a − b)² = a² − 2ab + b²
प्रश्न 3: एक बीजीय सर्वसमिका किसे कहते हैं?⭐
उत्तर: वह समीकरण जो उसमें उपस्थित चर के सभी मानों के लिए सत्य होता है, बीजीय सर्वसमिका कहलाता है।
प्रश्न 4: एक समीकरण और एक सर्वसमिका में क्या अंतर है? उदाहरण दीजिए।⭐⭐
उत्तर: x² − 1 = 24 केवल x = 5 अथवा −5 के लिए सत्य है, इसलिए यह समीकरण है। परंतु (x+y)² = x²+2xy+y², x और y के सभी मानों के लिए सत्य है, इसलिए यह सर्वसमिका है।
प्रश्न 5: सर्वसमिका (a+b+c)² का सूत्र लिखिए।⭐
उत्तर: (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
प्रश्न 6: श्रीधराचार्य ने कौन-सी सर्वसमिका दी थी और कब?⭐⭐
उत्तर: श्रीधराचार्य ने 750 सामान्य संवत में a² = (a+b)(a−b) + b² सर्वसमिका, संख्याओं के वर्गों की शीघ्र गणना की विधि के रूप में प्रस्तावित की थी।
प्रश्न 7: (x+y)(x−y) का सरल रूप क्या है?⭐
उत्तर: (x + y)(x − y) = x² − y²
प्रश्न 8: सर्वसमिका (a+b)³ का सूत्र लिखिए।⭐⭐
उत्तर: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
प्रश्न 9: सर्वसमिका (a−b)³ का सूत्र लिखिए।⭐⭐
उत्तर: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
प्रश्न 10: x³ − y³ का गुणनखंडित रूप लिखिए।⭐⭐
उत्तर: x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²)
प्रश्न 11: x³ + y³ का गुणनखंडित रूप लिखिए।⭐⭐
उत्तर: x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)
प्रश्न 12: (x+a)(x+b) का विस्तार क्या होगा?⭐
उत्तर: (x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab
प्रश्न 13: x³+y³+z³−3xyz का गुणनखंडित रूप क्या है?⭐⭐
उत्तर: x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² − xy − xz − yz)
प्रश्न 14: किन्हीं तीन क्रमागत वर्ग संख्याओं में सबसे छोटी व सबसे बड़ी को जोड़कर मध्य संख्या के दोगुने को घटाने पर सदैव क्या परिणाम मिलता है?⭐
उत्तर: परिणाम सदैव 2 प्राप्त होता है, जैसे उदाहरण में 1, 4, 9 के लिए (1+9) − (2×4) = 2
प्रश्न 15: बीजीय टाइलों में x²-टाइल, x-टाइल और इकाई टाइल क्या दर्शाती हैं?⭐⭐
उत्तर: x²-टाइल क्षेत्रफल x² को, x-टाइल लंबाई x व चौड़ाई 1 इकाई (क्षेत्रफल x) को, और इकाई टाइल 1 वर्ग इकाई क्षेत्रफल को दर्शाती है। इनका उपयोग गुणनफल और गुणनखंड दिखाने के लिए किया जाता है।
🔹 भाग 2: दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (10 प्रश्न)
प्रश्न 1: सर्वसमिका (a+b)² = a² + 2ab + b² को ज्यामितीय विधि से सिद्ध कीजिए। ⭐⭐⭐
दिया है: दो रेखाखंड a और b इकाई लंबाई के हैं। इन्हें मिलाकर (a+b) इकाई भुजा वाला एक वर्ग बनाया गया है।
चरण 1: इस वर्ग को छोटे वर्गों तथा आयतों में विभाजित करने पर — एक वर्ग का क्षेत्रफल a², दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल b², और दो आयतों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ab प्राप्त होता है।
चरण 2: बाहरी वर्ग का कुल क्षेत्रफल (a+b)² है, जो सभी भागों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है — (a+b)² = a² + ab + ab + b²
चरण 3 (बीजीय सत्यापन): वितरण गुणधर्म से: (a+b)² = (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a² + ab + ba + b²
∴ उत्तर = (a+b)² = a² + 2ab + b² (सिद्ध)
प्रश्न 2: सर्वसमिका (a+b)² का उपयोग करके (5x + 2y)² का विस्तार कीजिए। ⭐⭐
दिया है: (5x + 2y)², जहाँ a = 5x तथा b = 2y
सूत्र: (a+b)² = a² + 2ab + b²
चरण 1: (5x + 2y)² = (5x)² + 2(5x)(2y) + (2y)²
चरण 2: = 25x² + 20xy + 4y²
∴ उत्तर = 25x² + 20xy + 4y²
प्रश्न 3: सर्वसमिका का उपयोग करके 43² की गणना कीजिए। ⭐⭐
दिया है: 43² को (40+3)² के रूप में लिखा जा सकता है।
सूत्र: (a+b)² = a² + 2ab + b², जहाँ a = 40, b = 3
चरण 1: (40+3)² = 40² + 2×40×3 + 3²
चरण 2: = 1600 + 240 + 9
∴ उत्तर = 1849
प्रश्न 4: 50p² + 60pq + 18q² का पूर्णत: गुणनखंडन कीजिए। ⭐⭐⭐
चरण 1: पदों 50p², 60pq तथा 18q² में 2 एक सार्व गुणनखंड है, अतः 50p² + 60pq + 18q² = 2(25p² + 30pq + 9q²)
चरण 2: व्यंजक 25p² + 30pq + 9q² पर ध्यान दें। जिसका वर्ग 25p² हो वह पद 5p है, और जिसका वर्ग 9q² हो वह पद 3q है।
चरण 3: 25p² + 30pq + 9q² = (5p)² + 2(5p)(3q) + (3q)² = (5p + 3q)²
∴ उत्तर = 50p² + 60pq + 18q² = 2(5p + 3q)²
प्रश्न 5: सर्वसमिका (a+b+c)² का उपयोग करके 119² का मान ज्ञात कीजिए। ⭐⭐⭐
दिया है: 119² = (100 + 10 + 9)², जहाँ a=100, b=10, c=9
सूत्र: (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
चरण 1: 119² = 100² + 10² + 9² + 2(100)(10) + 2(100)(9) + 2(10)(9)
चरण 2: = 10000 + 100 + 81 + 2000 + 1800 + 180
∴ उत्तर = 14161
प्रश्न 6: x² + 11x + 30 का गुणनखंड कीजिए। ⭐⭐⭐
चरण 1: x² + 11x + 30 की तुलना x² + (a+b)x + ab से करने पर a + b = 11 और ab = 30 प्राप्त होता है।
चरण 2: हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 11 और गुणनफल 30 हो। 30 के गुणनखंडों में से a = 5 तथा b = 6 (या इसके विपरीत) सही हैं, क्योंकि 5+6=11 और 5×6=30।
चरण 3: अतः x-पद 11x को 5x + 6x के रूप में विभाजित किया जा सकता है: x² + 11x + 30 = x² + (5+6)x + 30
∴ उत्तर = x² + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)
प्रश्न 7: उस घन की भुजा ज्ञात कीजिए, जिसका आयतन p³ + 6p²q + 12pq² + 8q³ घन इकाई है। ⭐⭐⭐
दिया है: p³ + 6p²q + 12pq² + 8q³, जिसकी तुलना सर्वसमिका (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ से करनी है।
चरण 1: इसे (p)³ + 3(p)²(2q) + 3(p)(2q)² + (2q)³ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a = p और b = 2q।
चरण 2: यह (p + 2q)³ के बराबर है।
∴ उत्तर = घन की भुजा = (p + 2q) इकाई
प्रश्न 8: तीन संख्याओं का योगफल 10 है, गुणनफल 25 है और वर्गों का योगफल 38 है। इन तीनों संख्याओं के घनों का योगफल ज्ञात कीजिए। ⭐⭐⭐
दिया है: मान लीजिए तीन संख्याएँ x, y, z हैं। x+y+z = 10, xyz = 25, x²+y²+z² = 38
सूत्र: (x+y+z)(x²+y²+z²−xy−xz−yz) = x³+y³+z³−3xyz
चरण 1: (10)(38 − xy − xz − yz) = x³+y³+z³ − 3(25), अर्थात x³+y³+z³ = 380 − 10(xy+xz+yz) + 75 = 455 − 10(xy+xz+yz)
चरण 2: (xy+xz+yz) ज्ञात करने के लिए (x+y+z)² = x²+y²+z²+2(xy+xz+yz) का उपयोग करें: 100 = 38 + 2(xy+xz+yz), अतः xy+xz+yz = 31
चरण 3: x³+y³+z³ = 455 − 10(31) = 455 − 310
∴ उत्तर = 145
प्रश्न 9: परिमेय व्यंजक (x²−7x+12) / (5x²+5x−100) को सरल कीजिए, यह मानते हुए कि 5x²+5x−100 ≠ 0 ⭐⭐⭐
चरण 1 — अंश का गुणनखंड: x²−7x+12 में a+b=−7, ab=12 चाहिए। संख्याएँ −3 और −4 हैं। अतः x²−7x+12 = (x−3)(x−4)
चरण 2 — हर का गुणनखंड: 5x²+5x−100 में तीनों पद 5 के गुणज हैं, अतः 5x²+5x−100 = 5(x²+x−20)। अब a+b=1, ab=−20 चाहिए। संख्याएँ 5 और −4 हैं। अतः 5x²+5x−100 = 5(x−4)(x+5)
चरण 3: गुणनखंडित रूप रखने पर: (x−3)(x−4) / 5(x−4)(x+5)
चरण 4: सार्व गुणनखंड (x−4) को काटा जा सकता है क्योंकि यह 0 के समान नहीं है (क्योंकि 5x²+5x−100 ≠ 0)
∴ उत्तर = (x − 3) / 5(x + 5)
प्रश्न 10: एक आयताकार ताल की चौड़ाई इसकी लंबाई से 4 मीटर कम है और क्षेत्रफल 96 वर्ग मीटर है। ताल की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए। ⭐⭐⭐
दिया है: मान लीजिए ताल की लंबाई x मीटर है, अतः चौड़ाई (x−4) मीटर होगी। क्षेत्रफल = 96 वर्ग मीटर
चरण 1: x(x−4) = 96, अर्थात x² − 4x − 96 = 0
चरण 2: −4x को विभाजित करने के लिए −96 के ऐसे गुणनखंड चाहिए जिनका योग −4 हो। (−12)×8 = −96 और (−12)+8 = −4 है। अतः −4x = −12x + 8x
चरण 3: x² − 12x + 8x − 96 = x(x−12) + 8(x−12) = (x−12)(x+8) = 0
चरण 4: अतः x−12=0 या x+8=0, यानी x = 12 या x = −8। चूँकि x लंबाई है, यह ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x = −8 अस्वीकार्य है।
∴ उत्तर: ताल की लंबाई = 12 मीटर, चौड़ाई = 12 − 4 = 8 मीटर
📌 याद रखें:
📌 (a+b)² ≠ a²+b² — यह केवल तभी सत्य है जब 2ab = 0 हो।
📌 सर्वसमिका सदैव सभी चर मानों के लिए सत्य होती है, जबकि समीकरण कुछ विशेष मानों के लिए ही सत्य होता है।
📌 गुणनखंडन में सदैव पहले सार्व गुणनखंड (यदि कोई हो) बाहर निकालें, फिर सर्वसमिका का उपयोग करें।
📌 परिमेय व्यंजकों को सरल करते समय हर को शून्य के समान नहीं मानना आवश्यक है।
📌 (a+b)² ≠ a²+b² — यह केवल तभी सत्य है जब 2ab = 0 हो।
📌 सर्वसमिका सदैव सभी चर मानों के लिए सत्य होती है, जबकि समीकरण कुछ विशेष मानों के लिए ही सत्य होता है।
📌 गुणनखंडन में सदैव पहले सार्व गुणनखंड (यदि कोई हो) बाहर निकालें, फिर सर्वसमिका का उपयोग करें।
📌 परिमेय व्यंजकों को सरल करते समय हर को शून्य के समान नहीं मानना आवश्यक है।
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