📘 अध्याय 6: समष्टि मापन — परिमाप और क्षेत्रफल
कक्षा 9 | गणित मंजरी (Ganit Manjari) | महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर
🔢 सूत्र त्वरित संदर्भ
| राशि | सूत्र |
|---|---|
| वर्ग का परिमाप (भुजा a) | परिमाप = 4a |
| समबाहु त्रिभुज का परिमाप (भुजा a) | परिमाप = 3a |
| आयत का परिमाप (भुजाएँ a, b) | परिमाप = 2(a + b) |
| वृत्त की परिधि | C = 2πr, जहाँ r त्रिज्या है |
| वृत्त की चाप की लंबाई | l = 2πr × (θ°/360°), जहाँ θ केंद्रीय कोण है |
| त्रिभुज का क्षेत्रफल | A = 1/2 × आधार × ऊँचाई |
| हीरोन का सूत्र | क्षेत्रफल = √[s(s−a)(s−b)(s−c)], जहाँ s = 1/2(a+b+c) |
| समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल | क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = bh |
| वृत्त का क्षेत्रफल | A = πr² |
| त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल | क्षेत्रफल = πr² × (θ°/360°) |
| ब्रह्मगुप्त का सूत्र (चक्रीय चतुर्भुज) | क्षेत्रफल = √[(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)], जहाँ s = 1/2(a+b+c+d) |
🔹 भाग 1: लघु उत्तरीय प्रश्न (15 प्रश्न)
प्रश्न 1: परिमाप किसे कहते हैं?⭐
उत्तर: किसी आकृति की सभी सीमा-रेखाओं की कुल लंबाई को उसका परिमाप कहते हैं।
प्रश्न 2: a इकाई भुजा वाले वर्ग का परिमाप क्या होता है?⭐
उत्तर: a इकाई भुजा वाले वर्ग का परिमाप 4a इकाई होता है।
प्रश्न 3: a इकाई भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का परिमाप क्या होता है?⭐
उत्तर: a इकाई भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का परिमाप 3a इकाई होता है।
प्रश्न 4: a इकाई लंबाई और b इकाई चौड़ाई वाले आयत के परिमाप का सूत्र लिखिए।⭐
उत्तर: आयत का परिमाप = 2(a + b) इकाई होता है।
प्रश्न 5: वृत्त की परिधि का सूत्र त्रिज्या r के पदों में लिखिए।⭐
उत्तर: वृत्त की परिधि C = 2πr होती है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।
प्रश्न 6: π का सन्निकट मान क्या है?⭐
उत्तर: π का सन्निकट मान 22/7 अथवा 3.14 के समान होता है।
प्रश्न 7: π किस प्रकार की संख्या है — परिमेय या अपरिमेय?⭐
उत्तर: π एक अपरिमेय संख्या है, अर्थात इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
प्रश्न 8: समान त्रिज्या r वाले अर्द्धवृत्त की लंबाई का सूत्र लिखिए।⭐
उत्तर: अर्द्धवृत्त की लंबाई = 2πr ÷ 2 = πr होती है।
प्रश्न 9: समान त्रिज्या r वाले चतुर्थांश वृत्त की चाप की लंबाई कितनी होती है?⭐
उत्तर: चतुर्थांश वृत्त की चाप की लंबाई = 2πr ÷ 4 = πr/2 होती है।
प्रश्न 10: त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।⭐⭐
उत्तर: त्रिभुज का क्षेत्रफल A = 1/2 × आधार × ऊँचाई होता है।
प्रश्न 11: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र क्या है?⭐⭐
उत्तर: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई = bh होता है।
प्रश्न 12: हीरोन के सूत्र में अर्द्ध-परिमाप s को कैसे ज्ञात करते हैं?⭐⭐
उत्तर: यदि त्रिभुज की भुजाएँ a, b, c हैं तो अर्द्ध-परिमाप s = 1/2(a + b + c) होता है।
प्रश्न 13: वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।⭐⭐
उत्तर: वृत्त का क्षेत्रफल A = πr² होता है, जहाँ r त्रिज्या है।
प्रश्न 14: वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र लिखिए (केंद्रीय कोण θ के लिए)।⭐⭐
उत्तर: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr² × (θ°/360°) होता है।
प्रश्न 15: एक त्रिभुज की माध्यिका के बारे में प्रमेय लिखिए।⭐⭐
उत्तर: एक त्रिभुज की माध्यिका, त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफलों वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है।
🔹 भाग 2: दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (10 प्रश्न)
प्रश्न 1: समान त्रिज्या r वाले दो वृत्त इस प्रकार स्थित हैं कि प्रत्येक वृत्त दूसरे वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है। दोनों वृत्तों से मिलकर बने आकार का परिमाप ज्ञात कीजिए (बिंदुगत वक्रों को छोड़कर)। ⭐⭐⭐
दिया है: केंद्र A और B वाले दो सर्वांगसम वृत्त, जो एक-दूसरे के केंद्र से होकर गुजरते हैं। वृत्त बिंदु C और D पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चरण 1: त्रिभुज A, B, C में AB = AC = BC = r है, अतः यह समबाहु त्रिभुज है, इसलिए ∠CAB = 60° = ∠CBA।
चरण 2: इसी प्रकार ∠BAD = 60° = ∠ABD, इससे ∠CAD = 120° = ∠CBD प्राप्त होता है।
चरण 3: अतः प्रत्येक बिंदुगत चाप, उस वृत्त की परिधि का 1/3 भाग होती है।
∴ उत्तर = दो लाल चापों की कुल लंबाई = 2 × (2/3) × 2πr = (8/3)πr
प्रश्न 2: चित्र में बिंदु P और Q को जोड़ने वाले दो पथ हैं। पहला पथ एक अर्द्धवृत्त a से बना है। दूसरा पथ तीन अर्द्धवृत्तों (b, c, d) से मिलकर बना है। दिखाइए कि दोनों पथों की लंबाई समान है। ⭐⭐⭐
दिया है: अर्द्धवृत्तों a, b, c, d की त्रिज्याएँ क्रमशः a’, b’, c’, d’ हैं
चरण 1: अर्द्धवृत्त a की लंबाई = πa’ और दूसरे पथ की लंबाई = π(b’ + c’ + d’)
चरण 2: PQ की लंबाई = 2a’ है और यह 2b’ + 2c’ + 2d’ के भी समान है।
चरण 3: इससे a’ = b’ + c’ + d’ प्राप्त होता है।
∴ उत्तर = दोनों पथों की लंबाई समान है (कोई भी पथ लंबा नहीं है)
प्रश्न 3: एक समबाहु त्रिभुज की भुजा a इकाई है। हीरोन के सूत्र का उपयोग करके इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ⭐⭐⭐
दिया है: समबाहु त्रिभुज की भुजा a इकाई है
सूत्र: क्षेत्रफल = √[s(s−a)(s−b)(s−c)], जहाँ s = 1/2(a+b+c)
चरण 1: अर्द्ध-परिमाप s = 1/2(a + a + a) = (3/2)a इकाई है।
चरण 2: क्षेत्रफल = √[(3/2)a × (1/2)a × (1/2)a × (1/2)a]
∴ उत्तर = क्षेत्रफल = (√3/4)a² वर्ग इकाई
प्रश्न 4: एक समद्विबाहु त्रिभुज की प्रत्येक समान भुजा a इकाई और आधार 2b इकाई है। हीरोन के सूत्र से इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ⭐⭐⭐
दिया है: समान भुजा = a इकाई, आधार = 2b इकाई
चरण 1: अर्द्ध-परिमाप s = 1/2(a + a + 2b) = a + b इकाई है।
चरण 2: हीरोन सूत्र के अनुसार, क्षेत्रफल = √[(a+b)(a+b−a)(a+b−a)(a+b−2b)] = √[(a+b)(b)(b)(a−b)]
∴ उत्तर = क्षेत्रफल = b√(a² − b²) वर्ग इकाई
प्रश्न 5: एक त्रिभुज की भुजाएँ 3 इकाई, 4 इकाई और 5 इकाई हैं। हीरोन के सूत्र से इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ⭐⭐⭐
दिया है: भुजाएँ a = 3, b = 4, c = 5 इकाई
चरण 1: अर्द्ध-परिमाप s = 1/2(3 + 4 + 5) = 6 इकाई है।
चरण 2: क्षेत्रफल = √[6(6−3)(6−4)(6−5)] = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36
जाँच: चूँकि 3² + 4² = 5² है, अतः त्रिभुज समकोण है। क्षेत्रफल = 1/2 × 3 × 4 = 6 — दोनों विधियाँ समान परिणाम देती हैं।
∴ उत्तर = क्षेत्रफल = 6 वर्ग इकाई
प्रश्न 6: एक वृत्त का परिमाप 44 सेंटीमीटर है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए) ⭐⭐⭐
दिया है: वृत्त की परिधि C = 44 सेंटीमीटर
सूत्र: C = 2πr
चरण 1: 44 = 2 × (22/7) × r
चरण 2: r = 44 × 7 ÷ 44
∴ उत्तर = त्रिज्या r = 7 सेंटीमीटर
प्रश्न 7: वृत्त की चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि — (i) त्रिज्या 3.5 सेंटीमीटर है और केंद्र पर कोण 60° है तथा (ii) वृत्त की त्रिज्या 6.3 मीटर है और केंद्र पर कोण 120° है। (π = 22/7 लीजिए) ⭐⭐⭐
सूत्र: चाप की लंबाई l = 2πr × (θ°/360°)
भाग (i): r = 3.5 सेंटीमीटर, θ = 60°
l = 2 × (22/7) × 3.5 × (60/360) = 22 × (1/6)
l = 2 × (22/7) × 3.5 × (60/360) = 22 × (1/6)
∴ उत्तर (i) = 11/3 ≈ 3.67 सेंटीमीटर
भाग (ii): r = 6.3 मीटर, θ = 120°
l = 2 × (22/7) × 6.3 × (120/360) = 2 × 19.8 × (1/3)
l = 2 × (22/7) × 6.3 × (120/360) = 2 × 19.8 × (1/3)
∴ उत्तर (ii) = 13.2 मीटर
प्रश्न 8: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी भुजाओं की लंबाई 8 सेंटीमीटर और 11 सेंटीमीटर है तथा उसका परिमाप 32 सेंटीमीटर है। ⭐⭐⭐
दिया है: दो भुजाएँ 8 सेमी और 11 सेमी, परिमाप = 32 सेमी
चरण 1: तीसरी भुजा = 32 − 8 − 11 = 13 सेंटीमीटर
चरण 2: अर्द्ध-परिमाप s = 32/2 = 16 सेंटीमीटर
चरण 3: हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल = √[16(16−8)(16−11)(16−13)] = √(16 × 8 × 5 × 3) = √1920
∴ उत्तर = क्षेत्रफल = 8√30 ≈ 43.82 वर्ग सेंटीमीटर
प्रश्न 9: यदि त्रिज्यखंड का कोण 60° है तो 7 सेंटीमीटर त्रिज्या वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए) ⭐⭐⭐
दिया है: r = 7 सेंटीमीटर, θ = 60°
सूत्र: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr² × (θ°/360°)
चरण 1: क्षेत्रफल = (22/7) × 7² × (60/360) = (22/7) × 49 × (1/6)
चरण 2: = 154/6
∴ उत्तर = क्षेत्रफल ≈ 25.67 वर्ग सेंटीमीटर
प्रश्न 10: आयत के विषय में ब्रह्मगुप्त के सूत्र को सत्यापित कीजिए। ⭐⭐⭐
दिया है: आयत की भुजाएँ a और b हैं (सभी आयत चक्रीय होते हैं, अतः ब्रह्मगुप्त का सूत्र लागू होना चाहिए)
चरण 1: आयत की चारों भुजाएँ a, b, a, b हैं, अतः अर्द्ध-परिमाप s = 1/2(a+b+a+b) = a + b होगा।
चरण 2: ब्रह्मगुप्त के सूत्र के अनुसार, क्षेत्रफल = √[(s−a)(s−b)(s−a)(s−b)] = √[(a+b−a)(a+b−b)(a+b−a)(a+b−b)]
चरण 3: = √(b × a × b × a) = √(ab · ab)
∴ उत्तर = क्षेत्रफल = ab, जो आयत के क्षेत्रफल (ab) के समान है — अतः सूत्र सत्य है (सत्यापित)
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