Notes गणित मंजरी Chapter 1 Class 9 Ganita Manjari Maths Hindi Medium

निर्देशांक पद्धति का परिचय

निर्देशांक पद्धति एक ऐसी रूपरेखा है जो संख्याओं की सहायता से किसी बिंदु या वस्तु की स्थिति बताने में सक्षम बनाती है। इसकी जड़ें भारत में हैं। सिंधु-सरस्वती सभ्यता में नगरों की गलियाँ उत्तर-दक्षिण और पूर्व-पश्चिम दिशा में सटीकता से बनाई गई थीं, जो एक व्यावहारिक निर्देशांक पद्धति थी।

बौधायन ने उत्तर-दक्षिण और पूर्व-पश्चिम रेखाओं का उपयोग करके बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय विकसित किया। आर्यभट्ट ने ज्या (sines) का उपयोग करके निर्देशांकों की गणना सरल बनाई। ब्रह्मगुप्त ने शून्य और ऋणात्मक संख्याओं की संकल्पना दी, जिसके बिना चार-चतुर्थांशी कार्तीय तल संभव नहीं होता। अल-बिरुनी ने भारतीय त्रिकोणमितीय विधियों का उपयोग किया। रेने देकार्त (1637) ने विधिवत रूप से प्रस्तुत किया कि द्वि-विमीय तल में किसी बिंदु को दो संख्याओं से परिभाषित किया जा सकता है।

द्वि-विमीय कार्तीय निर्देशांक पद्धति

• किसी बिंदु की स्थिति एक समतल में बताने के लिए दो लंबवत रेखाओं की आवश्यकता होती है।
• क्षैतिज रेखा को x-अक्ष कहते हैं और ऊर्ध्व रेखा को y-अक्ष कहते हैं।
• x-अक्ष और y-अक्ष जिस बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, वह मूलबिंदु (O) कहलाता है, जिसके निर्देशांक (0, 0) होते हैं।
• समतल जिसमें दोनों अक्ष स्थित हैं, उसे कार्तीय तल, निर्देशांक तल अथवा xy-तल कहते हैं।

धनात्मक और ऋणात्मक दिशाएँ

• O के दाईं ओर और ऊपर की ओर की दूरियाँ धनात्मक मानी जाती हैं।
• O के बाईं ओर और नीचे की ओर की दूरियाँ ऋणात्मक मानी जाती हैं।

निर्देशांक लिखने की विधि

• किसी बिंदु के निर्देशांक (x, y) रूप में लिखे जाते हैं।
• x को x-निर्देशांक (y-अक्ष से दूरी) कहते हैं, और y को y-निर्देशांक (x-अक्ष से दूरी) कहते हैं।
• x-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का y-निर्देशांक सदैव 0 होता है, अर्थात रूप (x, 0)।
• y-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का x-निर्देशांक सदैव 0 होता है, अर्थात रूप (0, y)।
• यदि x = y हो तभी (x, y) = (y, x) होगा; अन्यथा (x, y) ≠ (y, x)।

चतुर्थांश (Quadrants)

अक्ष तल को चार भागों में बाँटते हैं, जिन्हें चतुर्थांश कहते हैं:

प्रथम चतुर्थांश: x धनात्मक, y धनात्मक (+, +)
द्वितीय चतुर्थांश: x ऋणात्मक, y धनात्मक (−, +)
तृतीय चतुर्थांश: x ऋणात्मक, y ऋणात्मक (−, −)
चतुर्थ चतुर्थांश: x धनात्मक, y ऋणात्मक (+, −)

दो बिंदुओं के मध्य दूरी

• यदि दो बिंदु किसी अक्ष पर या अक्ष के समानांतर स्थित हों, तो दूरी सीधे निर्देशांकों के अंतर से ज्ञात होती है।
• यदि रेखाखंड किसी अक्ष के समानांतर न हो, तो बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जाता है।
  दूरी का सामान्य सूत्र

बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के मध्य दूरी:

दूरी = वर्गमूल [(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

• यह सूत्र धनात्मक और ऋणात्मक दोनों प्रकार के निर्देशांकों पर लागू होता है, क्योंकि वर्ग करने पर ऋणात्मक चिह्न समाप्त हो जाता है।
• किसी आकृति का परावर्तन (प्रतिबिंब) करने पर भी उसकी भुजाओं की लंबाई में कोई परिवर्तन नहीं होता।

याद रखने योग्य मुख्य बिंदु

• मूलबिंदु के निर्देशांक सदैव (0, 0) होते हैं।
• x-अक्ष पर बिंदु: (x, 0); y-अक्ष पर बिंदु: (0, y)
• बिंदुओं (x₁, y) और (x₂, y) के मध्य दूरी = |x₂ − x₁|
• बिंदुओं (x, y₁) और (x, y₂) के मध्य दूरी = |y₂ − y₁|
• सामान्य दूरी सूत्र = वर्गमूल [(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]