कक्षा 9 | NCERT गणित मंजरी
अध्याय 2: रैखिक बहुपदों का परिचय
संपूर्ण नोट्स | Introduction to Linear Polynomials
📖 परिचय
पिछली कक्षाओं में हमने बीजीय व्यंजकों के बारे में पढ़ा है। इस अध्याय में हम बीजीय व्यंजकों के एक विशेष प्रकार — रैखिक बहुपद (Linear Polynomial) के बारे में सीखेंगे। हम पद, चर, गुणांक, अचर, बहुपद की घात, रैखिक प्रतिरूप, रैखिक वृद्धि-ह्रास, रैखिक संबंध (y = ax + b) और उसके आलेख (ग्राफ) को समझेंगे।
यह अध्याय हमें बताता है कि किसी वास्तविक जीवन की स्थिति (जैसे किराया, बचत, दुकान का हिसाब आदि) को बीजीय व्यंजक और रेखा के समीकरण के रूप में कैसे व्यक्त किया जाता है। यह अध्याय आगे आने वाले अध्याय “रैखिक समीकरण” तथा “अनुक्रम और श्रेढ़ियाँ” की नींव तैयार करता है।
🔢 सूत्र त्वरित संदर्भ
| सूत्र / रूप | व्याख्या |
|---|---|
| y = ax + b | दो चर x और y के मध्य रैखिक संबंध; a रेखा का ढलान है और b रेखा का y-अंतःखंड है |
| y = ax | जब b = 0 हो, तो रेखा मूलबिंदु (0, 0) से होकर जाती है |
| 4x + 5y + 3 | दो चर वाला बीजीय व्यंजक (उदाहरण 1 — पेन-पेंसिल) |
| 2n − 1 | वर्गाकार टाइलों के प्रतिरूप में n वें चरण में वर्गों की संख्या |
| 100 − 5n | बेला के पास n वें दिन शेष राशि |
| 15n − 5 (n ≥ 2) | ऑटो-रिक्शा किराया, n किलोमीटर की यात्रा के लिए |
| y-अंतःखंड = b | मूलबिंदु से उस बिंदु की दूरी जहाँ रेखा y-अक्ष को प्रतिच्छेद करती है |
| a = ढलान (Slope) | क्रमागत पदों के मध्य अचर अंतर को दर्शाता है |
📌 मुख्य अवधारणाएँ
1. बीजीय व्यंजक के भाग — पद, चर, गुणांक, अचर (Terms, Variables, Coefficients, Constant)
किसी बीजीय व्यंजक में संख्याएँ, चर राशियाँ और गणितीय संक्रियाओं के चिह्न विद्यमान होते हैं। उदाहरण के लिए व्यंजक 4x + 5y + 3 में:
पद (Terms): 4x, 5y और 3 — व्यंजक के पद हैं।
चर (Variables): x और y — अक्षर-संख्याएँ (चर) हैं।
गुणांक (Coefficients): 4 और 5 — क्रमशः x और y के गुणांक हैं।
अचर (Constant): 3 — एक अचर पद है।
चर (Variables): x और y — अक्षर-संख्याएँ (चर) हैं।
गुणांक (Coefficients): 4 और 5 — क्रमशः x और y के गुणांक हैं।
अचर (Constant): 3 — एक अचर पद है।
उदाहरण 1 (चित्र 2.1) — दुकानदार के प्रत्येक लाल बक्से में 4 पेन और प्रत्येक नीले बक्से में 5 पेंसिलें हैं। यदि राजू x लाल बक्से और y नीले बक्से खरीदता है और 3 पेन नि:शुल्क पाता है, तो कुल पेन-पेंसिलों को दर्शाने वाला व्यंजक 4x + 5y + 3 है।
उदाहरण 2 (चित्र 2.2) — l मीटर लंबाई व w मीटर चौड़ाई के आयताकार उद्यान में तार की बाड़ (₹100/मी लंबाई के अनुदिश), लकड़ी की बाड़ (₹80/मी चौड़ाई के अनुदिश) और बीज (₹50/वर्ग मी) की कुल लागत का व्यंजक:
तार की बाड़ की लागत = 2l × 100 = ₹200l
लकड़ी की बाड़ की लागत = 2w × 80 = ₹160w
बीज बोने की लागत = 50 × l × w = ₹50lw
∴ कुल लागत = ₹(200l + 160w + 50lw)
2. एकचरीय बीजीय व्यंजक और घात (Single-Variable Expression & Degree)
ऐसे बीजीय व्यंजक जिनमें केवल एक चर (x, y या z) होता है, उन्हें एकचरीय व्यंजक कहते हैं। जैसे — 4x, x² + 1, 2y − 5, 5y³ + y² + 2y − 1, 3z + 7।
किसी बहुपद में चर का अधिकतम घातांक, उसकी घात (Degree) कहलाती है।
उदाहरण 3 (चित्र – आयत) — 20 सेंटीमीटर लंबे तार से बनाए गए आयत की लंबाई x सेंटीमीटर हो तो चौड़ाई (10 − x) सेंटीमीटर होगी।
क्षेत्रफल का व्यंजक = x(10 − x) = 10x − x² (एक चर x वाला व्यंजक)
व्यंजक 5y³ + y² + 2y − 1 में y³ का गुणांक 5 है, y² का गुणांक 1 है, y का गुणांक 2 है और अचर पद −1 है।
बहुपदों के प्रकार (घात के अनुसार):
(i) 5y³ + y² + 2y − 1 → घात 3 → त्रिघाती बहुपद
(ii) x² + 5x + 1 → घात 2 → द्विघाती बहुपद
(iii) 3z + 7 → घात 1 → रैखिक बहुपद
(iv) अचर 8 (= 8x⁰) → घात 0 → अचर बहुपद
(i) 5y³ + y² + 2y − 1 → घात 3 → त्रिघाती बहुपद
(ii) x² + 5x + 1 → घात 2 → द्विघाती बहुपद
(iii) 3z + 7 → घात 1 → रैखिक बहुपद
(iv) अचर 8 (= 8x⁰) → घात 0 → अचर बहुपद
3. रैखिक बहुपद (Linear Polynomial)
घात 1 वाले बहुपद रैखिक बहुपद कहलाते हैं।
उदाहरण 4 — भुजा x वाले एक वर्ग का परिमाप 4x है, जो चर x का एक रैखिक बहुपद है।
उदाहरण 5 — शतरंज क्लब ₹200 प्रवेश शुल्क और प्रत्येक मैच के लिए ₹50 लेता है। m मैचों के लिए कुल राशि = 200 + 50m (चर m का रैखिक बहुपद)। प्रत्येक अतिरिक्त मैच पर राशि ₹50 से बढ़ती है।
जब किसी रैखिक बहुपद को एक अचर के समीकृत करते हैं, तो रैखिक समीकरण प्राप्त होता है।
उदाहरण 6 — दो संख्याओं का योगफल 64 है। एक संख्या दूसरी से 10 अधिक है।
छोटी संख्या = x, बड़ी संख्या = x + 10
रैखिक समीकरण: x + (x + 10) = 64 ⟹ 2x + 10 = 64
हल करने पर: 2x = 54 ⟹ x = 27
∴ संख्याएँ 27 और 37 हैं।
4. आगत-निर्गत (इनपुट-आउटपुट) विधि और फलन (Function)
बहुपदों पर आगत-निर्गत (इनपुट-आउटपुट) विधियों से भी विचार किया जा सकता है। x के प्रत्येक मान के लिए बहुपद का एक संगत मान होता है — इस विधि को फलन (Function) कहा जाता है।
रैखिक बहुपद 2x + 3 पर विचार:
यदि x = 4 हो तो: 2 × 4 + 3 = 11
यदि x = −6 हो तो: 2 × (−6) + 3 = −9
2x + 3 एक रैखिक फलन है जबकि 10x + x² एक द्विघाती फलन है।
5. रैखिक प्रतिरूप (Linear Pattern)
रैखिक प्रतिरूप संख्याओं का एक अनुक्रम है, जहाँ दो क्रमागत पदों के मध्य अंतर अचर (निश्चित) होता है।
वर्गाकार टाइलों का प्रतिरूप (चित्र 2.4) — प्रत्येक चरण में पिछले चरण से 2 टाइलें अधिक जोड़ी जाती हैं।
| चरण | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| टाइलों की संख्या | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
n वें चरण में वर्गों की संख्या = 2n − 1 (यह रैखिक बहुपद घात 1 का उदाहरण है)
उदाहरण 7 — बेला के पास ₹100 हैं, वह प्रतिदिन ₹5 खर्च करती है।
n वें दिन शेष राशि = ₹(100 − 5n)
12वें दिन शेष राशि = 100 − 12×5 = ₹40
उदाहरण 8 — ऑटो-रिक्शा किराया ₹25 से प्रारंभ (प्रथम 2 किमी के लिए), फिर ₹15/किमी।
10 किमी के लिए किराया = 25 + 15 × 8 = ₹145
n किमी (n ≥ 2) के लिए किराया = 25 + 15×(n−2) = 15n − 5
6. रैखिक वृद्धि और रैखिक ह्रास (Linear Increase & Decrease)
रैखिक वृद्धि: जब कोई राशि समान अंतरालों के साथ अचर मान से बढ़ती है।
रैखिक ह्रास: जब कोई राशि समान अंतरालों के साथ अचर मान से घटती है।
रैखिक ह्रास: जब कोई राशि समान अंतरालों के साथ अचर मान से घटती है।
उदाहरण 9 (रैखिक वृद्धि) — यात्रा व्यय C(d) = 100 + 60d (d = दूरी किमी में)। प्रत्येक किमी पर व्यय ₹60 बढ़ता है।
| d (किमी) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| व्यय (₹) | 100 | 160 | 220 | 280 | 340 | 400 |
उदाहरण 10 (रैखिक ह्रास) — बेलनाकार टंकी में पानी की ऊँचाई h(t) = 3 − 0.5t (t = महीने)। प्रत्येक महीने ऊँचाई 0.5 मीटर घटती है।
| t (महीना) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| ऊँचाई h (मी.) | 3 | 2.5 | 2 | 1.5 | 1 |
7. रैखिक संबंध (Linear Relation) — y = ax + b
दो चरों x और y के मध्य संबंध को y = ax + b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसे रैखिक संबंध कहते हैं।
उदाहरण 11 — टेलीकॉम कंपनी का बिल: 10 GB पर बिल ₹350, 20 GB पर बिल ₹550। y = ax + b में a और b ज्ञात करें।
समीकरण 1: 350 = 10a + b
समीकरण 2: 550 = 20a + b
b = 350 − 10a (समीकरण 1 से); इसे समीकरण 2 में रखने पर: 550 = 20a + 350 − 10a
10a = 200 ⟹ a = 20; b = 350 − 200 = 150
∴ y = 20x + 150
✍️ उदाहरण सहित व्याख्या
⭐ Easy
प्रश्न 1 — बहुपद x² + 5x + 1 और 5y³ + y² − 8 की घात
दिया है → व्यंजक x² + 5x + 1 और 5y³ + y² − 8
चरण 1 → x² + 5x + 1 में x की अधिकतम घात 2 है
चरण 2 → 5y³ + y² − 8 में y की अधिकतम घात 3 है
∴ उत्तर: पहले व्यंजक की घात 2 और दूसरे की घात 3 है
⭐ Easy
प्रश्न 2 — रैखिक बहुपद 5x − 3 का मान, जब x = 2
दिया है → बहुपद 5x − 3, x = 2
सूत्र → x का मान बहुपद में प्रतिस्थापित करना
चरण 1 → 5 × 2 − 3 = 10 − 3
∴ उत्तर = 7
⭐⭐ Medium
प्रश्न 3 — दो संख्याओं का योगफल 64, एक संख्या दूसरी से 10 अधिक (उदाहरण 6)
दिया है → छोटी संख्या = x, बड़ी संख्या = x + 10, योगफल = 64
सूत्र → x + (x + 10) = 64
चरण 1 → 2x + 10 = 64
चरण 2 → 2x = 54 ⟹ x = 27
∴ उत्तर = संख्याएँ 27 और 37 हैं
⭐⭐ Medium
प्रश्न 4 — बेला के पास ₹40 शेष कब बचेंगे? (उदाहरण 7 आधारित)
दिया है → n वें दिन शेष राशि = 100 − 5n
सूत्र → 100 − 5n = 40
चरण 1 → 5n = 60
∴ उत्तर = n = 12 अर्थात 12वें दिन के पश्चात ₹40 शेष बचेंगे
⭐⭐ Medium
प्रश्न 5 — ऑटो-रिक्शा का किराया ₹130 के लिए कितने किमी? (उदाहरण 8 आधारित)
दिया है → n किमी के लिए किराया = 15n − 5 (n ≥ 2)
सूत्र → 15n − 5 = 130
चरण 1 → 15n = 135
∴ उत्तर = n = 9 किलोमीटर
⭐⭐ Medium
प्रश्न 6 — टेलीकॉम बिल में a और b ज्ञात करना (उदाहरण 11)
दिया है → x = 10 पर y = 350; x = 20 पर y = 550; संबंध y = ax + b
सूत्र → दो समीकरण बनाकर हल करना: 350 = 10a + b, 550 = 20a + b
चरण 1 → घटाने पर: 200 = 10a ⟹ a = 20
चरण 2 → b = 350 − 10(20) = 150
∴ उत्तर = y = 20x + 150
⭐⭐⭐ Hard
प्रश्न 7 — रेखा y = 2x + 1 पर बिंदु (7, 15) की जाँच (चित्र 2.5 आधारित)
दिया है → रेखा का समीकरण y = 2x + 1, जाँचना है बिंदु (7, 15)
सूत्र → यदि बिंदु रेखा पर है, तो निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करेंगे
चरण 1 → x = 7 रखने पर: y = 2(7) + 1 = 15
∴ उत्तर = चूँकि प्राप्त y = 15 दिए गए y से मेल खाता है, बिंदु (7, 15) रेखा पर स्थित है
⭐⭐⭐ Hard
प्रश्न 8 — बिंदुओं (−1,−3), (0,0), (1,3), (3,9), (4,12) से रेखा का समीकरण (उदाहरण 12)
दिया है → पाँचों बिंदु एक सरल रेखा पर स्थित हैं
चरण 1 → प्रत्येक बिंदु के लिए y-निर्देशांक का मान x-निर्देशांक के मान का तीन गुना है
∴ उत्तर = समीकरण y = 3x है
⭐⭐⭐ Hard
प्रश्न 9 — बिंदुओं (−3,6), (−2,4), (0,0), (1,−2), (2,−4), (3,−6) से रेखा का समीकरण (उदाहरण 13)
दिया है → छह बिंदु एक सरल रेखा पर स्थित हैं
चरण 1 → प्रत्येक बिंदु के लिए y-निर्देशांक, x-निर्देशांक के −2 गुना है
∴ उत्तर = समीकरण y = −2x है
⭐⭐⭐ Hard
प्रश्न 10 — रेखाओं y = x + 3, y = 2x + 5, y = 3x − 2 के y-अंतःखंड (चित्र 2.14)
दिया है → तीन रेखाओं के समीकरण
सूत्र → y = ax + b में b, y-अंतःखंड होता है (बिंदु (0, b) पर रेखा y-अक्ष को काटती है)
चरण 1 → y = 2x + 5, y-अक्ष को A(0, 5) पर काटती है
चरण 2 → y = x + 3, y-अक्ष को B(0, 3) पर काटती है
चरण 3 → y = 3x − 2, y-अक्ष को C(0, −2) पर काटती है
∴ उत्तर = y-अंतःखंड क्रमशः 5, 3 और −2 हैं
🧮 सूत्रों की व्युत्पत्ति / निष्कर्ष
y = ax + b में a (ढलान) और b (y-अंतःखंड) की भूमिका — निष्कर्ष
पाठ्यपुस्तक में चित्र 2.8 से चित्र 2.14 तक के आलेखों का अवलोकन करने के पश्चात निम्न निष्कर्ष निकाले गए हैं:
चरण 1 → समीकरण y = ax + b में a रेखा की ढलान (Slope) को प्रदर्शित करता है और b रेखा के y-अंतःखंड (y-intercept) को प्रदर्शित करता है।
चरण 2 → यदि b के मान को नियत रखते हुए a के मान में परिवर्तन करें, तो रेखा का ढलान परिवर्तित होता है जबकि रेखा का y-अंतःखंड नियत रहता है (जैसे y = 4x, y = 2x, y = x — सभी मूलबिंदु से गुजरती हैं)।
चरण 3 → यदि a के मान को नियत रखते हुए b के मान में परिवर्तन करें, तो रेखाओं का स्थान बदल जाता है, किंतु वे मूल रेखा के समानांतर रहती हैं (जैसे y = 2x − 1, y = 2x + 1, y = 2x + 5 — चित्र 2.13)।
∴ निष्कर्ष: जिन रेखाओं के ढलान समान हों किंतु y-अंतःखंड भिन्न हों, वे परस्पर समानांतर होती हैं।
ढलान और अनुक्रम के बीच संबंध (चित्र 2.4 आधारित)
दिया है → वर्गाकार टाइलों के प्रतिरूप में अनुक्रम 1, 3, 5, 7, 9, … प्राप्त होता है
चरण 1 → इस अनुक्रम में क्रमिक पदों के मध्य अंतर अचर मान 2 है
चरण 2 → रेखा y = 2x − 1 का ढलान (पद-संख्या और टाइलों की संख्या के मध्य संबंध व्यक्त करने वाली रेखा) भी 2 है
∴ निष्कर्ष: ढलान, क्रमागत पदों के मध्य अचर अंतर को दर्शाता है
📐 महत्वपूर्ण आरेख
चित्र 2.5 — सरल रेखा y = 2x + 1 (दो बिंदुओं A व B से होकर)
चित्र 2.3 — आगत-निर्गत (इनपुट-आउटपुट) विधि के रूप में रैखिक व्यंजक 2x + 3
चित्र 2.14 — तीन रेखाओं के y-अंतःखंड (y = x+3, y = 2x+5, y = 3x−2)
चित्र 2.4 — वर्गाकार टाइलों का बढ़ता हुआ प्रतिरूप (n वें चरण में टाइलें = 2n − 1)
⚠️ सामान्य भूलें
- ⚠️ पद, चर, गुणांक और अचर में अंतर न समझ पाना — जैसे 4x + 5y + 3 में विद्यार्थी 3 को भी “गुणांक” समझ लेते हैं, जबकि यह अचर पद है।
- ⚠️ बहुपद की घात ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले पद को न पहचान पाना — जैसे x⁴ − 3x³ + 6x² − 2x + 7 में घात 3 बता देना, जबकि सही घात 4 है।
- ⚠️ रैखिक बहुपद (घात 1) और द्विघाती बहुपद (घात 2) में भ्रमित होना — जैसे 2x + 3 को द्विघाती समझ लेना।
- ⚠️ y = ax + b में a (ढलान) और b (y-अंतःखंड) की भूमिका को उल्टा समझना।
- ⚠️ आगत-निर्गत विधि में ऋणात्मक मान (जैसे x = −6) प्रतिस्थापित करते समय चिह्न की गलती करना।
- ⚠️ रैखिक प्रतिरूप में क्रमागत पदों का अंतर निकालते समय सही क्रम में घटाना भूल जाना।
💡 परीक्षा टिप्स
- 💡 बहुपद में पद, चर, गुणांक और अचर पद को पहचानने के प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं — व्यंजक को ध्यान से पढ़कर हर भाग को अलग-अलग चिन्हित करें।
- 💡 y = ax + b के रूप में दिए गए वास्तविक जीवन के प्रश्नों (किराया, बिल, शुल्क आदि) में सबसे पहले दो ज्ञात स्थितियों से दो समीकरण बनाएं और हल करें (जैसे उदाहरण 11)।
- 💡 रेखा का आलेख बनाते समय कम से कम दो बिंदु ज्ञात करना पर्याप्त है — x = 0 रखकर एक बिंदु व किसी अन्य सुविधाजनक x मान से दूसरा बिंदु लें।
- 💡 यदि किसी रेखा का समीकरण y = ax है (अर्थात b = 0), तो वह रेखा सदैव मूलबिंदु (0, 0) से होकर जाती है।
- 💡 समान ढलान (a) वाली रेखाएँ आपस में समानांतर होती हैं — इस तथ्य का उपयोग समानांतर रेखाओं से जुड़े प्रश्नों में करें।
- 💡 n वें पद का सूत्र बनाने के लिए पहले तालिका बनाकर क्रमागत पदों का अंतर देखें, फिर सामान्यीकरण करें (जैसे 2n − 1, 100 − 5n)।
🧠 माइंड मैप / सारांश
रैखिक बहुपदों का परिचय
बीजीय व्यंजक (पद, चर, गुणांक, अचर)
→ एकचरीय व्यंजक (घात की अवधारणा)
→ रैखिक बहुपद (घात 1)
→ रैखिक समीकरण (बहुपद = अचर)
→ रैखिक प्रतिरूप (अचर अंतर वाला अनुक्रम)
→ रैखिक वृद्धि / ह्रास
→ रैखिक संबंध y = ax + b
→ आलेख (ग्राफ) — a = ढलान, b = y-अंतःखंड
📌 याद रखें
- 📌 बीजीय व्यंजक 2x² + 5xy − 3y² में x व y चर हैं, 2x², 5xy व −3y² पद हैं, और 2, 5, −3 पदों के गुणांक हैं।
- 📌 एकचरीय व्यंजक वे बीजीय व्यंजक हैं जिनमें केवल एक ही चर होता है (जैसे x² + 5x + 3)।
- 📌 किसी एकचरीय व्यंजक में चर की उच्चतम घातांक उस व्यंजक की घात कहलाती है।
- 📌 जिस बहुपद की घात एक होती है उसे रैखिक बहुपद कहते हैं (जैसे 2x + 3, 5 − 4y)।
- 📌 रैखिक वृद्धि — राशि समान समयांतरालों में निश्चित दर से बढ़ती है। रैखिक ह्रास — राशि समान समयांतरालों में निश्चित दर से घटती है।
- 📌 रैखिक प्रतिरूप संख्याओं का ऐसा अनुक्रम है जिसमें क्रमागत पदों के मध्य अंतर अचर होता है।
- 📌 दो चरों x व y के मध्य रैखिक संबंध को सरल रेखा y = ax + b से व्यक्त किया जाता है — a रेखा का ढलान है, b रेखा का y-अंतःखंड है।
- 📌 जब b = 0 हो तो रेखा का समीकरण y = ax है और रेखा मूलबिंदु से होकर जाती है।
- 📌 रैखिक वृद्धि को धनात्मक ढलान वाली रेखा से और रैखिक ह्रास को ऋणात्मक ढलान वाली रेखा से दर्शाया जाता है।
- 📌 समानांतर रेखाएँ y = ax + b के रूप में होती हैं, जहाँ ढलान a निश्चित रहता है और y-अंतःखंड b का मान बदलता है।
📘 अभ्यास हेतु इसी अध्याय (रैखिक बहुपदों का परिचय) की प्रश्नावली 2.1 से 2.6 तथा अंतिम प्रश्नावली के सभी प्रश्न हल करें, जो पाठ्यपुस्तक में दिए गए हैं। नियमित अभ्यास से ही रैखिक बहुपद, रैखिक संबंध व आलेख बनाने में दक्षता प्राप्त होगी।
Leave a Reply