अध्याय 4

बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण

कक्षा 9 | NCERT गणित मंजरी | संपूर्ण नोट्स

📖 परिचय (Introduction)

पिछले अध्यायों में आपने रैखिक बहुपदों (लीनियर पॉलिनॉमियल) और रैखिक समीकरणों का अध्ययन किया था। इस अध्याय में हम एक कदम आगे बढ़ते हुए बीजीय सर्वसमिकाओं (अल्जेब्रिक आइडेंटिटीज) का अन्वेषण एवं अध्ययन करेंगे। ये गणित के विशेष नियम होते हैं, जो न केवल जटिल गणनाओं को सरल बनाते हैं अपितु बीजीय व्यंजकों को कुशलतापूर्वक हल करने में भी सहायक होते हैं।

यह अध्याय संख्या पद्धति (अध्याय 3) की नींव पर आगे बढ़ता है और आने वाले अध्यायों में द्विघात समीकरणों तथा बहुपदों के अध्ययन का आधार बनाता है। सर्वसमिकाओं से जुड़े गुणनखंडन (Factorization), विस्तार (Expansion) और सरलीकरण (Simplification) के प्रश्न परीक्षा में नियमित रूप से पूछे जाते हैं।

🔢 सूत्र त्वरित संदर्भ (Formula Quick Reference)

सर्वसमिका (सूत्र)	व्याख्या
(x + y)² = x² + 2xy + y²	दो पदों के योग का वर्ग
(x − y)² = x² − 2xy + y²	दो पदों के अंतर का वर्ग
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx	तीन पदों के योग का वर्ग
(x + y)(x − y) = x² − y²	दो वर्गों का अंतर (वर्ग-अंतर सर्वसमिका)
a² = (a + b)(a − b) + b²	श्रीधराचार्य की संख्याओं के वर्ग की शीघ्र गणना विधि
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab	द्विपद व्यंजकों के गुणन का व्यापक रूप
(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd	दो द्विपद व्यंजकों (px+a) और (qx+b) के गुणन का सामान्य रूप
x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²)	दो घनों का अंतर
x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)	दो घनों का योग
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³	दो पदों के योग का घन
(x − y)³ = x³ − 3x²y + 3xy² − y³	दो पदों के अंतर का घन
x³+y³+z³−3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²−xy−xz−yz)	तीन पदों के घनों के योग की सर्वसमिका

🧠 मुख्य अवधारणाएँ (Key Concepts)

1. सर्वसमिका क्या है? (What is an Identity?)

अध्याय की शुरुआत एक रोचक प्रतिरूप से होती है — किन्हीं तीन क्रमागत वर्ग संख्याओं (जैसे 1, 4, 9) में सबसे छोटी और सबसे बड़ी वर्ग संख्या को जोड़ें, फिर मध्य की वर्ग संख्या का दोगुना घटाएँ — परिणाम सदैव 2 आता है! उदाहरण: (1+9) − (2×4) = 2, (9+16+25 में) (9+25) − (2×16) = 2। यह प्रतिरूप हर तीन क्रमागत वर्ग संख्याओं के लिए सत्य रहता है।

एक बीजीय सर्वसमिका वह समीकरण होता है, जो उसमें उपस्थित चर के सभी मानों के लिए सत्य होता है, जबकि यह आवश्यक नहीं है कि एक साधारण समीकरण चर के सभी मानों के लिए सत्य हो।

अंतर स्पष्ट करने वाला उदाहरण:

x² − 1 = 24 केवल x = 5 अथवा −5 के लिए ही सत्य है, इसलिए यह एक साधारण समीकरण है (सर्वसमिका नहीं)।

परंतु (x + y)² = x² + 2xy + y², x और y के सभी मानों के लिए सत्य है। अतः यह एक सर्वसमिका है।

2. सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का दृश्यांकन

दो रेखाखंड, जिनकी लंबाइयाँ a और b इकाई हैं, मिलाकर (a+b) इकाई लंबा रेखाखंड बनाया जाता है। इस (a+b) इकाई भुजा वाले वर्ग को छोटे वर्गों और आयतों में विभाजित किया जाता है — एक वर्ग a² क्षेत्रफल का, दूसरा वर्ग b² क्षेत्रफल का, और दो आयत, प्रत्येक ab क्षेत्रफल के।

(a + b)² = a² + 2ab + b² — यह a और b लंबाई के सभी रेखाखंडों के लिए मान्य है।

वितरण गुणधर्म द्वारा जाँच: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a(a+b) + b(a+b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

ऋणात्मक व परिमेय संख्याओं के लिए जाँच (उदाहरण 2):

माना a = −2, b = −3 है। तो (a+b) = −5, अतः (a+b)² = 25

साथ ही a² = 4, b² = 9, 2ab = 12। अतः a²+2ab+b² = 4+12+9 = 25 है — सत्य है!

इसी प्रकार a = −2/3 और b = 3/4 के लिए भी (a+b)² = a²+2ab+b² = 1/144 सत्य पाया गया।

3. सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² का दृश्यांकन

यदि (a+b)² = a²+2ab+b² में b के स्थान पर −b रखा जाए, तो (a−b)² = a²−2ab+b² प्राप्त होता है, जो स्वयं भी एक सर्वसमिका है। ज्यामितीय रूप से: a इकाई भुजा वाले वर्ग को दो भागों में विभाजित करें — एक भाग की लंबाई (a−b) और दूसरे की लंबाई b। बड़े वर्ग का क्षेत्रफल a² है; इसमें से दोनों आयतों (ab और b(a−b)) के क्षेत्रफल घटाने पर (a−b)² प्राप्त होता है।

(a − b)² = a² − ab − b(a−b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b²

अनुप्रयोग — क्रमागत वर्गों का प्रतिरूप सिद्ध करना:

कोई भी तीन क्रमागत संख्याएँ (n−1), n और (n+1) के रूप में ली जा सकती हैं। इनके वर्ग क्रमशः (n−1)², n², (n+1)² हैं।

सबसे छोटे और सबसे बड़े वर्ग का योगफल = (n−1)² + (n+1)² = n²−2n+1+n²+2n+1 = 2n²+2

इससे 2n² घटाने पर परिणाम सदैव 2 आता है — यही परिचय में देखे गए प्रतिरूप का बीजगणितीय प्रमाण है!

4. सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

तीन संख्याओं a, b, c के योगफल का वर्ग ज्ञात करने के लिए b+c को d से विस्थापित करते हैं और (a+d)² = a²+2ad+d² का उपयोग करते हैं। d के स्थान पर (b+c) पुनः रखने पर यह सर्वसमिका प्राप्त होती है।

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

इसकी ज्यामितीय व्याख्या a+b+c भुजा वाले एक वर्ग को नौ छोटे वर्गों/आयतों में विभाजित करके की जाती है (चित्र 4.4)।

अंकीय अनुप्रयोग (उदाहरण 9):

119² ज्ञात करने के लिए: 119 = 100 + 10 + 9

119² = 100² + 10² + 9² + 2(100)(10) + 2(100)(9) + 2(10)(9)

= 10000 + 100 + 81 + 2000 + 1800 + 180 = 14161

5. वर्ग-अंतर सर्वसमिका और श्रीधराचार्य की विधि

कक्षा 8 में सीखी गई सर्वसमिका a² − b² = (a+b)(a−b) को यदि a² = (a+b)(a−b) + b² के रूप में लिखा जाए, तो यह संख्याओं के वर्ग शीघ्र ज्ञात करने में अधिक उपयोगी हो जाती है। 750 सामान्य संवत में ‘श्रीधराचार्य’ ने इस विधि को प्रस्तावित किया था।

a² = (a + b)(a − b) + b²

श्रीधराचार्य विधि से 55² ज्ञात करना:

55² = (55+5)(55−5) + 5²

= 60 × 50 + 25 = 3000 + 25 = 3025

6. बीजीय टाइलों द्वारा गुणनखंडन (x+a)(x+b) रूप)

एक आयत, जिसकी भुजाएँ (x+3) और (x+4) इकाई हैं, का क्षेत्रफल (x+3)(x+4) वर्ग इकाई है। वितरण गुणधर्म से (x+3)(x+4) = x²+3x+4x+12 = x²+7x+12 प्राप्त होता है। बीजीय टाइलों (एक x² टाइल, 7 x-टाइलें, 12 इकाई टाइलें) को आयताकार रूप में व्यवस्थित करके इसे दृश्य रूप में दिखाया जा सकता है।

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

गुणनखंडन के लिए विपरीत दिशा में कार्य करते हैं: x² + 7x + 12 को x² + (a+b)x + ab से तुलना करने पर a+b=7 और ab=12 चाहिए — अतः a=3, b=4, और x²+7x+12 = (x+3)(x+4)।

ऋणात्मक गुणांक वाला उदाहरण (उदाहरण 12):

x² − 5x + 6 का गुणनखंड करने के लिए a+b = −5 और ab = 6 चाहिए

ये दोनों शर्तें a = −2, b = −3 (या a=−3, b=−2) के लिए संतुष्ट होती हैं

∴ x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

7. (a+b)³, (a−b)³ और घन-योग/घन-अंतर की सर्वसमिकाएँ

वितरण गुणधर्म से (a+b)³ = (a+b)(a²+2ab+b²) = a³+3a²b+3ab²+b³। इसका ज्यामितीय दृश्यांकन a+b भुजा वाले घन को दो घनों (a³, b³) और छह घनाभों (3a²b व 3ab² के योग) में विभाजित करके किया जाता है।

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ (b को −b से विस्थापित करने पर)

वितरण गुणधर्म से आगे प्रयोग करने पर दो नई सर्वसमिकाएँ भी प्राप्त होती हैं:

x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²)
x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)

अनुप्रयोग (उदाहरण 13): उस घन की भुजा ज्ञात करना जिसका आयतन p³+6p²q+12pq²+8q³ है।

p³+6p²q+12pq²+8q³ की तुलना (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ से करने पर

= (p)³ + 3(p)²(2q) + 3(p)(2q)² + (2q)³ = (p + 2q)³

∴ घन की भुजा = p + 2q इकाई

8. x³+y³+z³−3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²−xy−xz−yz)

(x+y+z) और (x²+y²+z²−xy−xz−yz) का गुणा करने पर, सभी पदों को व्यवस्थित करने पर बीच के अनेक पद कट जाते हैं और अंत में सरल परिणाम x³+y³+z³−3xyz प्राप्त होता है। यह सर्वसमिका उन प्रश्नों में बहुत उपयोगी है जहाँ x+y+z, xyz और x²+y²+z² दिए हों और x³+y³+z³ ज्ञात करना हो।

(x + y + z)(x² + y² + z² − xy − xz − yz) = x³ + y³ + z³ − 3xyz

अनुप्रयोग (उदाहरण 15): तीन संख्याओं का योगफल 10, गुणनफल 25, वर्गों का योगफल 38 है। घनों का योगफल ज्ञात करें।

माना x+y+z=10, xyz=25, x²+y²+z²=38

(x+y+z)² सर्वसमिका से: 100 = 38 + 2(xy+xz+yz) ⟹ xy+xz+yz = 31

(10)(38−31) = x³+y³+z³ − 3(25) ⟹ x³+y³+z³ = 455 − 310 = 145

9. परिमेय व्यंजकों का सरलीकरण (Simplification of Rational Expressions)

गुणनखंडन विधि का उपयोग करके परिमेय बीजीय व्यंजकों को सरल किया जा सकता है — अंश और हर, दोनों को गुणनखंडित करके उनके सार्व गुणनखंड को काटा जाता है (बशर्ते वह शून्य के समान न हो)।

उदाहरण 16: (x²−7x+12)/(5x²+5x−100) को सरल कीजिए, जहाँ 5x²+5x−100 ≠ 0

अंश: x²−7x+12 = (x−3)(x−4)

हर: 5x²+5x−100 = 5(x²+x−20) = 5(x−4)(x+5)

सार्व गुणनखंड (x−4) को काटने पर: (x²−7x+12)/(5x²+5x−100) = (x−3)/[5(x+5)]

✍️ उदाहरण सहित व्याख्या (Worked Examples)

⭐ Easy

उदाहरण 3: (5x + 2y)² का विस्तार कीजिए।

दिया है → a = 5x तथा b = 2y

सूत्र → (a+b)² = a² + 2ab + b²

चरण 1 → (5x+2y)² = (5x)² + 2(5x)(2y) + (2y)²

चरण 2 → = 25x² + 20xy + 4y²

∴ उत्तर = 25x² + 20xy + 4y²

⭐ Easy

उदाहरण 4: सर्वसमिका का उपयोग करके 43² की गणना कीजिए।

दिया है → 43 = 40 + 3

सूत्र → (a+b)² = a² + 2ab + b²

चरण 1 → (40+3)² = 40² + 2×40×3 + 3²

चरण 2 → = 1600 + 240 + 9

∴ उत्तर = 1849

⭐⭐ Medium

उदाहरण 5: बीजीय व्यंजक x² + 4x + 4 का गुणनखंड कीजिए।

दिया है → व्यंजक x² + 4x + 4

सूत्र → a² + 2ab + b² = (a+b)²

चरण 1 → x² = (x)², 4 = 2², 4x = 2(2)(x)

चरण 2 → तुलना करने पर a = x और b = 2

∴ उत्तर = x² + 4x + 4 = (x + 2)², अतः (x+2) एक गुणनखंड है

⭐⭐ Medium

उदाहरण 6: 36x² + 12x + 1 का गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

दिया है → व्यंजक 36x² + 12x + 1

सूत्र → a² + 2ab + b² = (a+b)²

चरण 1 → 36x² + 12x + 1 = (6x)² + 2(6x)(1) + 1²

चरण 2 → यहाँ a = 6x तथा b = 1

∴ उत्तर = 36x² + 12x + 1 = (6x + 1)²

⭐⭐ Medium

उदाहरण 7: 50p² + 60pq + 18q² का गुणनखंड कीजिए।

दिया है → व्यंजक 50p² + 60pq + 18q²

चरण 1 → पदों में 2 सार्व गुणनखंड है: 50p²+60pq+18q² = 2(25p²+30pq+9q²)

चरण 2 → 25p² + 30pq + 9q² = (5p)² + 2(5p)(3q) + (3q)²

चरण 3 → = (5p + 3q)²

∴ उत्तर = 50p² + 60pq + 18q² = 2(5p + 3q)²

⭐⭐ Medium

उदाहरण 8: सर्वसमिका (a−b)² का उपयोग करके 29² की गणना कीजिए।

दिया है → 29 = 30 − 1

सूत्र → (a−b)² = a² − 2ab + b²

चरण 1 → (30−1)² = 30² − 2×30×1 + 1²

चरण 2 → = 900 − 60 + 1

∴ उत्तर = 841

⭐⭐⭐ Hard

उदाहरण 10: x² + 7x + 12 का गुणनखंड कीजिए (a,b ज्ञात करने की विधि से)।

दिया है → x² + 7x + 12 = x² + (a+b)x + ab

सूत्र → x-पद और अचर पद के गुणांकों की तुलना: a+b = 7, ab = 12

चरण 1 → यह तभी संभव है जब a=3, b=4 (या a=4, b=3)

∴ उत्तर = x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

⭐⭐⭐ Hard

उदाहरण 11: x² + 11x + 30 का गुणनखंड कीजिए।

दिया है → x² + 11x + 30 = x² + (a+b)x + ab, अतः a+b=11, ab=30

चरण 1 → a=2,b=15 या a=3,b=10 जाँचने पर ab=30 होने पर भी a+b≠11 — अनुपयुक्त

चरण 2 → 30 के गुणनखंडों में a=5, b=6 लेने पर a+b=11 और ab=30 दोनों संतुष्ट होते हैं

चरण 3 → x-पद 11x को 5x+6x के रूप में विभाजित करें: x²+5x+6x+30 = x(x+5)+6(x+5)

∴ उत्तर = x² + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)

⭐⭐⭐ Hard

उदाहरण 14: व्यंजक 8n³ − 60n²m + 150nm² − 125m³ को (a−b)³ रूप में पहचानिए।

दिया है → 8n³ − 60n²m + 150nm² − 125m³

सूत्र → (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

चरण 1 → इसे (2n)³ − 3(2n)²(5m) + 3(2n)(5m)² − (5m)³ के रूप में पुनः लिखें

चरण 2 → तुलना करने पर a = 2n, b = 5m

∴ उत्तर = 8n³ − 60n²m + 150nm² − 125m³ = (2n − 5m)³

⭐⭐⭐ Hard

उदाहरण 18: एक आयताकार ताल की चौड़ाई उसकी लंबाई से 4 मीटर कम है और क्षेत्रफल 96 वर्ग मीटर है। लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

दिया है → ताल की लंबाई = x मीटर, चौड़ाई = x−4 मीटर, क्षेत्रफल = 96 वर्ग मीटर

सूत्र → लंबाई × चौड़ाई = क्षेत्रफल

चरण 1 → x(x−4) = 96 ⟹ x² − 4x − 96 = 0

चरण 2 → −96 के ऐसे गुणनखंड चाहिए जिनका योग −4 हो: (−12)×8=−96, (−12)+8=−4

चरण 3 → x²−12x+8x−96 = x(x−12)+8(x−12) = (x−12)(x+8) = 0

चरण 4 → x=12 या x=−8; चूँकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, x=−8 अस्वीकार्य

∴ उत्तर = लंबाई x = 12 मीटर, चौड़ाई = 12−4 = 8 मीटर

📐 सूत्रों की व्युत्पत्ति (Derivations)

(a + b + c)² की ज्यामितीय व्युत्पत्ति

चरण 1 — मान लीजिए b + c = d है

चरण 2 — हमें पहले से ज्ञात है कि (a + d)² = a² + 2ad + d²

चरण 3 — d को (b+c) से पुनः प्रतिस्थापित करने पर: a² + 2a(b+c) + (b+c)²

चरण 4 — (b+c)² = b² + 2bc + c² का विस्तार करने पर: a² + 2ab + 2ac + b² + 2bc + c²

निष्कर्ष — (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

(a + b)³ की व्युत्पत्ति (वितरण गुणधर्म द्वारा)

चरण 1 — (a+b)³ = (a+b)(a+b)² = (a+b)(a²+2ab+b²)

चरण 2 — वितरण गुणधर्म लगाने पर: a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

चरण 3 — समान पदों को जोड़ने पर: a³ + 3a²b + 3ab² + b³

निष्कर्ष — (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

ज्यामितीय व्याख्या: (a+b) भुजा वाले घन को दो घनों (आयतन a³ तथा b³) और छह घनाभों में विभाजित किया जाता है। तीन घनाभों की विमाएँ a×a×b (आयतन a²b प्रत्येक) और तीन घनाभों की विमाएँ a×b×b (आयतन ab² प्रत्येक) होती हैं। छह घनाभों का कुल आयतन 3a²b + 3ab² है।

यदि b को −b से विस्थापित करें: [a+(−b)]³ = a³ + 3a²(−b) + 3a(−b)² + (−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

x³ − y³ और x³ + y³ की व्युत्पत्ति

पहली सर्वसमिका (x−y)(x²+xy+y²):

(x−y)(x²+xy+y²) = x³+x²y+xy² − x²y−xy²−y³

समान पद (x²y और xy²) आपस में कट जाते हैं

∴ (x−y)(x²+xy+y²) = x³ − y³

यह भी ध्यान दें: x−y, x²−y² और x³−y³ का सार्व गुणनखंड है। इसी प्रकार x−y, x⁴−y⁴ का भी गुणनखंड है क्योंकि x⁴−y⁴ = (x²)²−(y²)² = (x²−y²)(x²+y²)।

x³+y³+z³−3xyz की व्युत्पत्ति

चरण 1 — (x+y+z)(x²+y²+z²−xy−xz−yz) का विस्तार करें

चरण 2 — = (x³+xy²+xz²−x²y−x²z−xyz) + (x²y+y³+yz²−xy²−xyz−y²z) + (x²z+y²z+z³−xyz−xz²−yz²)

चरण 3 — सभी धनात्मक-ऋणात्मक समान पद (जैसे x²y और −x²y) एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं

चरण 4 — शेष रहता है: x³ + y³ + z³ − xyz − xyz − xyz = x³+y³+z³ − 3xyz

निष्कर्ष — (x+y+z)(x²+y²+z²−xy−xz−yz) = x³+y³+z³−3xyz

📊 महत्वपूर्ण आरेख (Important Diagrams)

चित्र 4.2 — (a+b) इकाई भुजा वाला वर्ग: (a+b)² = a² + 2ab + b²

चित्र 4.3 — a इकाई भुजा वाला वर्ग: (a−b)² = a² − 2ab + b² का दृश्यांकन

चित्र 4.7 — बीजीय टाइलों द्वारा x² + 7x + 12 = (x+3)(x+4) का गुणनखंड (1 x²-टाइल, 7 x-टाइलें, 12 इकाई टाइलें)

⚠️ सामान्य भूलें (Common Mistakes)

⚠️ यह मान लेना कि (a+b)² = a² + b² होता है — यह गलत है! सही सर्वसमिका (a+b)² = a² + 2ab + b² है। पाठ में दिखाया गया है कि a=10, b=2 के लिए (a+b)² = 144 जबकि a²+b² = 104, दोनों बराबर नहीं हैं।

⚠️ x² + (a+b)x + ab का गुणनखंड करते समय गलत जोड़ी (a,b) चुनना — जैसे x²+11x+30 में a=2,b=15 लेने पर ab=30 तो मिलता है परंतु a+b=17≠11, इसलिए दोनों शर्तें एक साथ जाँचना आवश्यक है (a=5, b=6 सही जोड़ी है)।

⚠️ (a−b)³ के विस्तार में चिह्न (साइन) की भूल करना — याद रखें (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, इसमें पद एकांतर क्रम (alternating) में धनात्मक-ऋणात्मक होते हैं (दो पद धनात्मक, दो पद ऋणात्मक)।

⚠️ परिमेय व्यंजकों को सरल करते समय हर में उपस्थित व्यंजक को शून्य के समान मानते हुए काट देना — सदैव यह जाँचना आवश्यक है कि हर शून्य के समान नहीं है (जैसे उदाहरण 16 में 5x²+5x−100 ≠ 0 मानते हुए सरलीकरण किया गया)।

⚠️ यह भूल जाना कि a³−b³ के गुणनखंड (a−b)(a²+ab+b²) में मध्य पद ‘ab’ है, न कि ‘−ab’। इसी प्रकार a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²) में मध्य पद ऋणात्मक ‘−ab’ होता है — दोनों को उलट न करें।

⚠️ x³+y³+z³−3xyz सर्वसमिका के उपयोग में xy+xz+yz का मान ज्ञात करने के लिए (x+y+z)² सर्वसमिका का उपयोग करना भूल जाना — यह चरण उदाहरण 15 में आवश्यक था।

💡 परीक्षा टिप्स (Exam Tips)

💡 बड़ी संख्याओं के वर्ग तेज़ी से निकालने के लिए संख्या को (a+b) या (a−b) के रूप में तोड़ें — जैसे 43² के लिए (40+3)² और 29² के लिए (30−1)² का उपयोग करें। 10 के निकटतम संख्या चुनना गणना को आसान बनाता है।

💡 श्रीधराचार्य की विधि a² = (a+b)(a−b) + b² विशेष रूप से तब उपयोगी है जब a के निकट कोई संख्या हो जिससे गुणा आसान हो जाए — जैसे 55² के लिए (55+5)(55−5)+5² = 60×50+25।

💡 x²+(a+b)x+ab के गुणनखंड में शीघ्रता से a, b ढूँढ़ने के लिए स्थिर पद (ab) के गुणनखंडों की जोड़ियाँ लिखें और जाँचें कि किसकी जोड़ी का योग बीच वाले पद के गुणांक के बराबर है।

💡 प्रश्नों में अक्सर पूछा जाता है कि किसी बड़े गुणनफल (जैसे 17×21 या 104×96) को बिना सीधे गुणा किए ज्ञात करें — इसके लिए (x+a)(x+b) या (x+y)(x−y) सर्वसमिका पहचानना ज़रूरी है (17×21 = (19−2)(19+2) = 19²−4)।

💡 घनाभ/घन के आयतन और आयत के क्षेत्रफल से जुड़े शब्द-प्रश्नों (word problems) में सबसे पहले दिए गए व्यंजक का गुणनखंड करें, फिर विमाएँ (लंबाई, चौड़ाई, ऊँचाई) पहचानें — जैसे उदाहरण 17 और 18 में दिखाया गया है।

💡 x³+y³+z³−3xyz प्रकार के प्रश्नों में हमेशा जाँचें कि x+y+z, xyz, x²+y²+z² में से कौन-कौन दिए गए हैं और कौन ज्ञात करना है — फिर सही सर्वसमिका को चरणबद्ध ढंग से लगाएँ।

🗺️ माइंड मैप / सारांश (Mind Map)

बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण

(x+y)² = x²+2xy+y² | (x−y)² = x²−2xy+y²

↓

(x+y+z)² = x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx

↓

(x+y)(x−y) = x²−y² | (x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab

↓

(x+y)³ = x³+3x²y+3xy²+y³ | (x−y)³ = x³−3x²y+3xy²−y³

↓

x³−y³ = (x−y)(x²+xy+y²) | x³+y³ = (x+y)(x²−xy+y²)

↓

x³+y³+z³−3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²−xy−xz−yz)

↓ अनुप्रयोग

गुणनखंडन • अंकीय गणना • बीजीय टाइलें • परिमेय व्यंजकों का सरलीकरण

📌 याद रखें (Key Points)

📌 सर्वसमिकाएँ ऐसे समीकरण होते हैं, जो चरों के सभी मानों के लिए सत्य होते हैं
📌 ज्यामितीय प्रदर्शों (मॉडलों) या बीजीय टाइलों का उपयोग सर्वसमिकाओं के दृश्यांकन की विधियों में से एक है
📌 सर्वसमिकाओं का उपयोग बीजीय व्यंजकों के गुणनखंड के लिए भी किया जा सकता है
📌 द्विघातीय व्यंजकों के गुणनखंडन को बीजीय टाइलों की सहायता से दृश्यांकित किया जा सकता है
📌 सर्वसमिकाओं का उपयोग संख्याओं का वर्ग करने या संख्याओं के गुणनफल का मूल्यांकन करने जैसी गणनाओं को सरल बनाने के लिए भी किया जा सकता है
📌 परिमेय बीजीय व्यंजकों को ‘अंश’ व ‘हर’ को गुणनखंडित करके तथा सार्व गुणनखंड को हटाकर हल किया जा सकता है, जबकि ऐसा गुणनखंड विद्यमान हो और वह शून्य के समान न हो
📌 (x + y)² = x² + 2xy + y²
📌 (x − y)² = x² − 2xy + y²
📌 (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx
📌 (x + y)(x − y) = x² − y²
📌 (x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab
📌 (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad+bc)x + bd
📌 x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²)
📌 x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²)
📌 (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
📌 (x − y)³ = x³ − 3x²y + 3xy² − y³
📌 x³ + y³ + z³ − 3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²−xy−xz−yz)

📝 अभ्यास हेतु प्रश्न: इस अध्याय के महत्वपूर्ण प्रश्नों के गहन अभ्यास के लिए कृपया साथी “Important Questions” फाइल देखें, जो इसी डिज़ाइन थीम में तैयार की गई है।

📖 परिचय (Introduction)

🔢 सूत्र त्वरित संदर्भ (Formula Quick Reference)

🧠 मुख्य अवधारणाएँ (Key Concepts)

1. सर्वसमिका क्या है? (What is an Identity?)

2. सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का दृश्यांकन

3. सर्वसमिका (a − b)² = a² − 2ab + b² का दृश्यांकन

4. सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

5. वर्ग-अंतर सर्वसमिका और श्रीधराचार्य की विधि

6. बीजीय टाइलों द्वारा गुणनखंडन (x+a)(x+b) रूप)

7. (a+b)³, (a−b)³ और घन-योग/घन-अंतर की सर्वसमिकाएँ

8. x³+y³+z³−3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²−xy−xz−yz)

9. परिमेय व्यंजकों का सरलीकरण (Simplification of Rational Expressions)

✍️ उदाहरण सहित व्याख्या (Worked Examples)

📐 सूत्रों की व्युत्पत्ति (Derivations)

(a + b + c)² की ज्यामितीय व्युत्पत्ति

(a + b)³ की व्युत्पत्ति (वितरण गुणधर्म द्वारा)

x³ − y³ और x³ + y³ की व्युत्पत्ति

x³+y³+z³−3xyz की व्युत्पत्ति

📊 महत्वपूर्ण आरेख (Important Diagrams)

⚠️ सामान्य भूलें (Common Mistakes)

💡 परीक्षा टिप्स (Exam Tips)

🗺️ माइंड मैप / सारांश (Mind Map)

📌 याद रखें (Key Points)

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