वर्ग और घन
अध्याय 1 — महत्वपूर्ण प्रश्नोत्तर (परीक्षा के लिए)
भाग 1
लघु उत्तरीय प्रश्न
15 प्रश्न
जब किसी संख्या को स्वयं से गुणा किया जाता है, तो प्राप्त गुणनफल को वर्ग संख्या कहते हैं।
उदाहरण: 3 × 3 = 9, अत: 9 एक वर्ग संख्या है।
प्राकृत संख्याओं (1, 2, 3, 4, …) के वर्गों को पूर्ण वर्ग कहते हैं।
उदाहरण: 1, 4, 9, 16, 25 … सभी पूर्ण वर्ग हैं।
सभी पूर्ण वर्ग संख्याएँ 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होती हैं।
कोई भी पूर्ण वर्ग 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त नहीं होता।
नहीं। कोई भी पूर्ण वर्ग संख्या 2, 3, 7 या 8 पर समाप्त नहीं होती।
अत: जिस संख्या का इकाई अंक 3 है, वह कभी पूर्ण वर्ग नहीं होगी।
यदि y = x² हो, तो y का वर्गमूल x होता है। वर्गमूल का चिह्न √ होता है।
√49 = 7, क्योंकि 7 × 7 = 49।
पहली n विषम संख्याओं का योग n² होता है।
किसी संख्या को स्वयं से तीन बार गुणा करने पर प्राप्त संख्या को घन कहते हैं।
उदाहरण: 2 × 2 × 2 = 8, अत: 8 एक घन संख्या है।
यदि y = x³ हो तो y का घनमूल x होता है। घनमूल का चिह्न ∛ होता है।
∛8 = 2, क्योंकि 2 × 2 × 2 = 8।
नहीं। 2³ = 8 और 3³ = 27 होता है। 8 और 27 के बीच 9 आता है, और कोई भी प्राकृत संख्या ऐसी नहीं जिसका घन 9 हो।
अत: 9 एक पूर्ण घन नहीं है।
1729 को हार्डी-रामानुजन संख्या कहते हैं। यह वह न्यूनतम प्राकृत संख्या है जिसे दो घनों के योग के रूप में दो अलग-अलग प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है।
वे संख्याएँ जिन्हें दो घनों के योग के रूप में दो अलग-अलग प्रकार से व्यक्त किया जा सके, टैक्सीकैब संख्याएँ कहलाती हैं।
उदाहरण: 1729, 4104, 13832
156 = 2 × 2 × 3 × 13
गुणनखंडों के युग्म नहीं बन पाते, इसलिए 156 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
उदाहरण: 36वीं विषम संख्या = 2 × 36 – 1 = 71
500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5
गुणनखंडों को तीन समान समूहों में नहीं बाँटा जा सकता।
अत: 500 एक पूर्ण घन नहीं है।
जब किसी संख्या को वर्ग किया जाता है, तो उसके अंत के शून्य दोगुने हो जाते हैं।
उदाहरण: 10² = 100 (2 शून्य), 100² = 10000 (4 शून्य)
इसलिए वर्गों के अंत में हमेशा सम संख्या में शून्य होते हैं।
भाग 2
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
10 प्रश्न
- प्रत्येक लॉकर को जितनी बार घुमाया जाता है, वह उस लॉकर संख्या के गुणनखंडों की संख्या के बराबर होता है।
- यदि गुणनखंडों की संख्या विषम है, तो लॉकर खुला रहता है।
- यदि गुणनखंडों की संख्या सम है, तो लॉकर बंद रहता है।
- केवल वर्ग संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है (क्योंकि एक गुणनखंड खुद से गुणा होता है)।
- 1 से 100 के बीच वर्ग संख्याएँ: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 — कुल 10 लॉकर
- 324 का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:
- 324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
- गुणनखंडों को युग्मों में बाँटते हैं: (2 × 2) × (3 × 3) × (3 × 3)
- सभी गुणनखंड जोड़े बनाते हैं, इसलिए 324 एक पूर्ण वर्ग है।
- 324 = (2 × 3 × 3)² = 18²
25 में से 1 से शुरू करके क्रमागत विषम संख्याएँ घटाते हैं:
- 25 – 1 = 24 (चरण 1)
- 24 – 3 = 21 (चरण 2)
- 21 – 5 = 16 (चरण 3)
- 16 – 7 = 9 (चरण 4)
- 9 – 9 = 0 (चरण 5) ← शेष 0 मिला
25 एक पूर्ण वर्ग है।
हम जानते हैं कि n वीं विषम संख्या = 2n – 1।
- 36² ज्ञात करने के लिए 1225 में 36वीं विषम संख्या जोड़नी होगी।
- 36वीं विषम संख्या = 2 × 36 – 1 = 72 – 1 = 71
- 36² = 35² + 71 = 1225 + 71
- चरण 1: 1936, 1600 (40²) और 2500 (50²) के बीच है, अत: 40 < √1936 < 50
- चरण 2: 1936 का इकाई अंक 6 है, अत: वर्गमूल का इकाई अंक 4 या 6 होना चाहिए।
- चरण 3: अत: √1936 = 44 या 46 हो सकता है।
- चरण 4: 45² = 2025 > 1936, अत: √1936 < 45
- चरण 5: 44² की जाँच करें: 44² = 1936 ✓
- 3375 का अभाज्य गुणनखंडन: 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
- गुणनखंडों को तीन समान समूहों में बाँटते हैं:
- 3375 = (3 × 5) × (3 × 5) × (3 × 5) = (3 × 5)³ = 15³
- सभी गुणनखंड तीन-तीन के समूह बनाते हैं, इसलिए 3375 एक पूर्ण घन है।
त्रिभुजाकार संख्याएँ हैं: 1, 3, 6, 10, 15, …
जब दो क्रमागत त्रिभुजाकार संख्याएँ जोड़ी जाती हैं, तो एक वर्ग संख्या प्राप्त होती है:
- 1 + 3 = 4 = 2²
- 3 + 6 = 9 = 3²
- 6 + 10 = 16 = 4²
- 10 + 15 = 25 = 5²
प्रत्येक पूर्ण घन, क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:
- 1 = 1 = 1³
- 3 + 5 = 8 = 2³
- 7 + 9 + 11 = 27 = 3³
- 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4³
- 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5³
- 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 6³
- प्रत्येक संख्या के गुणनखंड सह-गुणनखंड युग्मों में होते हैं — इसलिए सामान्यत: गुणनखंडों की संख्या सम होती है।
- परंतु कभी-कभी गुणनखंड युग्म में दोनों संख्याएँ समान होती हैं (जैसे 2×2=4), इससे गुणनखंडों की संख्या विषम हो जाती है।
- संख्या 1 के लिए: केवल 1 × 1 → गुणनखंड: 1 (विषम)
- संख्या 4 के लिए: 1×4 और 2×2 → गुणनखंड: 1, 2, 4 (विषम – 3)
- संख्या 9 के लिए: 1×9 और 3×3 → गुणनखंड: 1, 3, 9 (विषम – 3)
अरिबम और बिजॉय के खेल में जब अरिबम ने 250 कहा, तो बिजॉय को √250 का अनुमान लगाना था।
- 100 < 250 < 400 और √100 = 10, √400 = 20 → अत: 10 < √250 < 20
- 15² = 225 और 16² = 256 → अत: 15 < √250 < 16
- 256 की दूरी 250 से = 6; 225 की दूरी 250 से = 25
- 256, 225 की तुलना में 250 के अधिक निकट है।
इस प्रकार निकटतम ज्ञात पूर्ण वर्गों को देखकर वर्गमूल का अनुमान लगाया जा सकता है।
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